ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-5

6. Уравнение Я.Бернулли ДУ вида: называется уравнением Бернулли. p(х), q(х)- заданные непрерывные функции или постоянные,причем n0 и n1.

Я́коб Берну́лли (Jakob Bernoulli, , Базель) швейцарский математик, старший брат Иоганна Бернулли; профессор математики Базельского университета (с 1687 года).

Решение уравнения Я.Бернулли можно искать в виде произведения двух функций у=uv [u=u(x), v=v(x)], причем одну из них можно выбрать по своему желанию, но отличной от нуля, т.е. решить уравнение методом И.Бернулли.

Пример 1. Найти общее решение ДУ: Это ДУ вида Представим (неизвестное нам!) общее решение ДУ в виде:

Найдём производную: Подставим её в уравнение: Используем своё право выбора u, взяв его таким, чтобы выражение в скобках было равно нулю. (*)

Поскольку в качестве u нам надо взять какое-нибудь одно из решений ДУ, то положим С=0.

Подставляя в уравнение (*) и учитывая, что, получим:

где:

Общее решение ДУ: или Ответ. Общее решение ДУ:

Пример 2. Найти общее решение ДУ: Решение:

где:

То есть, получим:

Так как, то То есть или