Методы математического моделирования Дисциплина для магистерской подготовки по направлению «Радиотехника» Автор: Исаев Владимир Александрович, к.т.н., доцент Великий Новгород, 2012

Лекция 4 ( ) Методы теории случайных функций

Информационные ресурсы по дисциплине

ГОСТ Р (Статистические методы) ГОСТ Р Статистические методы. Основные положения ГОСТ Р Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения ГОСТ Р Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое представление данных. Точечная оценка и доверительный интервал для среднего ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое представление данных. Сравнение двух средних в парных наблюдениях ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое представление данных. Оценка медианы ГОСТ Р Статистические методы. Статистическое представление данных. Мощность тестов для средних и дисперсий

Выборки и их описание Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Изд-во «ИНФРА-М », – 528с

Определение выборки Предположим, что наблюдения над случайной величиной ξ можно повторять независимо и в неизменных условиях, получая ее независимые реализации x1, x2,..., xn. Тогда x1, x2,..., xn будут независимыми одинаково распределенными случайными величинами, то есть выборкой. Определение. Выборкой называют последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Зная величины x1, x2,..., xn, мы можем построить приблизительные значения для функции распределения и других характеристик случайной величины ξ. Это и позволяет нам изучать свойства случайных величин, не зная их законов распределения.

Эмпирическая функция распределения Определение. Выборочной (эмпирической) функцией распределения случайной величины ξ, построенной по выборке x1, x2,..., xn, называется функция Fn(x), равная доле таких значений xi, что xi x, i = 1,..., n. Иначе говоря, Fn(x) есть частота события xi x в ряду x1, x2,..., xn. Для построения выборочной функции распределения удобно от выборки x1,..., xn перейти к вариационному ряду x(1),..., x(n). Определение. Вариационным рядом называют выборку, перенумерованную в порядке возрастания.

Общий вид эмпирической функции распределения Таким образом, выборочная функция распределения является ступенчатой с точками скачков x(1),..., x(n), причем величина каждого скачка равна 1/n

Связь между эмпирической функцией распределения и функцией распределения Установлено, что выборочная функция распределения с ростом объема выборки n равномерно по x аппроксимирует теоретическую функцию распределения F(x) случайной величины ξ, т.е. величина supx |Fn(x) F(x)| стремится к нулю при n с вероятностью 1. Выборочные характеристики. На указанном выше свойстве выборочной функции распределения основаны многие методы математической статистики. Замена функции распределения F(x) на ее выборочный аналог Fn(x) в определении математического ожидания, дисперсии, медианы и т.п. приводят к выборочному среднему, выборочной дисперсии, выборочной медиане и т.д.

ГОСТ Р Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение

Термины, используемые в теории вероятностей ГОСТ Р Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения.

ТЕРМИНЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (по ГОСТ Р ) 1.4. функция распределения Функция, задающая для любого значения х вероятность того, что случайная величина Х меньше или равна х, 1.5. плотность распределения (вероятностей) Первая производная, если она существует, функции распределения непрерывной случайной величины Примечание - называется элементом вероятности

ТЕРМИНЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (по ГОСТ Р ) 1.6. функция распределения (вероятностей) масс Функция, дающая для каждого значения x i дискретной случайной величины Х вероятность p i того, что случайная величина равна х i : 1.7. двумерная функция распределения Функция, дающая для любой пары значений х, у вероятность того, что случайная величина X будет меньше или равна х, а случайная величина Y - меньше или равна y: Примечание - Выражение в квадратных скобках означает пересечение событий Х х и Y у

Учебное задание Познакомиться с содержанием учебного пособия Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Изд-во «ИНФРА-М », – 528с.; Изучить содержание раздела 1.8 учебного пособия Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Изд-во «ИНФРА-М », – 528с.; Примечание: учебные материалы размещены на портале НовГУ (учебные материалы > Исаев Владимир Александрович > папка МММ > …)

Список литературы 1. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Изд-во «ИНФРА-М », – 528с. 2. Вероятностные методы в вычислительной технике: Учеб. пособие для вузов по специальности ЭВМ /Под ред. А.Н.Лебедева и Е.А.Чернявского. – М.: Высшая школа, – 312 с. 3.Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики: Учебное пособие для вузов. – М.: Энергоатомиздат, – 496 с. 4. Умнов А.Е. Методы математического моделирования. – М.: МФТИ, – 295с. 5. Кирьянов Б.Ф. Математическое моделирование. – Великий Новгород: НовГУ, – 35с. 6. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр. – М.: Физматлит, – 320 с.

Список литературы (продолжение) 7. Введение в математическое моделирование. Под ред. П.В. Трусова, В Н. Ашихмина и др. - М.: Логос, с. 8. ГОСТ Р Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения. 9. ГОСТ Р Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение. 10. ГОСТ Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения. 11. Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики. – М.: Высшая школа, – 328 с. 12. Алиев Т.И., Муравьева-Витковская Л.А., Соснин В.В. Моделирование: задачи, задания, тесты. – СПб: НИУ ИТМО, – 197 с.

Приложение 1 Глоссарий по дисциплине «Методы математического моделирования»

Глоссарий по математическому моделированию Модели́рование исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих объектов, процессов или явлений с целью получения объяснений этих явлений, а также для предсказания явлений, интересующих исследователя. Математическое моделирование процесс построения и изучения математических моделей. Компьютерная модель (англ.computer model), или численная модель (англ. computational model) компьютерная программа, работающая на отдельном компьютере, суперкомпьютере или множестве взаимодействующих компьютеров(вычислительных узлов), реализующая абстрактную модель некоторой системы.

Глоссарий по математическому моделированию Имитационное моделирование – воспроизведение (имитация) процессов функционирования исследуемой (моделируемой) системы, с соблюдением основных закономерностей их логики и временнóй последовательности. Вид математического моделирования. Как правило, имитационное моделирование реализуется средствами вычислительной техники и используется при моделировании сложных (нелинейных, стохастических, с большим числом элементов и связей между ними) систем, для которых невозможно построить аналитическую модель. Для имитационного моделирования характерно исследование отдельных траекторий динамики моделируемого объекта. При этом фиксируются некоторые начальные условия (начальное состояние объекта или параметры модели) и рассчитывается одна траектория.

Глоссарий по математическому моделированию То есть, аналитической зависимости между параметрами модели и будущими состояниями системы не ищется. Как правило, при имитационном моделировании используют численные методы, реализованные на компьютере. Плюс имитационного моделирования заключается в том, что оно позволяет проанализировать различные сценарии иногда даже для очень сложных моделей. Его недостаток состоит в отсутствии возможности получения, например, ответа на вопрос, в каких случаях (при каких значениях начальных условий и параметров модели) динамика системы будет удовлетворять заданным требованиям. Кроме того, обычно затруднителен анализ устойчивости имитационных моделей.

Глоссарий по математическому моделированию Граф это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

Приложение 2 Образовательный математический сайт Кирьянов Д.В. Мультимедийный учебник по Mathcad 14 (около часа экранного видео).

Мультимедийный учебник по Mathcad 14 (в свободном доступе) Урок 1. Основные сведения о Mathcad Урок 2. Управление файлами Урок 3. Устройство интерфейса Mathcad Урок 4. Ввод формул Урок 5. Типы данных Урок 6. Операторы и функции Урок 7. Пример: алгебраические вычисления Урок 8. Пример: производные и интегралы Урок 9. Пример: алгебраические уравнения Урок 10. Пример: дифференциальные уравнения

Приложение 3 StatSoft, Inc. (2001). Электронный учебник по статистике. Москва, StatSoft. WEB:

Содержание электронного учебника по статистике - Элементарные понятия статистики -Основные статистики -…… -Анализ процессов -…… -Дискриминантный анализ -Дисперсионный анализ -…… -Множественная регрессия -…… -Непараметрические методы -Планирование эксперимента -Факторный анализ

Спасибо за внимание! Тел.: (8162)