Определения Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр. Числа: 123, 45678, , CXL Цифры: 0, 1, 2, … I, V, X, L, … Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Типы систем счисления: непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа; позиционные – зависит… Лекция 4: Системы счисления

Непозиционные системы Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …) Римская: I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demi mille), M – 1000 (Mille) Лекция 4: Системы счисления

Римская система счисления Правила: (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!) Примеры: MDCXLIV = – – = = M M C C C L X X X I X M CCCLXXXIX = 1644 Лекция 4: Системы счисления

3768 = 2983 = 1452 = 1999 = MMMDCCLX11X MMCMXXC111 MCDL11 MIM Задача: Изобразите числа при помощи цифр римского алфавита Лекция 4: Системы счисления

Римская система счисления Недостатки: для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? Где используется: номера глав в книгах: обозначение веков: «Пираты XX века» циферблат часов Лекция 4: Системы счисления

Славянская система счисления алфавитная система счисления (непозиционная) Лекция 4: Системы счисления

Позиционные системы Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Десятичная система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): разряды сотни десятки единицы = 3· · ·10 0 Другие позиционные системы: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) двадцатеричная (1 франк = 20 су) шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут) Лекция 4: Системы счисления

Основные формулы Лекция 4: Системы счисления

Перевод целых чисел Двоичная система: Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): = система счисления разряды = 1· · · · ·2 0 = = 19 Лекция 4: Системы счисления

Задача 1: Переведите число из 10- ричной системы в двоичную = = = = =2 10 = Лекция 4: Системы счисления

Перевод дробных чисел ,375 = 2 101, разряды = 1· · · ·2 -3 = ,25 + 0,125 = 5,375, ,75 2,50 1 0,5 2,0 1 0,7 = ? 0,7 = 0, … = 0,1(0110) 2 Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей. Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов. Большинство дробных чисел хранится в памяти с ошибкой = = 0, ,011 2 Лекция 4: Системы счисления

Примеры: 0,625 =3,875 = Лекция 4: Системы счисления

Арифметические операции сложениевычитание 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1= = =0 1-1=0 1-0= =1 перенос заем – Лекция 4: Системы счисления

Произвести операцию сложения Лекция 4: Системы счисления

Произвести операцию сложения Лекция 4: Системы счисления

Арифметические операции умножение деление – – Лекция 4: Системы счисления

Плюсы и минусы двоичной системы нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток нет тока, намагничен не намагничен и т.п.); надежность и помехоустойчивость двоичных кодов; выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными. простые десятичные числа записываются в виде бесконечных двоичных дробей; двоичные числа имеют много разрядов; запись числа в двоичной системе однородна, то есть содержит только нули и единицы; поэтому человеку сложно ее воспринимать. Лекция 4: Системы счисления

Двоично-десятичная система BCD = binary coded decimals (десятичные цифры в двоичном коде) 9024,19 = , BCD , , BCD = , BCD = 153,78 10 BCD BCD ,1 BCD = 15, ,1 2 = ,5 = 21,5 Запись числа в BCD не совпадает с двоичной! ! Лекция 4: Системы счисления