Динамический хаос В.П. Крайнов кафедра теоретической физики МФТИ 19 октября 2005 г.

Содержание Обычный хаос: броуновское движение пылинки в воздухе Движение пылинки под действием стоячей звуковой волны в резонаторе Разреженный газ в сосуде со стенкой, дрожащей с высокой частотой Маятник Капицы в стохастическом режиме

1. Обычный хаос: броуновское движение пылинки в воздухе k – коэффициент трения от сопротивления воздуха, F(t) – хаотическая сила от ударов быстрых молекул, u x – скорость пылинки вдоль оси X направления удара t – время корреляции (продолжительность одного удара)

Аналитическое решение: Средние значения:

Пределы Малые времена kt > 1: D – коэффициент диффузии - стационарное броуновское движение

2. Движение пылинки под действием стоячей звуковой волны в резонаторе Пылинка движется из-за давления звуковой волны вдоль оси X Частота волны Волновое число k Система единиц: m = k = = 1 x резонатор Возбуждение продольного звука в резонаторе

Уравнение Ньютона: F – безразмерная амплитуда силы давления звука

F = 0.5 (в периодах волны) ( в единицах длины волны )

F = 20

F = 200

F = 2000

3. Разреженный газ в сосуде со стенкой, дрожащей с высокой частотой unun 2a2a L Нет столкновений молекул друг с другом u n+1

Отображение Пуанкаре

Возникновение динамического хаоса - Коэффициент растяжения фазы; K < 1 – регулярное движение K > 1 – хаотическое движение Для примера газа в объеме с колеблющейся стенкой:

Диффузия скорости молекулы D – нелинейный коэффициент диффузии

Время диффузионного набора скорости молекулы (нагрева газа) t > t D – регулярное движение с прекращением набора скорости (K < 1)

4. Маятник Капицы в стохастическом режиме L Уравнение Ньютона в неустойчивом режиме: Умножаем на d /dt и интегрируем по времени, получаем изменение энергии маятника верхнее положение маятника устойчиво к малым колебаниям!

0 tntn Изменение энергии за одно колебание экспоненциально мало:

Отображение Пуанкаре Условие стохастического режима для коэффициента растяжения фазы:

Диффузия энергии маятника Вывод: в окрестности верхней точки неустойчивого равновесия с течением времени маятник Капицы медленно уходит от нее (по диффузионному закону, а не равномерно!) либо в сторону колебаний, либо вращений – в зависимости от начального значения энергии E MgL.

Заключение Для реализации динамического хаоса при классическом движении свободной или связанной в потенциале частицы под действием периодического возмущения необходимы два условия: 1. Суммарная сила, действующая на частицу, должна быть нелинейной 2. Амплитуда возмущения должна быть достаточно сильной