Славин А. Г. Карельский К. В. Петросян А. С. О моделировании течений мелкой воды над произвольной подстилающей поверхностью Славин А. Г. Карельский К. В. Петросян А. С. Институт Космических Исследований РАН Таруса 2008

течения в океанах, озерах и реках распространение тяжелых газов и примесей в планетных атмосферах распространение волн прорыва прибрежные течения волны Цунами крупномасштабные движения в атмосферах планет Актуальность темы

Физическая постановка задачи Приближения «мелкой воды»: однородная несжимаемая жидкость лишенная внутреннего трения, трения о дно и стенки глубина жидкости является малой величиной по сравнению с характерными линейными размерами гидростатическое распределение давлений u(x,t) Свободная поверхность x h(x,t) Рис. 1. Одномерный поток мелкой воды. g

Квазидвухслойная теория для исследования гидродинамических течений над ступенчатым профилем дна. Уравнения Сен-Венана для одномерного случая : g - гравитационная постоянная - глубина жидкости - осредненная по глубине горизонтальная скорость в направлении x - функция задающая рельеф дна

Квазидвухслойная теория мелкой воды a Рис. 2. Поток мелкой воды через ступеньку.

Предположение о том, что формирование волновой картины в нижнем слое происходит много быстрее, чем в верхнем, позволяет разделить поток на слои так, что нижний слой, взаимодействуя со ступенчатой границей, приходит в состояние покоя и образовывает с ней единую горизонтальную плоскость. Тогда возможно пренебречь членами: Влияние нижнего слоя на верхний учтено за счет изменения начального условия, обусловленного изменением глубины нижнего слоя при торможении на ступеньке. Квазидвухслойная теория мелкой воды

Условие выбора - высота нижнего слоя на ступеньке равна a. Проблема нахождения сводится к обратной задачи Дирихле: (a) (натекание на ступеньку) Картина течения имеет следующий вид: h = a u = 0 t x 0 (b) (стекание со ступеньки) Картина течения имеет следующий вид: h = a u = 0 t x 0. Таким образом найдено и теперь для получаем : ; Квазидвухслойная теория мелкой воды

Задача о распаде произвольного разрыва (Задача Римана) над ступенчатой границей Начальные условия: В области и для a t=0 Рис. 3. Задача Римана со ступенчатой границей.

Конечно-разностная схема - шаг по времени X - шаг по пространству - глубина жидкости - скорость жидкости a - высота ступенчатой границы i = 0 - в случае отрицательного перепада высот подстилающей поверхности - в случае положительного перепада - значения на гранях вычисляются путем решения соответствующих задач Римана, на основе квазидвухслойной теории

Набор возможных конфигураций 0 t x x t 0 0 t xx t 0 0 x 0 xx t x 0 t x t x 0 0 x t x t 0 t x 0 0 x t t

Результаты численного моделирования Рис. 4. Конфигурация «левая волна разрежения слева от ступеньки, правая ударная волна справа от ступеньки» ( ). x 0 t (m)

Рис. 5. Конфигурация «левая волна разрежения через ступеньку, правая волна разрежения справа от ступеньки» ( ). 0 t x (m) Результаты численного моделирования

Рис. 6. Конфигурация «левая волна разрежения через ступеньку, правая ударная волна справа от ступеньки» ( ). x t 0 (m) Результаты численного моделирования

Рис. 7. Конфигурация «две ударные волны справа от ступеньки» ( ). 0 x t (m) Результаты численного моделирования

Рис. 8. Конфигурация «левая ударная волна слева от ступеньки, правая ударная волна справа от ступеньки» ( ). 0 t x (m) Результаты численного моделирования

Рис. 9. Конфигурация «левая волна разрежения справа от ступеньки, правая ударная волна справа от ступеньки» ( ). x 0 t (m) Результаты численного моделирования

Рис. 10. Конфигурация «две волны разрежения справа от ступеньки» ( ). 0 t x (m) Результаты численного моделирования

Рис. 11. Конфигурация «левая ударная волна справа от ступеньки, правая волна разрежения справа от ступеньки» ( ). 0 t x (m) Результаты численного моделирования

Рис. 12. Результат натекания ударной волны на ступеньку. Конфигурация «левая ударная волна слева от ступеньки, левая волна разрежения справа от ступеньки, и правая ударная волна справа от ступеньки» ( ). x 0 t x (m) Результаты численного моделирования

0x t Рис. 13. Эволюция распространения возмущений в конфигурации «левая ударная волна слева от ступеньки, правая ударная волна справа от ступеньки» ( ). Автомодельность

Стационарность скачка над ступенчатой границей Рис. 14. Слева: зависимость высот потока жидкости (относительно оси х) от времени t непосредственно вблизи ступенчатой границы ( - слева и - справа). Справа: зависимость скоростей от времени t непосредственно вблизи ступенчатой границы ( - слева и - справа).

Сравнение с известными численными и точными решениями Рис. 15. Сравнение с численным методом, использующим замену ступеньки крутой наклонной плоскостью (пунктирная линия).

u x Сравнение с известными численными и точными решениями Рис. 16. Сравнение полученного решения (слева) с точным решением (справа). Решение типа левая волна разрежения слева от ступеньки, правая ударная волна справа от ступеньки.

Сравнение с известными численными и точными решениями Рис. 17. Сравнение полученного решения (слева) с точным решением (справа). Решение типа левая ударная волна слева от ступеньки, правая ударная волна справа от ступеньки.

Уравнения мелкой воды в двумерном случае g - гравитационная постоянная - глубина жидкости - осредненная по глубине горизонтальная скорость в направлении x - осредненная по глубине горизонтальная скорость в направлении y - функция задающая рельеф дна Моделирование течений невязкой тяжелой жидкости со свободной поверхностью над подстилающей поверхностью произвольного профиля.

Конечно-разностная схема для уравнений мелкой воды над подстилающей поверхностью сложного профиля - шаг по времени X и Y – шаги по пространству – глубина жидкости – скорость в направлении x, – скорость в направлении y - высота подстилающей поверхности в ячейке (x,y) i принимает значение, либо 0 в случае отрицательного перепада соответствующих высот подстилающей границы, либо в случае положительного перепада

Тест: распад столба жидкости высоты 1 м и ширины 2 м над наклонной плоскостью (наклон 1:20) наполненной жидкостью глубины 0.5 м. Пунктирная линия – начальные параметры потока. Красная линия – глубина и скорость потока, полученные квазидвухслойным методом. Синяя линия - глубина и скорость потока, полученные стандартным методом Годунова. Рис. 18. Глубина и скорость потока жидкости над наклонной плоскостью. Рис. 19. Глубина и скорость потока жидкости над наклонной плоскостью с натеканием жидкости. Результаты численного моделирования

Моделирование падения столба жидкости над плоской подстилающей поверхностью с углублением квадратной формы в центре расчетной области квадратной формы в центре расчетной области Рис. 20. Глубина потока жидкости в момент времени 3 сек. Рис. 21. Проекции (x=const=30 m и y=const=30 m) свободной поверхности жидкости.

Рис. 22. Эволюция падения столба жидкости. Моделирование падения столба жидкости над подстилающей поверхностью наполненной жидкостью с выступающим из дна столбом квадратной формы

Рис. 23. Эволюция падения столба жидкости (Проекции свободной поверхности жидкости для y=const=30 m). Моделирование падения столба жидкости над подстилающей поверхностью наполненной жидкостью с выступающим из дна столбом квадратной формы

Рис. 24. Эволюция натекания ударной волны на наклонный берег, аппроксимируемый ступеньками. Моделирование натекание волны Цунами на берег

Рис. 25. Поток жидкости над неоднородной подстилающей поверхностью в момент времени 2 с. Течение жидкости над сложной подстилающей поверхностью включающей различные особенности подстилающих поверхностей Рис. 26. Проекции подстилающей поверхности и свободной поверхности жидкости.

ВЫВОДЫ 1.Разработана теория для течений мелкой воды на ступенчатой границе, учитывающая вертикальную неоднородность поля скорости, основанная на выделении области жидкости, в которой происходит запирание потока массы. Разработана квазидвухслойная модель для определения этой области в каждый момент времени и нахождения гидродинамических параметров исходного течения. 2.Решена задача Римана для течений мелкой воды на ступенчатой границе на основе квазидвухслойной модели. Показано, что реализуется автомодельный режим течения распада произвольного разрыва со стационарным скачком вблизи уступа. Полученные решения расширяют класс аналитически допустимых включением конфигураций, связанных с прохождением волны разрежения через уступ. 3.Предложен численный метод для исследования гидродинамических течений тяжелой невязкой жидкости со свободной поверхностью над произвольным профилем дна, основанный на найденных решениях задачи Римана. Показана эффективность предложенного алгоритма путем сравнения с решениями на наклонной плоскости, полученными с использованием точных решений задачи Римана. Результатами расчетов натекания волны цунами на наклонный берег и падения столба жидкости на подстилающей поверхности сложного профиля подтверждена работоспособность метода.

Публикации по теме работы 1.Karelsky K. V, Petrosyan A. S, Slavin A. G. Quazi-two-layer model for numerical analysis shallow water flows on step// Russian journal of Numerical Analysis and Mathematical modeling V pp Karelsky K. V, Petrosyan A. S, Slavin A. G. Numerical simulation of flows of a heavy nonviscous fluid with a free surface in the gravity field over a bed surface with an arbitrary profile// Russian journal of Numerical Analysis and Mathematical modeling V pp Карельский К.В, Петросян А.С, Славин А.Г. Трансформация разрыва для потоков мелкой воды на скачке// Сборник трудов международной конференции МСС-04 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность». М., с Славин А.Г. Квазидвухслойная модель для потоков мелкой воды над ступенькой// Труды ХХVII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. М., с Славин А.Г. Гидродинамика невязкой тяжелой жидкости со свободной поверхностью над подстилающей поверхностью сложного профиля// Труды XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. М., с Karelsky K. V, Petrosyan A. S, Slavin A. G. Finite-difference presentation of the Coriolis force in numerical Godunov-type models for flows of rotating shallow water// Russian journal of Numerical Analysis and Mathematical modeling. Принята в печать. 7.Карельский К.В, Петросян А.С, Славин А.Г. Численный метод для исследования течений мелкой воды над сложным профилем дна в присутствии внешней силы, Математическое моделирование, Принята в печать.

Спасибо за внимание!

Набор возможных конфигураций 0 t x t x 0 Зона вакуума Зона вакуума t xx t x 0 Зона вакуума 0 t x Зона вакуума t x 0 t x 0 t x 00 t x