Теория вычислительных процессов Теория сетей Петри и моделирование систем Преподаватель: Веретельникова Евгения Леонидовна 1

Структура 2 части курса ТВП Сети Петри для моделирования систем 1.Основные понятия сетей Петри (СП). 2.Способы задания СП 3.Выполнение СП 4.Моделирование систем сетями Петри 5.Задачи анализа и способы анализа СП 6.Расширенные и ограниченные СП 2

Введение Сети Петри – инструмент исследования систем. Теория сетей Петри делает возможным моделирование системы математическим представлением ее в виде сети Петри. Предполагается, что анализ сетей Петри поможет получить важную информацию о структуре и динамическом поведении моделируемой системы. Эта информация будет полезна для оценки моделируемой системы и выработки предложений по ее усовершенст- вованию. Поэтому развитие сетей Петри основывалось на применении их к моделированию и проектирова- нию систем. 3

Моделирование Сети Петри применяются исключительно в модели- ровании. Во многих областях исследований (ядерная физика, астрономия, социология, биология и др.) явление изучает- ся не непосредственно, а косвенно, через модель. Модель – это представление, как правило, в математи- ческих терминах того, что считается наиболее характер- ным в изучаемом объекте или системе. Предполагается, что используя это представление, можно получить новые знания об изучаемом объекте, избегая опасности, дороговизны или прочих неудобств. Модели, как правило, имеют математическую основу. С использованием в моделировании ЭВМ выросли использование и полезность моделирования. 4

Природа систем Несмотря на разнообразие моделируемых систем, выде- ляют несколько общих черт, которые должны быть отражены в особенностях исследуемой модели этих систем: 1.Системы состоят из отдельных взаимодействующих компонент, каждая из которых сама может быть системой, и может быть описана независимо от других. 2.Каждая компонента имеет свое состояние (эт некоторая абстракция соответствующей информации, необходимой для описания ее будущих действий), которое может изменяться. 3. Действиям компонент системы присущи совмещенность или параллелизм (т.е. одновременность) 4.Совмещенная природа действий в системе создает неко- торые трудности при моделировании. Поскольку ее компо- ненты взаимодействуют, необходимо установление синхро- низации 5

Зарождение теории сетей Петри Сети Петри разрабатывались специально для моделиро- вания систем, содержащих взаимодействующие параллель- ные компоненты. Впервые их предложил Карл Адам Петри в 1966 году в своей докторской диссертации «Связь автомат- ов». В ней были разработаны основные понятия, с которых началось развитие сетей Петри. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем. – М.: Мир, Котов В. Е. Сети Петри. – М.: Наука,

Применение теории сетей Петри Возможно два подхода к практическому применению сетей Петри при проектировании и анализе систем: 1.Сети Петри рассматриваются как вспомогательный инстру- мент анализа. Для построения системы рассматриваются общепринятые методы проектирования. Затем построенная система моделируется сетью Петри, и эта модель анализи- руется. Проблемы анализа указывают на изъяны в проекте, для исправления их надо модифицировать проект, который снова моделируется СП и т.д., пока проведенный анализ нас не удовлетворит. 7 Система Сеть Петри Свойства системы модификация анализ моделирование

Применение теории сетей Петри 2.Более радикальный подход – процесс проектирования и определения характеристик проводится в терминах сетей Петри. Методы анализа применяются только для создания проекта сети Петри, свободного от ошибок. Т.е. задача заключается в преобразовании представления сети Петри в реальную рабочую систему.

Прикладная теория сетей Петри связана с применением сетей Петри к моделированию систем, их анализу и получаю- щимся в результате этого глубоким проникновением в моде- лируемые системы. Эта работа требует хорошего знания об- ласти применения, сетей Петри и метода теории сетей Петри Чистая теория сети Петри занимается разработкой основных средств, методов и понятий, необходимых для применения сетей Петри. Большая часть работ по сетям Петри относится к фундаментальной теории сетей Петри, развивающей средства и методы. Которые окажутся некогда полезными для применения сетей Петри к конкретным реальным задачам Прикладная и чистая теории сетей Петри

Рассмотрим основные понятия сетей Петри, и прежде всего обратимся к теории комплектов. Комплект есть набор элементов из некоторой области, но, в отличии от множества, комплект допускает наличие несколь- ких экземпляров элемента. Функция #(х, В) определяет число экземпляров элемента х в комплекте В. Мощность комплекта |B| - общее число экземпляров элементов в комплекте. Операции : А В, А В, А+В, А-В. Отображения Париха f = (f 1, f 2, …f n ), где f i = #(x i, B) Основные определения

Сеть Петри состоит из четырех элементов: множество позиций Р, множество переходов Т, входная функция I и выходная функция O. Входная и выходная функции связаны с переходами и позициями. Входная функция I отображает переход t j в множество позиций I(t j ), называемых входными позициями перехода. Выходная функция O отображает переход t j в множество позиций O (t j ), называемых выходными позициями перехода. Структура сети Петри определяется ее позициями, переходами, входной и выходкой функциями. Структура сети Петри

Определение 1.1. Сеть Петри С является четверкой, С = {Р, Т, I, О). Р = {p 1, p 2, …, p n } – конечное множество позиций, n 0. Т = {t 1, t 2, …, t m }–конечное множество переходов, m 0. Множество позиций и множество переходов не пересекаются, P T = Ø. I : T P является входной функцией – отображением из переходов в комплекты позиций. O : T P есть выходная функция – отображение из переходов в комплекты позиций. Мощность множества Р есть число n, а мощность множества T есть число m. Произвольный элемент Р обозначается символом p i, i = 1, …, n, а произвольный элемент Т – символом t j, j = 1, …, m. Структура сети Петри

С=(Р, Т, I, О), P = {p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 }, T = {t 1, t 2, t 3, t 4 }, I(t 1 ) = {p 1 }O(t 1 ) = {p 2, p 3, p 5 } I(t 2 ) = {p 2, p 3, p 5 }O(t 2 ) = {p 5 } I(t 3 ) = {p 3 }O(t 3 ) = {p 4 } I(t 4 ) = {p 4 }O(t 4 ) = { p 2, p 3 } Примеры сетей Петри С=(Р, Т, I, О), P = {p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6 }, T = {t 1, t 2, t 3, t 4, t 5 }, I(t 1 ) = {p 1 }O(t 1 ) = {p 2, p 3 } I(t 2 ) = {p 3 }O(t 2 ) = {p 3, p 5, p 5 } I(t 3 ) = {p 2, p 3 } O(t 3 ) = {p 2, p 4 } I(t 4 ) = {p 4, p 5, p 5, p 5 } O(t 4 ) = {p 4 } I(t 5 ) = {p 2 }O(t 5 ) = {p 6 }

Позиция p i является входной позицией перехода t j в том случае, если p i I(t j ); p i является выходной позицией, если p i O(t j ). Входы и выходы переходов представляют собой комплекты позиций. Комплект является обобщением множества, в которое включены многократно повторяющиеся элементы – тиражировании элементы. Использование комплектов, а не множеств для входов и выходов перехода позволяет позиции быть кратным входом либо кратным выходом перехода. Структура сети Петри

Кратность входной позиции p i для перехода t j есть число появлений позиции во входном комплекте перехода, #( p i, I(t j )). Аналогично кратность выходной позиции p i для перехода t j есть число появлений позиции в выходном комплекте перехода, #( p i, O(t j )). Если входная и выходная функции являются множествами (а не комплектами), то кратность каждой позиции есть либо 0, либо 1. Входные и выходные функции используются для отображений позиций в комплекты переходов, а также их можно использовать для отображения переходов в комплекты позиций. Определим, что переход t j является входом позиции p i, если p i есть выход t j. Переход t j есть выход позиции p i, если p i есть вход t j. Структура сети Петри

Определение 1.2. Определим расширенную входную функцию I и выходную функцию O I : P T, O : P T таким образом, что #( t j, I (p i )) = #( p i, O(t j )), #( t j, O(p i )) = #( p i, I (t j )). Для сети Петри на рис. 1 расширенными входной и выходной функциями являются: С=(Р, Т, I, О), P = {p 1, p 2, p 3, p 4 }, T = {t 1, t 2, t 3, t 4, t 5, t 6 }, I(p 1 ) = { }O(p 1 ) = {t 1 } I(p 2 ) = {t 1, t 4 }O(p 2 ) = {t 2 } I(p 3 ) = {t 1, t 4 }O(p 3 ) = {t 2, t 3 } I(p 4 ) = {t 3 }O(p 4 ) = {t 4 } I(p 5 ) = {t 1, t 2 }O(p 5 ) = {t 2 } Структура сети Петри

В значительной степени теоретическая работа по сетям Петри основана на формальном определении сетей Петри, изложенном выше. Тем не менее для иллюстрации понятий теории сетей Петри гораздо более удобно графическое представление сети Петри. Теоретико-графовым представлением сети Петри является двудольный ориентированный мультиграф. Структура сети Петри представляет собой совокупность позиций и переходов. В соответствии с этим граф сети Петри обладает двумя типами узлов. Кружок О является позицией, а планка | – переходом. Графы сети Петри

Ориентированные дуги (стрелки) соединяют позиции и переходы, при этом некоторые дуги направлены от позиций к переходам, другие – от переходов к позициям. Дуга, направленная от позиции p i к переходу t j, определяет позицию, которая является входом перехода. Кратные входы в переход указываются кратными дугами из входных позиций в переход. Выходная позиция указывается дугой от перехода к позиции. Кратные выходы также представлены кратными дугами. Графы сети Петри

Сеть Петри есть мультиграф, так как он допускает существование кратных дуг от одной вершины графа к другой. Следует добавить, что так как дуги являются направленными, то это ориентированный мультиграф. Мы знаем, что вершины графа можно разделить на два множества (позиции и переходы) таким образом, что каждая дуга будет направлена от элемента одного множества (позиций или переходов) к элементу другого множества (переходов или позиций); следовательно, такой граф является двудольным ориентированным мультиграфом. В дальнейшем для простоты будем называть его просто графом сети Петри. Графы сети Петри

Определение 1.3. Граф G сети Петри есть двудольный ориентированный мультиграф, G = (V, А), где V = {v 1, v 2, …,v s } – множество вершин, а А = {a 1, a 2, …, a r } – комплект направленных дуг, a i = (v j, v k ), где v j, v k V. Множество V может быть разбито на два непересекаю- щихся подмножества Р и Т, таких, что V = Р U Т, Р Т = Ø, и для любой направленной дуги a i А, если a i = (v j, v k ), тогда либо v j, Р, v k Т, либо v j, Т, v k Р. Графы сети Петри, изображенные на следующем слайде, эквивалентны соответственно структурам сети Петри на слайде 13. Графы сети Петри

21 Графы сети Петри С=(Р, Т, I, О), P = {p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 }, T = {t 1, t 2, t 3, t 4 }, I(t 1 ) = {p 1 }I(t 2 ) = {p 2, p 3, p 5 } I(t 3 ) = {p 3 } I(t 4 ) = {p 4 } O(t 1 ) = {p 2, p 3, p 5 } O(t 2 ) = {p 5 }O(t 3 ) = {p 4 }O(t 4 ) = { p 2, p 3 }

22 Графы сети Петри Для демонстрации эквивалентности этих двух представлений сети Петри – структуры сети Петри и графа сети Петри – покажем, каким образом можно преобразовать один в другой. Предположим, нам дана структура сети Петри С = {Р, Т, I, О) с Р = {p1, p2, …, pn}, Т = {t1, t2, …, tm}. Тогда граф сети Петри можно определить следующим образом. Определение 1.4. Определим V = P UT. Определим А как комплект направленных дуг, такой, что для всех p i Р и t j Т : #( (p i,t j ), А) = #( p i, I(t j )), #( t j, p i ), А) = #( p i, O(t j )). G = (V, А) – граф сети Петри, эквивалентный структуре сети Петри С = (Р, Т, I, О).

23 Графы сети Петри Обратное преобразование (от графа сети Петри к структуре) осуществляется подобным образом. Однако при переходе от графа сети Петри к структуре сета Петри возникает одна интересная задача: если множество вершин можно разделить на подмножества S и R, то какое из этих подмножеств должно бьет позициями, а какое переходами? Оба возможных варианта позволяют определить сеть Петри, хотя в получающихся в результате структурах позиции и переходы меняются местами.

24 Графы сети Петри Двойственной к сети Петри С = (Р, Т, I, О) является сеть Петри = (Т, Р, I, О), которая получается в результате перестановки позиций и переходов. Структура графа сохраняется, просто меняются местами кружки и планки. На рисунке ниже показана сеть, двойственная к сети Петри на слайде 21

25 Графы сети Петри Инверсная сеть Петри С для сети Петри С = (Р, Т, I, О), определяется перестановкой входной и выходной функций – С = (Р, Т, О, I). То есть граф для сети Петри, инверсной сети Петри на слайде 21, будет выглядеть так:

26 Графы сети Петри Графы сети Петри являются мультиграфами, так как позиция может быть кратным входом или выходом перехода. В графе это показывается несколькими дугами между позицией и переходом. В то время как такой способ удовлетворителен для дуг с малой кратностью (не более трех), он неудобен для дуг очень большой кратности. Таким образом, в качестве альтернативного представления структур с большой краткостью используется пучок дуг. Пучок – это специальная дуга, которая рисуется жирной линией и помечается кратностью. Рисунок иллюстрирует переход с входной кратностью 7 и выходной кратностью 11.

27 Маркировка сетей Петри Маркировка μ, есть присвоение фишек позициям сети Петри. Фишка – это примитивное понятие сетей Петри (подобно позициям и переходам). Фишки присваиваются (можно считать, что они принадлежат) позициям. Количество и положение фишек при выполнении сети Петри могут изменяться. Фишки используются для определения выполнения сети Петри. Определение 1.5. Маркировка μ сети Петри С = (Р, Т, I, О) есть функция, отображающая множество позиций Р в множество неотрицательных целых чисел N. μ : Р N.

28 Маркировка сетей Петри Маркировка μ, может быть также определена как n-вектор μ = (μ 1, μ 2, …, μ n ), где n = |P| и каждое μ i N, i = 1, …, n. Вектор μ определяет для каждой позиции p i сети Петри количество фишек в этой позиции. Количество фишек в позиции p i есть μ i, i = 1, …, n. Связь между определениями маркировки как функции и как вектора очевидным образом устанавливается соотношением μ(p i ) = p i. Обозначение ее в виде функции является несколько более общим и поэтому употребляется гораздо чаще. Маркированная сеть Петри M = (C, μ) есть совокупность структуры сети Петри С = (Р, Т, I, О) и маркировки μ и может быть записана в виде M = (Р, Т, I, О, μ).

29 Маркировка сетей Петри На графе сети Петри фишки изображаются маленькой точкой в кружке, который представляет позицию сети Петри. На рисунке приведен пример графического представления маркированной сети Петри. Так как количество фишек, которое может быть определено для каждой позиции, неограниченно, то в целом для сети Петри существует бесконечно много маркировок. Множество всех маркировок сети Петри, обладающей n позициями, есть множество всех n-векторов, N n. Это множество, хотя и бесконечно, является счетным.

30 Маркировка сетей Петри Количество фишек в сети Петри редко превышает 5 или 6. В этом случае их рисуют. Однако, когда маркировка имеет 10, 20 или сотни фишек, приписанных позиции, в кружках удобнее не рисовать фишки, а указывать их общее количество, как на рисунке.

31 Правила выполнения сетей Петри Выполнением сети Петри управляют количество и распре- деление фишек в сети. Фишки находятся в кружках и управ- ляют выполнением переходов сети. Сеть Петри выполняется посредством запусков переходов. Переход запускается удалением фишек из его в входных позиций и образованием новых фишек, помещаемых в eго выходные позиции. Переход может запускаться только в том случае, когда он разрешен. Переход называется разрешенным, если каждая из его входных позиций имеет число фишек по крайней мере равное числу дуг из позиции в переход. Кратные фишки необходимы для кратных входных дуг.

32 Правила выполнения сетей Петри Фишки во входной позиции, которые разрешают переход, называются его разрешающими фишками. Например, если позиции p 1 и р 2 служат входами для перехода t 4, тогда t 4 разрешен, если p 1 и р 2 имеют хотя бы по одной фишке. Для перехода t 7 с входным комплектом {р 6, р 6, р 6 } позиция р 6 должна обладать по крайней мере тремя фишками, для того чтобы t 7 был разрешен. Определение 1.6. Переход t j Т, в маркированной сети Петри С = (Р, Т, I, О) с маркировкой μ разрешен, если для всех p i Р: μ ( p i ) #( p i, I(t j )).

33 Правила выполнения сетей Петри Переход запускается удалением всех разрешающих фишек из его входных позиций и последующим помещением в каждую из его выходных позиций по одной фишке для каждой дуги. Кратные фишки создаются для кратных выходных дуг. Переход t 3 с I(t 3 ) = {р 2 } и O(t 3 ) = {р 7, p 13 } разрешен всякий раз, когда в p 2 будет хотя бы одна фишка. Переход t 3 запускается удалением одной фишки из позиции р 2 и помещением одной фишки в позицию р 7 и в p 13 (его выходы). Дополнительные фишки в позиции р 2 не влияют на запуск t 3 (хотя они могут разрешать дополнительные запуски t 3 ). Переход t 2 ; котором I(t 2 ) = {р 21, p 23 } и O(t 2 ) = {р 23, p 25, p 25 }, запускается удалением одной фишки из р 21 и одной фишки из p 23, при этом одна фишка помещается в р 23 и две – в p 25 (так как p 25 имеет кратность, равную двум).

34 Правила выполнения сетей Петри Запуск перехода в целом заменяет маркировку μ сети Петри на маркировку μ'. Заметим также, что так как можно запустить только разрешенный переход, то при запуске перехода количество фишек в каждой позиции всегда остается неотрицательным. Запуск перехода никогда не удалит фишку, отсутствующую во входной позиции. Если какая-либо входная позиция перехода не обладает достаточным количеством фишек, то переход не разрешен и не может быть запущен. Определение 1.7. Переход t j в маркированной сети Петри с маркировкой μ может быть запущен всякий раз, когда он разрешен. В результате запуска разрешенного перехода t j образуется новая маркировка μ', определяемая следующим соотношением: μ'( p i ) = μ( p i ) – #( p i, I(t j )) + #( p i, O(t j )).

35 Правила выполнения сетей Петри В качестве примера рассмотрим маркированную сеть Петри, изображенную на рис При такой маркировке разрешены переходы t 1, t 2, t 3. Переходы t 14, t 5, t 6 не разрешены, так как ни одна позиций р 2, р 3, р 4, являющихся входами этих переходов, не имеют фишек. Т.е. ни один из переходов t 14, t 5, t 6 не может быть запущен. Если запущен переход t 2, то происходит удаление фишки из единственного входа р 1 и помещение двух фишек – по одной в выходы р 2 и р 3. Новая маркировка, полученная в результате запуска показана на рис. 1 на следующем слайде. Далее будем запускать последовательно разрешенные переходы t 4, t 5, t 6, t 3, t 5, t 6, t 1, t 4. Результирующая маркированная сети Петри представлена на рис. 2.

36 Правила выполнения сетей Петри Рис. 1. После запуска перехода t 2 Рис. 2. Окончательная маркировка Запуски могут осуществляться до тех пор, пока существует хотя бы один разрешенный переход. Когда не остается ни одного разрешенного перехода, выполнение прекращается. Мы видим, что именно такая ситуация сложилась на послед- ней маркировке. Для запуска перехода t 4 необходимо во входной позиции p 3 иметь две разрешающие фишки, а у нас только одна.

37 Пространство состояний сети Петри Состояние сети Петри определяется ее маркировкой. Запуск перехода изменяет состояние сети Петри посред- ством изменения маркировки сети. Пространство состояний сети Петри, обладающей n позициями, есть множество всех маркировок, т.е. N n. Изменение в состоянии, вызванное запуском перехода, определяется функцией изменения δ, которую мы назовем функцией следующего состояния. Когда эта функция применяется к маркировке μ (состоянию) и переходу t j, она образует новую маркировку (состояние), которая получается при запуске перехода t j в маркировке μ. Так как t j может быть запущен только в том случае, когда он разрешен, то функция δ(μ, t j ) не определена, если t j не разрешен в маркировке μ. Если же t j разрешен, то δ(μ, t j ) = μ', где μ' есть маркировка, полученная в результате удаления фишек из входов t j и добавлением фишек в выходы t j.

38 Пространство состояний сети Петри Определение 1.8. Функция следующего состояния δ : N n Т N n для сети Петри С = (Р, Т, I, О) с маркировкой μ и переходом t j Т определена тогда и только тогда, когда μ ( p i ) #( p i, I(t j )) для всех p i Р. Если δ(μ, t j ) определена, то δ(μ, t j ) = μ', где для μ'( p i ) = μ( p i ) – #( p i, I(t j )) + #( p i, O(t j )) для всех p i Р. Пусть дана сеть Петри С = (Р, Т, I, О) с начальной марки- ровкой μ 0. Эта сеть может быть выполнена последователь- ными запусков переходов. Запуск разрешенного перехода t j в начальной маркировке образует новую маркировку μ 1 = δ(μ 0, t j ). В этой новой маркировке можно запустить любой другой разрешенный переход, например t k, образующий новую маркировку μ 2 = δ(μ 1, t k ). Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока в маркировке будет существовать хотя бы один разрешенный переход.

39 Пространство состояний сети Петри Если же получена маркировка, в которой ни один переход не разрешен, то никакой переход не может быть запущен, функция следующего состояния не определена для всех переходов, и выполнение сети должно быть закончено. При выполнении сети Петри получаются две последова- тельности: последовательность маркировок (μ 0, μ 1, μ 2,...) и последовательность переходов., которые были запущены (t j0, t j1, t j2,...). Эти две последовательности связаны следующим соотношением: δ(μ k, t jk ) = μ k+1 для k = 0, 1, 2,.... Имея последовательность переходов и μ 0 легко получить последовательность маркировок сети Петри, а имея после- довательность маркировок, легко получить последователь- ность переходов, за исключением нескольких вырожденных случаев. Таким образом, обе эти последовательности представляют описание выполнения сети Петри.

40 Пространство состояний сети Петри Пусть некоторый переход в маркировке μ разрешен и, следовательно, может быть запущен. Результат запуска перехода в маркировке μ есть новая маркировка μ'. Говорят, что μ' является непосредственно достижимой из маркиров- ки μ, иными словами, состояние μ' непосредственно получа- ется из состояния μ. Определение 1.9. Для сети Петри С = (Р, Т, I, О) с маркиров- кой μ маркировка μ' называется непосредственно достижи- мой из μ, если существует переход t j Т, такой, что δ(μ, t j ) = μ.

41 Пространство состояний сети Петри Можно распространить это понятие на определение множества достижимых маркировок данной маркированной сети Петри. Если μ' непосредственно достижима из μ, a μ" – из μ', говорят, что μ" достижима из μ. Определим множество достижимости R(С, μ) сети Петри С с маркировкой μ как множество всех маркировок, достижимых из μ. Маркировка μ' принадлежит R(C, μ), если существует какая-либо последовательность запусков переходов, изменяющих μ на μ'. Определение Множество достижимости R(C, μ) для сети Петри С = (Р, Т, I, О) ) с маркировкой μ есть наименьшее множество маркировок, определенных следующим образом: 1. μ R(C, μ); 2. Если μ' R(C, μ) и μ" = δ(μ', t j ) для некоторого t j Т, то μ" R(C, μ).

42 Пространство состояний сети Петри Для сети Петри, изображенной ниже, и маркировки μ = (1, 0, 0) непосредственно достижимыми являются две маркировки: (0, 1, 0) и (1, 0, 1). Из (0, 1, 0) нельзя достичь ни одной маркировки, так как ни один переход не разрешен. Из (1, 0, 1) можно получить (0, 1, 1) и (1, 0, 2). Далее мы покажем, что множество достижимости R(C, μ) имеет следующий вид: {(1, 0, n), (0, 1, n) | n 0}.

43 Пространство состояний сети Петри Удобно распространить функцию следующего состояния на отображение маркировки и последовательности переходов в новую маркировку. Для последовательности переходов (t j1, t j2, …, t jk ) и маркировки μ маркировка μ' = δ(μ, t j1, t j2, …, t jk ) есть результат запусков: сначала – t j1, затем – t j2 и т.д. до t jk. (Такая операция, конечно, возможна только в том случае, если каждый переход к моменту его запуска разрешен.) Определение Расширенная функция следующего состояния определяется для маркировки μ и последова- тельности переходов σ Т* (где Т* – множество всех подмножеств множества (булеан) переходов) следующими соотношениями: δ(μ, t j, σ) = δ(δ(μ, t j ), σ), δ(μ, λ) = μ. Обычно мы применяем эту расширенную функцию.