Фрактальная геометрия, наука и искусство Работу выполнил: Ласица Михаил Владимирович Ученик 11в класса СОШ 1 Руководитель: Кравченко Ирина Леонардовна Учитель математики СОШ 1 РА Майкопский район п.Тульский 2008 год.

Содержание Введение Введение Введение О фрактале… О фрактале… О фрактале… О фрактале… Методы построения Методы построения Методы построения Методы построения Заключение Заключение Заключение Галерея Галерея Галерея Список используемой литературы Список используемой литературы Список используемой литературы Список используемой литературы

Введение Со временем в любой из наук происходит усложнение или переход на иновационно новый уровень. Развитие не обошло стороной геометрическую математику. Со временем в любой из наук происходит усложнение или переход на иновационно новый уровень. Развитие не обошло стороной геометрическую математику. Так если раньше для описания, каких либо природных объектов можно было использовать классические геометрические фигуры (окружность, многоугольник, прямая, точка), то сегодня этого недостаточно. Так если раньше для описания, каких либо природных объектов можно было использовать классические геометрические фигуры (окружность, многоугольник, прямая, точка), то сегодня этого недостаточно. Поэтому стали изучать сложные структуры, которые не возможно описать обычными математическими структурами, такие объекты как: огонь, береговая линия, разряд молнии, очертание облаков, поле скоростей в турбулентном потоке жидкости. В следствии этого математики стали вводить новые понятия, одним из таких понятий стал фрактал. Поэтому стали изучать сложные структуры, которые не возможно описать обычными математическими структурами, такие объекты как: огонь, береговая линия, разряд молнии, очертание облаков, поле скоростей в турбулентном потоке жидкости. В следствии этого математики стали вводить новые понятия, одним из таких понятий стал фрактал. // Введение Содержание

О фрактале… Первым человек, введший данный термин стал Бенуа Мандельброт. Широкое признание данного понятие произошло после выхода в свет его книги Фрактальная геометрия природы. Первым человек, введший данный термин стал Бенуа Мандельброт. Широкое признание данного понятие произошло после выхода в свет его книги Фрактальная геометрия природы. Главной отличительной чертой фрактала является его самоподобие. То есть он практически не меняет своей формы при рассмотрении его под различными масштабами. Главной отличительной чертой фрактала является его самоподобие. То есть он практически не меняет своей формы при рассмотрении его под различными масштабами. По этим же причинам фрактал представляет собой фактически хаотичную структуру, которая в отличие от линейных функций не может содержать касательных, т.е. фрактал в общем случае не дифференцируем. По этим же причинам фрактал представляет собой фактически хаотичную структуру, которая в отличие от линейных функций не может содержать касательных, т.е. фрактал в общем случае не дифференцируем. // О фрактале… I Содержание Подробнее…

О фрактале… Часть 2 Фрактал можно характеризовать нескорыми свойствами. Одно из них является фрактальная размерность D. Эту величину наглядно можно представить если рассматривать береговую линию, которая обладает свойствами фрактала. Изрезанность береговой линии как раз и характеризует фрактальная размерность. Фрактал можно характеризовать нескорыми свойствами. Одно из них является фрактальная размерность D. Эту величину наглядно можно представить если рассматривать береговую линию, которая обладает свойствами фрактала. Изрезанность береговой линии как раз и характеризует фрактальная размерность. // О фрактале… II Содержание Подробнее… ( I )

О фрактале… Часть 3 // О фрактале… III Содержание Подробнее… Существует несколько формул непосредственно связанных с размерностью фрактала: N(L) ~ 1 / L D D = - lim L–>0 (Ln N(L) ) / Ln(L)) Где N(L) число окружностей(объектов) с помощью которых можно покрыть фрактал, L радиус окружностей, D фрактальная размерность. В третьей формуле идет отношение количество окружностей деленное на отношение их радиусов при разных масштабах рассмотрения объекта ( I ) II,

О фрактале… Часть 4 // О фрактале… IV Содержание Подробнее… Чтобы лучше понять фрактальную размерность можно рассмотреть пример канторовского множества. Возьмем, что N(L) количество отрезков, тогда из рисунка видно, что N(L) увеличивается по закону 2 n. А L, длина отрезка, по закону 1/3 n. Подставим данные значения в формулу 1.3. Тогда замечаем, что при L стремящимся к нулю n стремится к бесконечности, значит данная формула будет иметь вид: Это и есть размерность данного фрактала. ( I ) II,III,

// О фрактале… V СодержаниеЗаключение Как видно, фрактал одновременно и простая,и сложная структура. В разных системах представления фрактал может характеризоваться различными свойствами. Фрактальная размерность это свойство, которое наиболее общее для любого вида фракталов, но чаще используется в геометрических фракталах. ( I ) II,III,,IV

Понятие о фрактале Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется с помощью нескольких коэффициентов задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется с помощью нескольких коэффициентов задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. // Описание Содержание

Список используемой литературы Фракталы и мультифракталы(С.В. Божокин, Д..А. Паршин) Фракталы и мультифракталы(С.В. Божокин, Д..А. Паршин) ALGOLIST.MANUAL.RU (Введение во фракталы) ALGOLIST.MANUAL.RU (Введение во фракталы) Введение в теорию фракталов (А. Д. Морозов) Введение в теорию фракталов (А. Д. Морозов) nsft.narod.ru/Fractals(Фракталы) nsft.narod.ru/Fractals(Фракталы) dmitriyku.narod.ru (Фракталы) dmitriyku.narod.ru (Фракталы) Ватолин Д. Фрактальное сжатие изображений. Ватолин Д. Фрактальное сжатие изображений. Жиков В. В. О множествах Жюлиа. // Современное естествознание: Энциклопедия: В 10 т. Т.1: Математика. Механика. М., Жиков В. В. О множествах Жюлиа. // Современное естествознание: Энциклопедия: В 10 т. Т.1: Математика. Механика. М., Пайнтген Х. О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. М.: Мир, 1993 Пайнтген Х. О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. М.: Мир, 1993 Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991 Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991 Фрактальные объекты в математике, физике и биологии: (тезисы докл. семинара-совещания апр. 1991, Славянск, с. Фрактальные объекты в математике, физике и биологии: (тезисы докл. семинара-совещания апр. 1991, Славянск, с. // Список используемой литературы Содержание

Методы построения фракталов Существует два способа построение фракталов: С использованием L систем С использованием L систем Методом систем итерируемых функций – СИФ (Iterated Function System – IFS). Методом систем итерируемых функций – СИФ (Iterated Function System – IFS). Причем L системы по большей мере используются для построения геометрических фракталов, а IFS для построения алгебраических фракталов. Рассмотрим конкретно каждый из них. // Методы построения фракталов Содержание L системы 2d(Часть 1) Метод итерируемых функций L системы 3d(Часть 2)

L системы // Методы построения фракталовМетоды построения фракталов Содержание Наиболее простой способ построение фракталов это метод построения с помощью L систем. Данный метод был разработан биологом Аристидом Линдермауером. В данном методе рисования фракталов осуществляется с помощью простой, но достаточно эффективной технологии компьютерной графики черепашечная графика. В основе данного вида компьютерной графики лежит черепашка, которая ползает по плоскости рисуя за собой линию. Фактически ее можно представить себе просто, как кончик виртуального карандаша, которым вы рисуете. // L системы 2d I II III IV V VI VII Далее…

L системы Содержание В данном виде графики основным элементом рисования являетсячерепашка, которая может выполнять ряд команд : В данном виде графики основным элементом рисования являетсячерепашка, которая может выполнять ряд команд : 1 «F» – переместить ползунок черепашку вперед в выбранном направлении (отрезок). 2 «-» – повернуть (налево) черепашку против часовой стрелке на некий угол α. 3 «+» – повернуть (направо) черепашку по часовой стрелке на некий угол α. 4 «[» – Запомнить в памяти текущее положение черепашки. 5 «]» – Извлечь из памяти последнее положение черепашки. // L системы 2d II Можно более подробно остановиться на организации памяти. Она построена в виде стека, т.е. последнее положенное значение в память будет оттуда извлечено первым, а первое записанное туда значение последним. Можно более подробно остановиться на организации памяти. Она построена в виде стека, т.е. последнее положенное значение в память будет оттуда извлечено первым, а первое записанное туда значение последним. Более наглядно можно представить стек, если сравнивать его с коробкой или корзиной. Если в нее начать складывать бумаги, то извлекать их из нее как раз и будем методом стека, т.е. последняя положенная бумага будет извлечена из нее первой, а первая последней. I II III IV V VI VII // Методы построения фракталовМетоды построения фракталов Далее…

L системы Содержание L системы имеют достаточно простую структуру. В них используется всего несколько понятий, с помощью которых можно описать фрактал: 1. Главное выражение (аксиома). 2. Набор правил. Причем аксиома строится из выше описанных команд и символов правил, может принимать произвольный вид. Правило также строится из упомянутых команд и символов, но кроме этого имеет жесткую структуру X –> Строка. Где X это элемент находящийся в аксиоме, который будет заменен на Строку. Строка в свою очередь тоже состоит из набора команд и символов. Для того, чтобы глубже понять L системы рассмотри пример. // L системы 2d III I II III IV V VI VII // Методы построения фракталовМетоды построения фракталов Далее…

L системы Содержание Для простоты примера рассмотрим ниже описанный фрактал. Геометрически он имеет вид: // L системы 2d IV В L системах данный фрактал имеет описание: Аксиома - - -G Правила: 1 G -> GFX[+G][-G] 2 X -> X[-FFF][+FFF]FX 2 X -> X[-FFF][+FFF]FX Как видно, данный фрактал содержит кроме аксиомы, два правила, которые в процессе развертывания фрактала будут подставляться в аксиому. I II III IV V VI VII // Методы построения фракталовМетоды построения фракталов Далее…

L системы Содержание Теперь непосредственно рассмотрим построение фрактала. Еще раз выпишем его описание и будем пошагово проходить процесс развертывания фрактала. Они имеют вид: Аксиома – ---G Правила: 1 G -> GFX[+G][-G] 2 X -> X[-FFF][+FFF]FX 2 X -> X[-FFF][+FFF]FX Тогда после первого шага символ G в аксиоме мы заменим на строку т.е. получим: Тогда после первого шага символ G в аксиоме мы заменим на строку GFX[+G][-G], т.е. получим: --- GFX [+G][-G] После второго преобразования мы заменим уже символы G и X на соответствующие строки правил. Получим: --- GFX[+G][-G]F X[-FFF][+FFF]FX [+GFX[+G][-G] ][- GFX[+G][-G] ] На последнем, третьем шаге в результате подстановки мы получим: --- GFX[+ GFX[+G][-G] ][- GFX[+G][-G] ]F X[-FFF][+FFF]FX[-FFF][+FFF]F X[- FFF][+FFF]FX [+ GFX[+G][-G]F X[-FFF][+FFF]FX [+ GFX[+G][-G] ][- GFX[+G][-G] ] ][- GFX[+G][-G]F X[-FFF][+FFF]FX [+ GFX[+G][-G] ][- GFX[+G][-G] ] ] // L системы 2d V I II III IV V VI VII // Методы построения фракталовМетоды построения фракталов Далее…

L системы Содержание Как видно из предыдущего примера, мы в процессе построения получили набор команд. Если данный набор команд подставить в программучерепашечной графики, то как раз получим упомянутое выше изображение фрактала. // L системы 2d VI Как видно из предыдущего, фрактал в методе L систем характеризуется: Как видно из предыдущего, фрактал в методе L систем характеризуется: Аксиомой, правилами, углом поворота, и «глубиной» количество раз использования правил. I II III IV V VI VII // Методы построения фракталовМетоды построения фракталов Далее…

L системы Содержание Для того чтоб показать возможности L систем, можно представить несколько примеров. // L системы 2d VII I II III IV V VI VII // Методы построения фракталовМетоды построения фракталов

L системы 3d Содержание Метод L систем не исчерпывает себя только двухмерными фракталами, он так же может строить и трехмерные фракталы. Причем изменится только техническая сторона построения фрактала, а основная останется без изменений. По этому для построения данного вида фракталов необходимо лишь ввести несколько новых команд для работы с трехмерным пространством: "+" поворот по часовой стрелке вокруг оси OZ на угол а (направо); "" поворот против часовой стрелки вокруг оси OZ на угол а (налево); "&" поворот по часовой стрелке вокруг оси OY на угол а (направо); "^" поворот против часовой стрелки вокруг оси OY на угол а (налево); ">" поворот по часовой стрелке вокруг оси OX на угол а (направо); "

L системы 3d Содержание Используя метод L систем в 3d пространстве, мы можем получить почти реальные травинки, ветки деревьев и других объектов живой природы. Например: // L системы 3d VII I II // Методы построения фракталовМетоды построения фракталов

Итерируемые системы уравнений Содержание Данный метод был разработан и воплощен в жизнь американским математиком М. Барнсли (M.Barnsley). Работающим тогда в техническом университете штата Джорджия. Это метод сложнее и гибче чем метод L систем. В отличие от метода L систем данный метод описывает фракталы не графически, а на языке математики. IFS позволяет строить более сложные фракталы, чем метод L систем. В нем можно строить такие знаменитые фракталы как: Множество Жюлиа, фрактал Мандельброта и другие. В СИФ для работы с фракталами используются комплексные числа и комплексная плоскость. Данный метод позволяет построить множество фракталов разных типов // IFS I // Методы построения фракталовМетоды построения фракталов I II III IV V VI VII VIII Далее…

Итерируемые системы уравнений Содержание Данный метод позволяет построить множество фракталов, рассмотрим наиболее простой и интересный фрактал – салфетку Серпинского, которая имеет вид: // IFS I // Методы построения фракталовМетоды построения фракталов Далее… I II III IV V VI VII VIII

Итерируемые системы уравнений Содержание Для наглядности возьмем данный фрактал после одного преобразования. Он будет содержать в себе четыре треугольника, один основной и три производных от него, имеющие номера t 1, t 2, t 3. // IFS I // Методы построения фракталовМетоды построения фракталов Расположим данный фрактал на комплексной плоскости, и для представления координат будем использовать комплексные числа. Далее… I II III IV V VI VII VIII

Итерируемые системы уравнений Содержание Заметим, что в большой треугольник вписано три маленьких. Тогда для преобразования основного треугольника в производный потребуется три уравнения вида: // IFS I // Методы построения фракталовМетоды построения фракталов Где f n (z) и z комплексные числа. Причем z координата основного треугольника, а f n (z) преобразованная координата t n треугольника. Далее… I II III IV V VI VII VIII

Итерируемые системы уравнений Содержание Самое интересное в СИФ то, что используя выше описанные уравнения можно построить любой фрактал в основе которого лежит любой многоугольник. Поэтому в литературе IFS фракталы данного вида называются аттракторами. Поэтому общее уравнение салфетки Серпинского для n-угольника можно записать в виде: // IFS I // Методы построения фракталовМетоды построения фракталов Где i номер вершины многоугольника, z i комплексная координата вершины основного многоугольника, f i (z) преобразованная комплексная координата. m эта число большее 1, и входящие в выражение l/m (l расстояние между z и z i ), которое показывает расстояние от вершины основного треугольника f i (z) Далее… I II III IV V VI VII VIII

Итерируемые системы уравнений Содержание Так же с использованием IFS можно строить более сложные и интересные фракталы, например двойной дракон Хартера-Хейтуэя. Данный фрактал имеет вид: // IFS I // Методы построения фракталовМетоды построения фракталов Продолжение… I II III IV V VI VII VIII

Итерируемые системы уравнений Содержание Для получения уравнений для данного фрактала можно использовать множество способов, но один из самых интересных это игра в Хаус. Смысл которой заключается в том, что берутся две точки А, В, каждая имеет координату z 1 =i-1 и z 2 =i+1. После этого берется произвольная точка z и случайно выбирается одна из вершин. Тогда результирующая точка f n (z) вычисляется по правилу: Мысленно соединим данные точки, получим отрезок длиной l. Отложим на основном отрезке отрезок длинной. // IFS I // Методы построения фракталовМетоды построения фракталов Продолжение… I II III IV V VI VII VIII

Итерируемые системы уравнений Содержание Затем повернем полученный отрезок вокруг вершины А на 45 о. И на новом месте отметим новую точку. Затем проведем точно такую операцию, но уже с новой точкой, тогда после большого числа шагов проявится двойной дракон Хартера-Хейтуэя. Следовательно, чтобы описать данный фрактал необходимо два уравнения // IFS I // Методы построения фракталовМетоды построения фракталов В данных уравнениях также используются комплексные координаты. Причем f i (z) результирующая координата, z n координата вершины, а z случайная точка. В отличии от предыдущих уравнений в ней появились экспонент e iα, который поворачивает координату z на заданный угол α. I II III IV V VI VII VIII

Заключение Содержание Было рассмотрено два метода представления и построения фракталов. Как было выяснено, практически любой фрактал можно построить обоими методами. Но при этом, если необходимо построить чисто геометрический или природный фрактал, лучше использовать L системы, т.к он достаточно простой и не требует глубоких знаний в математике. Если необходимо максимально сильно контролировать проектирование и построение фрактала, лучше использовать системы итерируемых функций. // Заключение

Галерея // Галерея Содержание В данном разделе выставлены изображения фракталов, и те изображения, для построения которых они использовались. Галерея IГалерея II

// Галерея IГалерея Содержание

// Галерея IIГалерея Содержание Фрактальная графика стала настолько популярна, что некоторые компьютерные художники стали использовать их в основе своих произведений. Далее…

Назад…

// Галерея II (продолжение)Галерея Содержание Назад…