Перемежаемость и расширенная автомодельность турбулентной плазмы в пограничных слоях термоядерных установок и в магнитосфере В.П. Будаев 1, С.П. Савин 2, Л.М. Зеленый 2 1 Институт ядерного синтеза, РНЦ Курчатовский институт, , пл. Курчатова 1, Москва, Россия 2 Институт космических исследований РАН, , Москва, Россия

Свойства турбулентности плазмы в периферии термоядерных установок и пограничных слоях магнитосферы Земли : перемежаемость, самоподобие Методы исследования : функция распределения, структурная функция, анализ масштабной инвариантности (автомодельности), анализ мультипликативного каскада, мультимасштабность мультифрактальность Расширенное самоподобие развитой турбулентности – обобщенное свойство масштабной инвариантности Модели. Логпуассоновская модель: наиболее общая, успешно объясняет свойство перемежаемости турбулентности

Circular cross-section Circular cross-section R = 1.5 m a L = 0.3 m B T 3 T I P 500 kA t ~ 1 sec n 6x10 13 cm -3 ECRH system up to 1.8 MW, t = 0.4 sec 4 gyrotrons at 140 GHz 1 gyrotron at 130 GHz T-10 токамак

HYBTOK-II токамак Nagoya University Circular cross- section Circular cross- section R = 0.4 m a L = 0.11 m B T 0.3 T I P 5 kA t ~ 0.15 sec n 2x10 12 cm -3

Linear Plasma Device, NAGDIS-II 0.3 m linear divertor plasma simulator, n~10 20 m -3 in steady state. Detached plasma condition by increasing neutral gas pressure

Large Helical Device LHD l=1mm d=6mm f=250kHz superconducting heliotron- type device with a set of l = 2/m = 10 R = 3.9m, a = 0.65 m, B t < 2.89 T, NBI power, PNBI < 5MW, n e < 8 × m × m3 Te < 4.4 keV, Ti < 3.5 keV t E ~ 0.3 s LHD Divertor probes

Interball km, Interball km Interball, 1998

Схематическое изображение спутника ИНТЕРБОЛ Хвостовой Зонд и расположение ряда экспериментов: Коралл, ВДП, Промикс-3, Электрон, ДОК-2, датчиков полей и волн. Эксперименты проекта ИНТЕРБОЛ БД1-6 – датчики электрического поля в диапазоне кГц. БПП, ФМ-3 – феррозондовые датчики постоянного магнитного поля (0-32 Гц). ДМ-2 – индукционный датчик переменного магнитного поля в диапазоне Гц. ДМ-1 – Токовый зонд для измерения тока плазмы в диапазоне Гц.

Interball-1 OT summary In summer outer cusp throat (OT) is open for the MSH flow.TBL (turbulent boundary layer) is mostly in MSH. In winter OT is closed by smooth MP at larger distance. Inside MP plasma balls (~few Re) contain reduced field, heated plasma & weaker TBL. OT encounters on at UT by Interball-1 and Polar are shown

Параметры плазмы T-10HYBTOK-IINAGDIS-IIEarths magnetopause Magnetic field,T~2~0.3~0.1(1-10)*10 -9 Core plasma density,cm – ~10 14 Core plasma electron temperature, eV ~2000~200~10 Edge plasma density,cm –3 ~ ~ ~ ~1-100 Edge plasma electron temperature, eV ~10-50~10~1-3~20 Edge plasma ion temperature, eV~10~2-5

Флуктуации плазмы в турбулентных пограничных слоях в лабораторных установках и в магнитосфере Земли: перемежаемость Магнитосфера Земли, Interball-I, Токамак Т-10, линейная установка NAGDIS-II

Фурье спектры и корреляционные функции Фурье спектры – нетривиальная зависимость от частоты Автокорреляционные функции : C( )~, ~ Нет экспоненциального спада T-10

close to Gaussian PDF Large amplitudes exhibit non-Gaussianity. Intermittent bursts Функция распределения (PDF) For fully random fluctuation (Kolmogorov-type model ) PDF is a Gaussian Coherent events: deviation from a Gaussian ( reduce the number of degrees of freedom, process called as intermittent)

Методы исследования развитой турбулентности Решать аналитически (невозможно) или численно ур-е Навье-Стокса Экспериментально протоколировать поведение системы в определенной геометрии, условиях и т.п., пытаться формулировать феноменологические закономерности исходя из механизмов возбуждения турбулентности (пример- скейлинги времен удержания в токамаках) Подход Колмогорова: рассматривать турбулентность как ансамбль флуктуаций, находящийся в статистическом квази-равновесии. Каскадный механизм обеспечивает сохранение переноса энергии по каскаду, обеспечивая иерархию, симметрию процесса

Модель турбулентности Колмогорова (K41): Fluid, Europ. Phys.J. B 8,301(1999) EkEk k диссипация возбуждение инерцио нный E k ~ k -5/3 Поток энергии k 0 =2 /d -in fluid turbulence, strong vortices of all sizes superposed upon one another, A.N. Kolmogorov, in 1941, had considered an energy cascade with trivial self-similarity : energy flux through the various size of vortices. T-10 В эксперименте не наблюдается тривиального самоподобия (и в жидкости и в плазме): аномальность / перемежаемость Универсальные свойства перемежаемости

Перемежаемость наблюдается в численных экспериментах, Навье-Стокса ур-е

Перемежаемость Перемежаемость– это локальное нарушение однородности турбулентности, в которой активные области сосуществуют с пассивными (квазиламинарными). явление впервые рассмотренное Новиковым и Стьюартом Перемежаемость наблюдается в гидродинамических турбулентных течениях нейтральной жидкости и турбулентной замагниченной плазме как с большими, так и с умеренными числами Рейнольдса Случайные пульсации обладают негауссовой статистикой.

3D isotropic MHD turbulence, DNS Biskamp Mueller small-scale turbulent structures: Current-density isosurfaces vorticity isosurfaces

Автомодельность – симметрия относительно масштабных преобразований: уравнение Навье-Стокса В гидродинамическом турбулентном потоке устанавливается каскадный процесс передачи энергии от больших турбулентных ячеек к малым вплоть до масштабов, где вязкость становится существенной и происходит диссипация (в двумерных и анизотропных системах могут развиваться и инверсные каскады). При больших числах Рейнольдса в инерционном диапазоне l (η

Отклонение от колмогоровской модели: турбулентность плазмы и нейтральной несжимаемой жидкости Все масштабы вовлечены в процесс: как инерционный диапазон так и диссипативный совместно с большими масштабами Перемежаемость (Intermittency): смесь активных и квазиламинарных состояний Колмогоровская идея о масштабной инвариантности (автомодельности) является ключевой, приводя к степенным скейлингам Самоподобие нетривиальное Длинномасштабные корреляции Нелокальность

Модели развитой турбулентности с перемежаемостью Логнормальная (Kolmogorov, 1961, statistics of fluctuations ) Бета модель (Novikov, Stewart 1964,Frish 1978) Мультифрактальная модель (Frish 1985, Sreenivasan e.a. 1991) Логпуассоновская модель – расширенная автомодельность (extended self-similarity, She, Leveque, Debrulle, 1994)

Методы исследования развитой турбулентности: структурная функция Для гауссова ансамбля S q ~r q/3 (модель Колмогорова) Перемежаемость имеет скейлинг S q ~r (q) Точный результат из симметрии ур-я Навье-Стокса : (3)=1

Модели и эксперименты в жидкости in Frish

Турбулентность плазмы: особые свойства Много характерных масштабов (r s, d i,d e, …etc.) Анизотропия (иногда 3D уменьшается до 2D) Электрические и магнитные поля Вовлечение в процесс волновых структур Различные каскады (инверсный) и др…

Каскадные процессы: мультипликативные модели l n =2 -n L, ln X(t)= ( i=1-n W i ) L X(t) E 1-1/ p E 1/pE E 1/2E Monofractal isotropic process: Kolmogorov type Multifractal process: long-range correlations, memory effect Rather considerable generalization of fractal geometry Single exponent (dimension) Family of exponent (spectrum of dimensions)

Coarse integral time T~ s Наблюдение мультифрактальности (многомасштабности ) PDF of increments l X(t)=X(t+l)-X(t), depends on scale, l=1-128 mcs

Brownian motion does not demonstrate multifractality: monofractal, trivial self-similarity PDFs of increments l X(t)=X(t+l)-X(t), dont depend on scales l l, lag

Отклонение от линейности (аномальность): подобие в поведении скейлинга для турбулентных пограничных слоев лабораторной и космической плазмы скейлинг структурной функции S(q,l) = ~ l ( q), ( q)=qH - 2 q 2, 2 – параметр мультифрактальности (q)=qH – монофрактальное броуновское движение fBm

Расширенная атомодельность (Extended Self-Similarity) Benzy, 1993, феноменологически предложил скейлинг: Даже для умеренных чисел Рейнольдса She, Leveque, Dubrulle, 1994, модель: Скрытые статистические симметрии (дилатационные группы) ур-я Навье-Стокса обеспечивают это свойство Иерархия моментов ФР Логпуассоновская статистика Обобщенное свойство масштабной инвариантности, вызвано учетом влияния граничного масштаба (проблема обрезания) Два параметра : - степень перемежаемости и - характеристика геометрии наиболее диссипативных структур

Турбулентность, по-видимому, обладает более универсальными свойствами масштабной инвариантности даже чем предполагал А.Н. Колмогоров

S(q,l)~ S(3,l) (q)/ (3) She and Leveque (SL) изотропная 3D турбулентность Debrulle обобщила SL Скрытые симметрии и иерархия моментов (структурных функций) высоких порядков Существует предельный ε l, соответствующий наиболее диссипативным структурам - учет «обрезания» спектра

Cascading in log-Poisson model of intermittency: random multiplicative process Coherent structure of large scale Random multiplicative process: energy dissipation rate ε at two different scales l 1 and l 2 : ε(l 2 )=W(l 1, l 2 ) ε(l 1 ) ε(l)~l τ(q), log(W q (l 1, l 2 ) )/log(l 2 /l 1 )=τ(q) The defects adds a finite amount of disorder to the singular structure events Amplification of modulation by defects of integer numbers defects Establishing log-Poisson process : ln(ε) obeys Poisson distribution

Структурная функция:Extended Self-Similarity Инерционный диапазон в классическом понимании ESS во всем диапазоне масштабов!!!! ESS наблюдается в течениях нейтральной жидкости

Эксперимент Логпуассоновская модель предсказывает: 1D одномерные нитевидные структуры (филаменты) являются доминирующими предельными диссипативными структурами

Параметры логпуассоновской модели: β – степень перемежаемости, Δ- геометрия диссипативных структур T-10 SOL, r=34 см0,430,33 Т-10 LCFS, r=30.5 см0,410,36 T-10 shear layer, r=29.5 см0,280,5 NAGDIS-II attached, r=18 мм0,230,36 NAGDIS-II detached, r=18 мм0,350,3 Магнитопауза Земли, в каспе, В х 0,240,38 Колмогоровс кий скейлинг Магнитопауза Земли, вне каспа, В х ~0

Длинно-маштабные корреляции – следствие мультифрактальности и перемежаемости X(t)= X(t+ )-X(t) D * = (C (l, )) Мультифрактальный каскад генерирует супердиффузию: ~t 2-, 0<

Выводы В турбулентных пограничных слоях плазмы в термоядерных установках и в магнитосфере Земли наблюдается свойство расширенной автомодельности Нелинейные скейлинги структурной функции могут быть описаны в рамках логпуассоновской модели развитой турбулентности Исходя из предсказаний логпуассоновской модели турбулентности: следует ожидать, что 1D структуры - предельные диссипативные структуры в ТПС Подобные свойства наблюдаются и в гидродинамической турбулентности, что указывает на универсальный характер перемежаемости в развитой турбулентности

Эффекты конечного гирорадиуса ионов (FLR) входят в МГД уравнения через тензор давления P в уравнении импульса du/dt =[j х В] - grad(Р e +Р i ) и через обобщенный закон Ома: Е + [u х В] = ([j х В] - grad Р e )/en + e 0 j t Т ензор давления в бесстолкновительной плазме: где р p, p || - скалярные компоненты давления и b i = В i /|В|. В системе, в которой магнитное поле направлено по z, вязкий гиро-тензор принимает вид: Параметр = р i /2 c, где р i - перпендикулярное ионное давление

The multifractal formalism for turbulent flows - to describe the anomalous scaling properties of turbulence at large Reynolds numbers. Scale invariance of the Navier-Stokes equation: t u + u · u = p/ +[jB]/c+ u u - velocity field, equation is invariant with respect to the scale transformation: For viscosity ν = 0 - any α. Parisi and Frisch proposed each fluctuation h at scale r is weighted with a probability distribution P h (r) ~ r 3D(h). Scale invariance: a feature of turbulence Multi-scaling (multifractality)

Klimov, S., S.Romanov, E.Amata, J.Blecki, J.Buechner, J.Juchniewicz, J.Rustenbach, P.Triska, L.J.C.Woolliscroft, S.Savin, Yu.Afanas'yev, U.de Angelis, U.Auster, G.Bellucci, A.Best, F.Farnik, V.Formisano, P.Gough, R.Grard, V.Grushin, G.Haerendel, V.Ivchenko, V.Korepanov, H.Lehmann, B.Nikutowski, M.Nozdrachev, S.Orsini, M.Parrot, A.Petrukovich, J.L.Rauch, K.Sauer, A.Skalsky, J.Slominski, J.G.Trotignon, J.Vojta, R.Wronowski, ASPI Experiment: Measurements of Fields and Waves Onboard the INTERBALL-1 Spacecraft, Ann. Geophys., v. 15, p , (1997). Savin S.P., Zelenyi, L.M., Amata, E. et al., Dynanic Interaction of Plasma Flow with Hot Boundary Layer of Geomagnetic Trap, JETP Letters, 79, , (2004)

T- 2 diagram:multifractal multiplicative cascade Integral time T – dimensional parameter. Is it an additional scale in the process and symmetry? concentrated in closed domain

Power spectra S(f)= n(f) 2 Bandwidth of drift-wave instabilities ~ kHz No monochromatic modes No clear evidence of 1/f (Kolmogorov type) spectra over the whole frequency range Density, T-10 SOL LCMS In SOL typical d~-1.5:-3, S(f)~f d Edge, SOL

Space plasmas

[Chapman & Ferraro, JGR, 36, 77, 1931][Axford et al., JGR, 70, 1231, 1965] [Stern, JGR, 90, 10,851,1985] [Плетнев, Скуридин, Шалимов, Швачунов, "Исследования космического пространства" М.: Наука, 1965]

Отношение вязкого гиронапряжения к максвелловскому : ~ const u / B 0 3 где r u - направленный ионный гирорадиус, и L - толщина магнитопаузы. Для ~ 1-10 у магнитопаузы вязкое гиронапряжение сопоставимо с напряжением Максвелла. Скорость u, нарастает от подсолнечной точки, магнитное поле B 0 - имеет минимум над каспом, т.е. гировязкое взаимодействие наиболее существенно на внешней границе каспа, что приводит к диффузии магнитного потока (эквивалентной микропересоединению) F x, u FzFz B IMF B in

Coarse (mixing) time scale of T in the process: scale of coherent structures PDF of increments l X=X(t+l)-X(t) structure function of increments has nonlinear scaling M(q,l)= l X q ~l (q) (q)=qH- 2 q 2 multifractality parameter PDF,l=1 2 = T s for fusion devices T sec for space plasma PDF,l=300 T- 2 scales : feature of multifractal multiplicative cascade T-10 SOL

Магнитное поле вморожено в плазму снаружи и внутри магнитопаузы, где нарушается идеальное МГД-приближение и происходит проникновение плазмы внутрь магнитосферы.

Shuffled data become Brownian with Gaussian increments Evidence of multifractality (multi-scaling) PDF of increments l X(t)=X(t+l)-X(t), depends on scale l=1-128 mcs

Функция распределения Strong events happen more frequently than random Statistics varies strongly in space Resembles power law Cauchy function T-10, density T-10, flux

Наблюдение мультифрактальности (многомасштабности ) PDF of increments l X(t)=X(t+l)-X(t), depends on scale, l Non-Gausian Gausian Lag l

Фурье спектры S(f)= n(f) 2 Bandwidth of drift-wave instabilities ~ kHz No monochromatic modes No clear evidence of 1/f (Kolmogorov type) spectra over the whole frequency range Density, T-10 SOL LCMS In SOL typical d~-1.5:-3, S(f)~f d Edge, SOL

Extended Self-Similarity масштабная инвариантность наблюдается в расширенном диапазоне

PDF – могут описывться степенными законами, например, Коши

Нетривиальное самоподобие – наблюдается в системах с ограниченным инерционным диапазоном, когда граничные диапазоны (диссипативный и крупномасштабный) влияют на процессы в инерционном

Методы исследования развитой турбулентности: структурная функция Для гауссова ансамбля S q ~r q/3 (модель Колмогорова) Перемежаемость имеет скейлинг S q ~r (q), (q) – нелинейная функция Точный результат из симметрии ур-я Навье-Стокса : (3)=1 q=2 – спектр мощности (Фурье), не способен полностью описать процесс