Математическое моделирование конвективного тепло-массообмена в жидком цилиндрическом столбике со свободной боковой поверхностью Научный руководитель: к.ф-м.н Калачинская Ирина Станиславовна Дипломная работа Выполнила Вильчик Ю.В.

Введение Актуальной задачей современной гидродинамики является численное моделирование конвективных течений несжимаемой жидкости, связанных с многочисленными техническими приложениями: тепловая гравитационная конвекция в расплавах, термокапиллярная конвекция при отсутствии гравитации (многие процессы космической технологии: направленная кристаллизация, бестигельная зонная правка) и др Большинство алгоритмов для расчета конвективных течений несжимаемой жидкости строится на основе традиционных уравнений Навье-Стокса, однако, несмотря на большой опыт решения этих уравнений, их численная реализация встречается сравнительно редко. Нетрадиционным подходом к построению алгоритмов для моделирования течений несжимаемой жидкости является использование квазигидродинамической (КГД) системы уравнений, которые отличаются от уравнений Навье-Стокса дополнительными вязкими членами с малым параметром В данной работе исследуется движение конвективного расплава полупроводников в зависимости от граничных условий на поверхности

Постановка задачи Рассмотрим столб жидкости между двумя параллельными, концентрическими, твердыми поверхностями, расположенными на расстоянии d. На верхней и нижней твердых поверхностях поддерживаются различные температуры и. Боковая поверхность считается недеформируемой и для соответствующего объема жидкость имеет цилиндрическую форму. Столб жидкости находится во внешнем магнитном поле. Конвективное течение в объеме возникает благодаря зависимости поверхностного натяжения жидкости от температуры (термокапиллярная конвекция).

Квазимагнитогидродинамическая система Обозначения: – среднее значение плотности – вектор гидродинамической скорости – давление, отсчитываемое от гидростатического – отклонение температуры от ее среднего значения – напряженность магнитного поля

КМГД система в безындукционном приближении Обербека-Буссинеска: Где

Система уравнений Здесь

Начальные условия Граничные условия ось симметрии (r = 0, -1 < z < 1): боковая стенка (r = 1, -1 < z < 1): нижняя (0 < r < 1, z = -1) и верхняя (0 < r < 1, z = 1) стенки:

Алгоритм расчета 1.Заполнение полей скорости и температуры в начальный момент времени 2.Определение поля давления путем решения разностной краевой задачи для уравнения Пуассона. При t = 0 в качестве приближения используется сеточная функция 3.Нахождение полей скорости и температуры при 4.Переброска массивов и возврат к п.2 Течение считается установившимся, если

Алгоритм решения уравнения Пуассона в RZ геометрии Величины H ik определяются правой частью уравнения движения Где где Пусть Тогда

Результаты расчетов В численных расчетах изучено влияние граничного условия для температуры на свободной боковой поверхности на структуру конвективного движения расплава при различных числах Марангони и при отсутствии силы тяжести (Gr = 0). Расчеты проводились на равномерной сетке 82x242. На рисунках изображены линии тока и изотермы. варианта MaBiВид решения 1а5000Стационарное решение 1б1e41Стационарное решение 2а1e50.1Нестационарное решение 2б5e50.1Нестационарное решение

. 1а)Расчеты были проведены для следующих значений безразмерных параметров: Pr=.018, Ma=500

1б )Расчеты были проведены для следующих значений безразмерных параметров: Pr=.018, Ma=1e4. На рисунках изображены линии тока и изотермы в моменты времени t=0.01, t=0.02, t=0.05. С течением времени было установлено стационарное течение при t=0.05. t=0.01t=0.02t=0.05

2а) Расчеты были проведены для следующих значений безразмерных параметров: Pr=.018, Ma=1e5 t= t=0.02t=0.03 t=0.04

2б) Расчеты были проведены для следующих значений безразмерных параметров: Pr=.018, Ma=5e5 t=0.001t=0.004 t=0.009t=

Результаты Приведена математическая модель для описания течений квазинейтральной сжимаемой электропроводной жидкости – КМГД-система. На ее основе построена упрощенная математическая модель – КМГД-система в безындукционном приближении Обербека – Буссинеска, пригодная для численного моделирования движений полупроводниковых расплавов в постоянном внешнем магнитном поле. Выписан алгоритм ее численного решения, представляющий собой явную по времени однородную конечно- разностную схему с искусственными регуляризаторами специального вида, которые обеспечивают высокую точность и устойчивость численного решения. Выполнена серия численных расчетов термокапиллярных течений полупроводникового расплава в жидком цилиндрическом столбике со свободной боковой поверхностью. Установлено, что: При (нуль потока) и Ma до 1e5 – колебательный режим не возникает. При (поток нулю не равен) и Ma с 5e4 - возникает колебательный режим.