О природе логических и семантических парадоксов А. Бердичевский (ОТиПЛ МГУ) Семинар «Некоторые применения математических методов в языкознании» под руководством В. А. Успенского и М. Р. Пентуса 1 апреля 2006 г.

2 Определение Парадокс=антиномия – рассуждение, доказывающее как истинность, так и ложность некоторого утверждения. Апории, софизмы, каламбуры и прочее не рассматриваются

3 «Лжец», или парадокс Эпименида «Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно»

4 «Лжец» в редакции Альберта Саксонского A 1 : Высказывание А 2 ложно. А 2 : Высказывание A 1 истинно. A 1 : Высказывание А 2 ложно. А 2 : Высказывание A 3 ложно. А 3 : Высказывание A 1 ложно.

5 Парадокс Рассела Некоторые множества не содержат сами себя. Назовем их хорошими. Некоторые множества содержат сами себя. Назовем их плохими. Содержит ли само себя множество всех хороших множеств?

6 Парадокс Кантора Теорема Кантора: мощность множества всех подмножеств данного множества всегда больше мощности самого этого множества. Универсум – множество всех множеств. Существует ли множество множеств, мощность которого больше, чем мощность универсума?

7 Парадокс брадобрея (тоже Рассел). Парадокс крокодила:

8 Парадокс импредикабельности Некоторые свойства неприменимы сами к себе (импредикабельны). Некоторые свойства применимы сами к себе (предикабельны). Предикабельно ли свойство импредикабельности?

9 Парадокс Греллинга-Нельсона Некоторые русские прилагательные обладают тем свойством, которое называют (трехсложный). Назовем их автологическими «Большинство» не обладает (пятисложный, немецкий, зеленоватый). Назовем их гетерологическими.

10 Парадокс Греллинга-Нельсона Каким является прилагательное «гетерологический»: автологическим или гетерологическим? В чем отличие этого парадокса от парадокса импредикабельности? Речь идет не о свойствах, а об именах свойств!

11 Парадокс Маннури Хорошие мэры живут в той области, которой управляют. Плохие мэры НЕ живут в той области, которой управляют. Указом президента все плохие мэры выселены в отдельную область, где больше никто не живет. Хорошим или плохим является мэр этой области?

12 (a=true) & (никто не найдет корней этого уравнения до 16:30 1 апреля 2006 года) = true

13 Шок «Никто не может изгнать нас из рая, который создал нам Кантор». (Д. Гильберт) «Мы меньше, чем когда-либо, уверены в первичных основах математики. мы переживаем «кризис» На первый взгляд, он не мешает нашей ежедневной работе, однако я могу признаться, что он оказал сильное влияние на мою математическую деятельность: он направлял мои интересы в область, казавшуюся безопасной и постоянно подрывал ко мне энтузиазм и решимость » (Г. Вейль. 1946)

14 Шок «Ученому после завершения большого труда вряд ли может встретиться что- нибудь более нежелательное, чем обнаружение факта, сотрясающего одну из основ его творения. Но именно в это положение меня поставило письмо Рассела…» (Г. Фреге)

15 Парадокс Фреге f(x), если y = Г f xy :=Л – в противном случае т.е. аГ f =f(a)(*) p(x) := ¬(xx). Пусть x= Г p Тогда: p(Г p )= ¬(Г p Г p ) p(Г p )= ¬p(Г p )

16 Что же с этим делать? Противоречие несуществование Не существует универсума, множества всех хороших множеств, мэра отдельной области, брадобрея и прочих. Решение ли это?

17 Правило треугольника 1)Конкретный случай: не существуетABC, где AB=3, BC=4, AC=8 2)Общее правило: не существуетX 1 X 2 X 3, где X i X j +X j X k

18 Устранение парадоксов не означает их разрешения. Нас интересует именно разрешение.

19 Что же с этим делать? Буридан: ложность. Запретить рефлексивность (автореференцию, самоприменимость, циркулярность)

20 Иерархические уровни Предметный язык и метаязык. Теория и метатеория. Смешение объектов разного уровня. Иерархия языков Тарского. Теория типов Рассела (Рамсей). (Аксиоматика Цермело-Френкеля.) НЕПРЕДИКАТИВНОСТЬ

21 Парадокс всемогущества Существует некий всемогущий волшебник. Может ли он сотворить камень, который сам не может поднять?

22 Парадокс Ришара Рассмотрим все такие действительные числа, которые могут быть названы с помощью конечных последовательностей русских слов: три седьмых, корень из двадцати четырех, пи, наименьший положительный целый квадрат Таких чисел – счетное множество (М).

23 Рассмотрим пересчет элементов М. Зададим число r: такое действительное число из интервала (0,1), что его n-й десятичный знак есть результат циклического сдвига n- го десятичного знака n-го числа в упомянутом пересчете. r отличается от любого элемента М, значит, оно в него не входит. Значит, оно не может быть названо конечной последовательностью русских, слов, однако см. выше.

24 Парадокс Берри «Наименьшее натуральное число, которое нельзя назвать посредством описания, содержащего меньше ста букв». В этой фразе 89 букв.

25 Отрицание отрицания и утверждение утверждения Каково прилагательное автологический? Является ли хорошим множество всех плохих множеств? «Это утверждение истинно».

26 Странные петли «…исходя из некоторого утверждения, относящегося к определенному иерархическому уровню, мы по ходу рассуждения попадаем на другой иерархический уровень и уже на этом новом уровне каким-то странным образом приходим к первоначальному утверждению». (В. Мадер)

27 Странные петли Ср. парадокс лжеца в редакции Альберта Саксонского Д. Хофштадтер («Гедель, Эшер, Бах – Эта Бесконечная Гирлянда»): странные петли существуют и в изобразительном искусстве (М. Эшер), и в музыке (И. С. Бах).

28 ВОДОПАДВОДОПАД

29 КАРИАТИДЫКАРИАТИДЫ

30 Трехбалочник Пенроуза

31 Природа парадоксального значения Истина Волга впадает в Каспийское море. Ложь Париж – столица Англии «Некорректность» Австралия – лысая «Неопределенность» (и И, и Л): Это утверждение истинно Континуум-гипотеза

32 Природа парадоксального значения «Неопределенность» (и И, и Л): … Парадоксальность: ни И, ни Л: Это утверждение ложно. Можно ли это себе представить? Многозначные логики (сильная логика Клини, логика Лукасевича, работы Крипке и др.)

33 Природа парадоксального значения Бесконечный цикл от истины ко лжи? Если истинно, то ложно, если ложно, то истинно. «Лжец» в виде вращающейся карточки: На обратной стороне этой карточки написано истинное/ложное высказывание Парадокс заключенного

34 Возможности человеческого разума

35 (a=true) & (никто не найдет корней этого уравнения до 16:30 1 апреля 2006 года) = true

36 a = true