Простые делители оберквадратов

Унтерквадраты 0, 3, 8, 15, 24, 35 и т.д

Оберквадраты 2, 5, 10, 17, 26 и т.д.

n2 – 1 n2 1 = (n 1)(n + 1)

n2 + 1 Общая формула простых делителей оберквадратов

Задача 1. Какие простые числа могут быть делителями оберквадратов?

Разложение оберквадратов на множители 2 = 2, 5 = 5, 10 = 2 · 5, 17 = 17, 26 = 2 · 13, 37 = 37, 50 = 2 · 5 · 5, 65 = 5 · 13, 82 = 2 · 41.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 37, 41, 47, 53,...

2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53,... хорошие, 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47,... плохие.

Скачки для хороших чисел: Теперь скачки для плохих чисел:

2 = 0 · 4 + 2, 5 = 4 · 1 + 1, 13 = 4 · 3 + 1, 17 = 4 · 4 + 1, = 0 · 4 + 3, 7 = 4 · 1 + 3, 11 = 4 · 2 + 3, 19 = 4 · 4 + 3,

Предположение 1. Хорошие числа это 2 и числа вида 4n + 1, а плохие это числа вида 4n + 3, где n N.

= 101 · 9901, а = = 2 · 52 · 13 · 6197.

+ЧН ЧЧН ННЧ * ЧН ЧЧЧ НЧН

*

Таблица сложения

Таблица умножения *

Утверждение «x2 + 1 делится на p» равносильно такому: x2 = –1 в Fp.

Задача 2. Для каких простых p уравнение x2 = –1 имеет решение в поле Fp?

1, 2, 4, 3, 1, 3, 4, 2, 1, 4,1*. 1, 2, 4, 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 4, 2, 1, 5, 4, 6, 2, 3, 1, 6, 1.

Построим таблицу для поля F13: 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 11, 9, 5, 10, 7, 1, 3, 9, 1, 4, 3, 12, 9, 10, 1, 5, 12, 8, 1, 6, 10, 8, 9, 2, 12, 7, 3, 5, 4, 11, 1,......

1 a …………………… 2 a 3 a