14.2 Энергия основного состояния. Вычислим сумму левого рисунка в приближении хаотических фаз. В этом приближении следует суммировать кольцевые диаграмм. Самым грубым приближением для энергии основного состояния будет приближение Хартри-Фока, которое в отсутствии внешнего поля представляет собой просто поправку первого порядка теории возмущений. На языке диаграмм это означает добавку к кинетической энергии вкладов от двойного пузыря и устрицы, причем вклад от двойного пузыря равен нулю, так как V klkl =V q=0 =0 из-за наличия компенсирующего фона. Кинетическая энергия системы равна: W 0 =2 (ħ 2 /2m) k kF k 2 d 3 k = ħ 2 k 5 F /(10 2 m). (14.8) Или в пересчете на один электрон W 0 /N= 2.21(r s ) -2 ридберг/электрон. (14.9) Соответствующий интеграл для «устрицы» (см. выше вторую задачу) равен (E HF -W 0 )/N= -2/N*1/2*[ /(2 ) 3 ] 2 *(4 e 2 / ) k,l kF d 3 kd 3 l |k-l| -2 = (r s ) -1 ридберг/электрон. (14.10)

Корреляционная энергия определяется как разность E корр. =E точн. -E HF, В приближении хаотических фаз она равна сумме вкладов от оставшихся кольцевых диаграмм. Рассмотрим более подробно вклад от диаграммы Отнормировав его на одну частицу, имеем: -(3/8 5 ) d 3 q q -4 k kF,|k+q|>kF d 3 k l kF,|l-q|>kF d 3 l (q 2 +q(k-l)) -1 ридберг/электрон. (14.11) Здесь учтено, что суммирование по спину дает множитель 4. Основной вклад в этот интеграл дают малые значения q. Концы векторов k и l лежат около ферми поверхности в слое толщиной q. При малых q интеграл в (14.11) расходится. Причиной расходимости является дальнодействующий характер кулоновского потенциала. Аналогичное вычисление для диаграммы задачи 4 приводит к конечному результату.

ЗЗадачи: 1.1. Выписать аналитическое выражение для вклада в энергию от двойного пузыря. 2. Проделать ту же операцию для «устрицы». 3. Проделать ту же операцию для диаграммы, показанной ниже на рисунке.

- 4. Проделать ту же операцию для диаграммы, показанной ниже на рисунке. - На последнем рисунке всего одна фермионная петля.

Часть диаграмм третьего порядка показана ниже на рисунке. Они распадаются на группы, причем диаграмма первой группы соответствует переносу импульса q по всем трем волнистым линиям, диаграммы второй группы –только по двум, а третьей –по одной. Соответственно, аналитическое выражение при малых q может быть представлено в виде: E (3) = r s (A (3) d 3 q q -5 + B (3) d 3 q q -3 + d 3 q q -1 ). (14.13) Наиболее быстро расходящимся является первый член в круглых скобках, соответствующий передаче импульса q по всем волнистым линиям. Так же обстоит дело и в высших порядках теории возмущений. E корр. = A (2) d 3 q q -3 + r s A (3) d 3 q q -5 + r s 2 A (4) d 3 q q -7 …. (14.14)

Поскольку на диаграммах левого рисунка существенен временной порядок взаимодействий, провести суммирование довольно сложно. Эта операция была проделана Гелл-Манном и Бракнером со следующим результатом для трехмерных систем: E корр /N= ln r s O(r s ). (14.15) Вычислим еще раз энергию основного состояния в приближении хаотических фаз, пользуясь техникой, развитой в первой части нашего курса. Определим энергию взаимодействия как среднее значение потенциальной энергии в основном состоянии: = q 1/2V q N(S q -1). (14.16)

Используя определение статического форм фактора и выражение (5.26), формулу для энергии взаимодействия перепишем в виде E вз = -2 e 2 /q 2 * q [ 0 d ( ) -1 Im[ (q, )] +N]. (14.17) E 0 = + E вз (14.18) Введем параметр взаимодействия =e 2. Считая формально этот параметр переменной величиной продифференцируем энергию основного состояния по : dE 0 /d = + + = E вз / Проинтегрировав (14.19) по, получим: E 0 (e 2 )-E 0 (0) = 0 e 2 d E вз ( Осталось подставить в (14.20) выражение для функции реакции плотность- плотность в виде, предсказываемом приближением хаотических фаз: RPA = 0 (1-4 e 2 /q 2 * 0 ) -1 (14.21) 0 d [Im (q, )] = 1/2 - dw [ (q,iw)], Поскольку E RPA = E 0 RPA /N=3/5 F - q 2 /q 2 N 0 e 2 d { - dw 0 (q,iw)[1- 4 /q 2 0 (q,iw)] -1. (14.22)

В последнем выражении интегрирование по константе связи проводится элементарно, а второе интегрирование ведет к ответу (14.15). Интересно отметить, что вычисления именно этим путем привели к уверенности в правильности результата, полученного диаграмматикой. XV. Двухчастичная функция Грина Я и тень моя вдвоем Бросим взоры в водоем. Велимир Хлебников Определение двухчастичной функции Грина. Определим двухчастичную функцию Грина G 2 (r 4,t 4, ….r 1,t 1 ) как амплитуду вероятности того, что если одна частица введена в систему в момент t 1 в точку r 1, а вторая в точку r 3 в момент t 3, то позже одна из частиц окажется в токе (r 2,t 2 ), а другая – (r 4,t 4 ). Определенную так функцию Грина можно представить в виде суммы амплитуд всех возможных виртуальных процессов :

Можно сменить порядок следования времен. Например, двухчастичная функция Грина в канале частица-дырка G 2 (t 3 >t 4 >t 1 >t 2 ) определяется как амплитуда вероятности того, что если в точку (r 1,t 1 ) введена частица, а из точки (r 2,t 2 ) частица удалена (введена дырка), то в точке (r 3,t 3 ) будет обнаружена дырка, а в (r 4,t 4 ) – частица

С помощью оператора упорядочения во времени можно записать все возможные определения двухчастичной функции Грина при всех возможных следованиях времен: G 2 (4,3,2,1) = -i, (15.1)

15.2 Плазмоны. В могочастичной среде регулярные изменения плотности частиц соответствуют коллективным возбуждениям. Такие волны могут быть описаны функцией Грина, задающей распространение флуктуаций плотности от точки к точке. Ее легко построить, пользуясь выражением для двухчастичной функции Грина, положив в нем (r 4,t 4 )= (r 3,t 3 ) и (r 2,t 2 ) (r 1,t 1 ). Эта операция приводит нас к функции Грина для флуктуаций плотности: F(3,1)= -i. (15.2) Не прозевайте: по определению оператора упорядочения во времени при совпадающих временах оператор рождения располагается слева. (r,t) = + ( r,t) ( r,t)= exp(iHt) + ( r)exp(-iHt) exp(iHt) (r )exp(-Ht)= = exp(iHt) + ( r) (r )exp(-iHt). (15.3) В случае не зависящего от времени гамильтониана и однородной системы без внешних полей: F(r 2 -r 1, t 2 -t 1 ) = -i, (15.4) где учтено, что электронная плотность есть действительная величина. Функция F(r 2 -r 1, t 2 -t 1 ) создает возмущение плотности в точке (r 1,t 1 ) и переносит его в (r 2,t 2 ).

Напомним, что Поэтому:

Выразив поляризационную функцию Грина через сумму всех неприводимых поляризационных частей, получим окончательно В аналитическом виде : F(k, )= (k, )/ (k, ). (15.5) Чтобы отыскать плазмонные решения, разложим (15.5) вблизи полюсов. F(k, )=( R +i I )/(1+V k R +iV k I ). (15.6) Определим теперь набор частот k как результат решения уравнения: 1+V k R (k, ) =0. (15.7)

Теперь разложим R (k, ) в ряд возле k, приняв во внимание, что симметрия по времени требует появления только четных степеней. R (k, )= R (k, k ) +( R / 2 ) k ( 2 - k 2 )+….. (15.8) Подставив разложение (15.8) в формулу (15.6) с учетом соотношения (15.7), получим : F(k, )= (2 k /V k ) (k, k )/ ( R / ) k *[ 2 - k 2 +2i k I ( R / ) k Коллективные возбуждения будут слабозатухающими при условии -1 = I ( R / ) k. (15.10) В случае электронного газа высокой плотности в поляризационном операторе можно оставить только одну диаграмму и заменить в (15.9) (k, ) на 0 (k, ). Где величина i 0 (k, ) может быть выражена через функцию реакции плотность- плотность свободного электронного газа.

В незакрашенной области 0I =0 и плазмоны имеют в рассмотренном приближении бесконечное время жизни. Кривая дисперсии таких свободных плазмонов начинается с классической плазменной частоты. Если к учтенной нами диаграмме добавить поляризационные части высших порядков, то плазмон становится «одетым» квазиплазмоном с конечным временем жизни.