§2. Алгебра событий. Вероятность. Пусть - пространство элементарных событий. | | = n, n или n =. Каждое множество событий пространства называют классом. Класс событий обозначают: A = { A 1,A 2,…,A n }, где каждое A i - событие, A i, i = 1,…,n. Пример: бросание игральной кости. События А и В образуют класс событий. A = выпало четное число очков = { 2, 4, 6 } B = выпало нечетное число очков = { 1, 3, 5 } A = {A,В}

Определение 2.1. Класс событий A называют алгеброй событий, если он удовлетворяет условиям: 1. A и A ; 2. если A A и B A, то также A+B A и AB A ; 3. если A A, то A A. A замкнут относительно сложения, умножения и нахождения обратного события. Пример. A = {,, A, A} – алгебра событий, A.

Пусть - пространство элементарных событий, A – класс событий – алгебра или - алгебра, тогда пару (, A ) – называют измеримым пространством или пространством событий. Аксиоматическое построение теории вероятностей В 1933 году русский математик Андрей Колмогоров ( ) обобщил результаты 300-летнего развития теории вероятностей в следующем аксиоматическом определении:

Определение 2.4. Тройку (, A, P) называют вероятностным пространством. Конкретные методы вычисления вероятности (частные случаи общего аксиоматического определения) 1. Классическая вероятность. Формулу классической вероятности использовали уже в 17-ом веке французские математики P. Fermat ( ) и B.Pascal ( ).

1. Классическая вероятность. Пусть состоит из n равновозможных элементарных событий, | | = n = { 1, 2,…, n }. Исходя из предположения равновозможности, вероятность происхождения любого элементарного события i есть P( i ) = 1/n, где i = 1,..., n. где n A = |A| - число элементарных событий, образующих событие A (благоприятствующих появлению события A ). Вероятность происхождения любого события A вычисляется по формуле классической вероятности:

Пример. Из колоды карт (52 карты) выбирают 1 карту. Найти вероятность того, что выберут карту с картинкой (король, дама, валет). Решение. Т.к. в колоде 52 карты, то | | = n = 52. Событие А =выбор карты с картинкой. Карт с картинкой (король, дама, валет) в колоде n A = 4 * 3 = 12. Т.о. P( выбор карты с картинкой ) = 12/52 = 3/13.

2. Геометрическая вероятность. Рассмотрим эксперимент, результатом которого является выбор случайной точки на отрезке [a, b]. Требуется найти вероятность P(выбранная точка принадлежит подотрезку [a 1,b 1 ]). Предполагаем, что все точки отрезка [a, b] равновозможны. В этом случае = [a, b] и искомое событие A = [a 1,b 1 ]. Вероятность события A вычисляется по формуле геометрической вероятности: P(A) = l A / l, где l A = b 1 a 1 "размер" интересующего нас множества A, т.е. длина отрезка [ a 1,b 1 ] и l = b a "размер" всего множества, т.е. длина отрезка [ a,b ]. аba1a1 b1b1. Аналогичная формула действует в 2-мерном, 3-мерном и т.д. пространстве.

Пример. На мишени площадью S обозначена область площадью s. Найти вероятность поражения области s при выстреле по мишени, если поражение любой точки мишени является равновозможным. По определению геометрической вероятности событие с нулевой вероятностью является возможным, т.к. Возможно поражение одной конкретной точки мишени, площадь которой равна нулю. Решение. В этом случае элементарное событие: поражение любой точки мишени. S - "размер" пространства элементарных событий. Событие А : поражение любой точки заданной области s. s - "размер" события А. S s Геометрическая вероятность находится отношением благоприятной площади ко всей площади мишени:

Пример. Выбирают одно случайное число из отрезка [-1;3]. Найти вероятность того, что это число: a)2.3; b)больше чем 0.5; Решение. Все варианты выбора = все числа отрезка [-1;3]. Т.о. "размер" всего множества = длина отрезка [-1;3] l = = 4. а) Интересующее нас событие A = выбрана точка 2.3 имеет "размер" l A = = 0. Вероятность события A вычисляется по формуле геометрической вероятности: P(A) = l A / l = 0/4 = b) Интересующее нас событие A = выбрана точка больше чем 0.5 имеет "размер" l A = = 2.5. Вероятность события A вычисляется по формуле геометрической вероятности: P(A) = l A / l = 2.5/4 =

Пример. Найти вероятность того, что корни квадратного уравнения x 2 + 2kx + m = 0 являются действительными числами, если значения коэффициентов k и m равновозможны и удовлетворяют условиям : k 1, m 1. Решение. Корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 являются действительными числами если дискриминант уравнения: D = b 2 - 4ac 0. По условию задачи все возможные значения коэффициентов k и m ограничены: k 1, m 1. Т.е. принадлежат квадрату со сторонами длинной 2 на km-плоскости: Дискриминант данного уравнения: D = 4k 2 – 4m 0 k 2 m или m k 2.

Элементарное событие: выбор любой пары значений k и m из заштрихованного квадрата. Площадь квадрата S = 2*2 = 4 - "размер" пространства элементарных событий. Событие А : выбор любой пары значений k и m, при которых корни уравнения являются действительными числами, т.е. m k 2, т.е. находятся ниже параболы m = k 2. s - "размер" события А- равен площади заштрихованного участка под параболой. Геометрическая вероятность:

По "закону больших чисел" чем больше повторов эксперимента в серии, тем ближе статистическая вероятность к действительной вероятности события A. Статистическая вероятность не является однозначно определенной, т.к. зависит от результатов случайных экспериментов.

Свойства вероятности Все следующие свойства следуют из определения вероятности:

1. Вероятность противоположного события P ( A ) = 1 - P (A). Доказательство: A A Ω Пространство элементарных событий является суммой двух несовместимых событий A и A, т.е. = A + А и A A =. Тогда по аксиоме аддитивности P4 из определения вероятности: Р ( ) = Р ( A + А ) = Р ( A ) + Р ( А ). С другой стороны по аксиоме P2 вероятность достоверного события: Р ( ) = 1. Т.о. Р ( A ) + Р ( А ) = 1 или P ( A ) = 1 - P (A).

2. Монотонность. Если B A, то P (B) P (A). Доказательство: В A Если B A, то А можно представить суммой двух несовместимых событий: А = В + A \ B и В A \ B =, где A \ B – «кольцо» вокруг В. Тогда по аксиоме аддитивности P4 из определения вероятности: Р (А) = Р ( В + A \ B ) = Р ( В ) + Р (A \ B). Т.к. Р (A \ B) 0, (аксиома неотрицательности Р1 ), то Р(А) Р( В ).

3. Вероятность суммы событий A и B P (A B) = P (A) + P (B) - P (A B) Доказательство: Если А и В несовместимые события, то A B =, и действует аксиома аддитивности Р4 : P (A+B) = P (A) + P (B). Пусть события А и В совместимые: A B. A B A B Представим A B суммой несовместимых событий: A B = А + В\AB. Т.к. А В\AB =, то по Р 4: P (A+B) = P (A + В\AB) = P (A) + P (В\AB) А В\AB Ω В свою очередь В = A B + В\AB, где A B и В\AB несоместимые события. Т.о. по Р 4: P (B) = P (A B + В\AB) = P (A B ) + P (В\AB), Откуда P (В\AB)= P (B) - P (A B). Т.е. P (A+B)= P (A) + P (B) - P (A B).

P(A B) P(A) + P(B). 4. Следствие из свойства 3: Доказательство: Прямо следует из свойства 3: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) И неотрицательности вероятности, по которой P(AB) 0. Т.о. P(A B) P(A) + P(B).

Замечание: доказывается методом математической индукции. Для n = 3 формула имеет вид: 6. Свойство 5 в более простом виде: Доказательство:для событияпротивоположное событие т.о. вероятность события