Методы обработки и анализа результатов исследований проф. Ивановский Р.И., каф. РВиКС, ФТК, СПбГПУ

ПЛАН o Модели, типы o Подготовка данных для компьютерных экспериментов o Обработка результатов моделирования (исследования) o Анализ результатов 2

3 Модели Имитационные Математические СтатическиеДинамические ДетерминированныеСтохастические Скалярный Векторный Вход Выход

4 Подготовка данных для компьютерных экспериментов (пример входного случайного вектора) Пусть Х случайный вектор с элементами Х j, j = 1, m, имеющий вектор математических ожиданий М(Х) = m X и ковариационную матрицу P X = М[(Х – m X )(Х – m X ) T ]. Требуется преобразовать исходный вектор в случайный (m 1)-вектор Z, вектор математических ожиданий М(Z) = m Z и ковариационная матриц P Z которого заданы. Введем в рассмотрение матрицу С Х, удовлетворяющую соотношению С Х (С Х ) Т = P X. Два этапа: нормировка: Х + = (С Х ) –1 (Х – m X ) = (С Х ) –1 Х 0 ; формирование требуемого массива: Z = m Z + С Z X +, С Z (С Z ) Т = P Z. ПП П

5 Подготовка данных для компьютерных экспериментов (случайный процесс) Случайные процессы (СлПр): dx/dt = Ax + Bw + Cu; у = Hx; x(0) = x 0 ; dm x /dt = Am x + Cu; m у = Hm x ; M[x(0)] = m x (0); w = w(t) r-мерный вектор входных белых шумов с матрицей интенсивностей Q M[w(t)w T ( )] = Q ( t – ). Для линейной стох. системы ковариационная матрица P(t) = M[ (t) T (t)] = cov[x(t)]; (t) = x(t) – m x (t) удовлетворяет матричному ковариационному уравнению dР/dt = АР(t) + Р(t)А T + BQB T ; P(0) = M[ (0) T (0)] = cov[x(0)]. Ковариационная матрица выходного вектора Р y (t) = HР(t)H T. Для стационарных СлПр: dm x /dt = 0; начальная ковариационная матрица P(0) выбирается из условия стационарности АР(t) + Р(t)А T + BQB T = 0. Типовая картина динамики изменения математического ожидания и дисперсии выходной переменной

6 Обработка результатов (стохастические модели) Статическая модель со скалярным выходом. o преобразования входных факторов путем линейного или нелинейного масштабирования. o при стохастическом моделировании (n-кратном прогоне модели) для скалярного выхода получаются выборочные данные, которые удобно представлять в виде (n 1)-вектора Х. o вектор Х является случайным вектором по серии компьютерных экспериментов; каждая серия состоит из n локальных экспериментов; o будем предполагать, что компьютерный эксперимент осуществляется в виде только одной серии (n экспериментов); o таким образом, элементы вектора Х - значения дискретной случайной величины Х. Палитра числовых характеристик (ЧХ), которые могут быть получены по выборке Х объема n, весьма широка. Перечислим только основные из этих характеристик: точечные оценки ЧХ (выборочное среднее Х В, выборочная дисперсия D В, выборочный коэффициент вариации k v = s В /S В, выборочные вероятности p В принадлежности Х заданным диапазонам и проч.); интервальные оценки перечисленных выше ЧХ при заданных доверительных вероятностях; выборочные квантили заданных порядков; гистограммы, полигоны абсолютных и относительных частот и проч.

77 Обработка результатов (стохастические модели) Динамическая модель со скалярным выходом. o изменение во времени выходных переменных модели; o наличие в модели возмущений в виде случайных величин (как минимум); o результат n компьютерных экспериментов - совокупность n реализаций случайного процесса; o данные удобно представлять в виде (n 1)-вектор-функции Х(t), элементами которой служат СлПр Х(t); o вектор Х (t) является случайным вектором по серии компьютерных экспериментов; каждая серия состоит из n локальных экспериментов; o будем предполагать, что компьютерный эксперимент осуществляется в виде только одной серии (n экспериментов) – получаем n реализаций. Две реализации нестационарного СлПр Числовые характеристики СлПр определяют по его сечениям, т. е. значениям Х(t = t*). Это случайные величины, для которых определяют все ЧХ, перечисленные на предыдущем слайде. В общем случае имеет место изменчивость всех ЧХ во времени, изменчивость вероятностей p В (t) и гистограмм. Кроме того: задачи линейной и нелинейной регрессии; прогноз; выборочные автокорреляционные функции.

88 Обработка результатов (стохастические модели) Статическая модель со векторным выходом. o возмущения – векторные или скалярные случайные величины (СВ); o наблюдению подлежат m выходных переменных(СВ); o выходные данные – в виде (m n)-матрицы А. Строки А объединяют выборки для каждой из m выходных переменных(СВ). Палитра числовых характеристик, которые могут быть получены по массиву А, весьма широка. Перечислим только основные из этих характеристик: вектор выборочных средних Х В ; выборочная ковариационная матрица Р В ; выборочные дисперсии элементов выходного вектора; выборочные корреляционные моменты и коэффициенты парной корреляции элементов выходного вектора; коэффициенты вариации для каждой из наблюдаемых величин; выборочные вероятности принадлежности элементов выходного вектора заданным диапазонам; выборочная вероятность попадания вектора выходных переменных в заданную область (для двумерного вектора в плоскую фигуру; для трехмерного и более в заданную пространственную фигуру); интервальные оценки перечисленных выше числовых характеристик при заданных доверительных вероятностях и проч.

9 Обработка результатов (стохастические модели) Динамическая модель с векторным выходом. o возмущения – векторные или скалярные случайные величины (СВ); o наблюдению подлежат m выходных переменных(СВ); o результат – векторный случайный процесс; обработка – по сечениям; o выходные данные – в виде (m n)-матрицы А для каждого сечения. Для каждого из сечений могут быть определены: вектор выборочных средних Х В ; выборочная ковариационная матрица Р В ; выборочные дисперсии элементов выходного вектора; выборочные корреляционные моменты и коэффициенты парной корреляции элементов выходного вектора; коэффициенты вариации для каждой из наблюдаемых величин; выборочные вероятности принадлежности элементов выходного вектора заданным диапазонам; выборочная вероятность попадания вектора выходных переменных в заданную область (для двумерного вектора в плоскую фигуру; для трехмерного и более в заданную пространственную фигуру); интервальные оценки перечисленных выше числовых характеристик при заданных доверительных вероятностях и проч.

10 Пример обработки результатов моделирования (статическая модель с векторным выходом) вектор выборочных средних центрирование результатов выборочная ковариационная матрица выборочный корреляционный момент выборочный коэффициент корреляции

11 Принятие решений по результатам моделирования и риски Критерии o критерий гарантированного результата: o оптимистический критерий: o пессимистический критерий: o критерий наименьшего вреда (Сэвиджа): o критерий обобщенного максимина (Гурвица): o Игровые ситуации: S i - стратегии первого игрока, C i - стратегии второго игрока. платежная матрица Е матрица затрат З с элементами З ij матрица рисков R с элементами r ij

12 Принятие решений по результатам моделирования и риски Многокритериальность (векторный критерий К = | К 1 К 2.. К v.. К q | Т ) o скаляризация (свертка): o Парето-оптимизация: прибыль-риск Риски не достичь плана: х(plan) – планируемый эффект; х1, х2 – интервальные оценки МО; х* - выборочное среднее. Вероятности попасть в зоны – численное выражение риска В

Пример технической задачи – процессы в ЭЭС 13

Окно визуализации имитационной модели ЭЭС Цель – противоаварийные меры, создание территориально-распределенной системы управления 14

Найти матрицу объекта регулирования Этапы решения проблемы Найти матрицу регуляторов Упростить структуру многомерного регулятора Проверить качество процессов регулирования на виртуальном объекте Аппроксимация r(t) (СКМ) Аппроксимация h(t) (СКМ) Анализ свойств объекта (СКМ) Правые корни полинома f(p) определителя detW = f(p)/g(p) (СКМ) Анализ работы замкнутой системы (ИМ) Корни полинома F(p) определителя Det(E+Wr) = F(p)/G(p) (СКМ) Подэтапы 15

Аппроксимация (получение W ij (p)) 16 Аппр-ия низкочастотной составляющей Аппр-ия высокочастотной составляющей Результат сложения полученных переходных характеристик

f(x) = k 0 x n + k 1 x n – 1 + … + k n = 0. Анализ устойчивости определение всех корней i = a i + j b i (i = 1 … n) многочлена f(x); определение корней, расположенных в заданном диапазоне; определение факта наличия или отсутствия правых (a i > 0) корней; определение правых корней. Подход: Подстановка х = a + jb – параметризация полинома; f(a, b) = R(a, b) + jI(a, b), Rm(a, b) =. Проблема начальных приближений - - необходимость визуализации 17

f3(t)/( j) f3(t) = f1(t) 2 f1(t) = (t 2 – t ) (0.5 ± 2j) Простые примеры применения Rm(a, b) 18

Rm(a, b) = 0, если Rm(a, b) > R 0 раздел Теория регулирования /Многомерные системы предварительный анализ поверхности Rm(a, b), выявление областей локальных минимумов, задание множества соответствующих начальных приближений a и b, определение значений a и b, соответствующих каждому минимуму. Общая процедура Выделение информативных зон 19

Полиномы высоких порядков Логарифмирование позволило анализировать полиномы высоких порядков 20

Вид логарифмической поверхности для полинома 98-го порядка Фрагмент полинома 21

Спасибо за внимание! Ивановский Ростислав Игоревич, д.т.н., профессор каф. Распределенные вычисления и компьютерные сети, ФТК, СПбГПУ, 22