Начальное приближение корней: х 1 (0), х 2 (0),…, х n (0) x 1 (1) = β 1 +α 11 x 1 (0) + α 12 x 2 (0) + … + α 1n x n (0) x 2 (1) = β 2 +α 21 x 1 (1) + α 22 x 2 (0) + … + α 2n x n (0) x 3 (1) = β 3 +α 31 x 1 (1) + α 32 x 2 (1) + … + α 3n x n (0) … x n (1) = β n +α n1 x 1 (1) + α n2 x 2 (1) + … + α nn-1 x n-1 (1) + α nn x n (0)

Пример 1. Решить систему методом Зейделя 7,6 х 1 +0,5 х 2 +2,4 х 3 = 1,9 2,2 х 1 +9,1 х 2 +4,4 х 3 = 9,7 -1,3 х 1 + 0,2 х 2 + 5,8 х 3 = -1,4 Решение 1) х 1 = 0,24 х 1 -0,05 х 2 -0,24 х 3 + 0,19 х 2 = -0,22 х 1 +0,09 х 2 -0,44 х 3 + 0,97 х 3 = 0,13 х 1 – 0,02 х 2 +0,42 х 3 -0,14 2) За нулевые приближения возьмем соответствующие значения свободных членов: х 1 (0) = 0,19; х 2 (0) = 0,97; х 3 (0) =-0,14.

3) Первые приближения: х 1 (1) = 0,19+0,24*0,190,05*0,970,24*(0,14)= = 0,2207, х 2 (1) = 0,970,22*0,2207+0,09*0,970,44*( 0,14) = = 1,0703, х 3 (1) = 0,14+0,13*0,2207 0,02*1,0703+0,42*(0,14) = = 0,1915. Вторые приближения: х 1 (2) = 0,19+0,24*0,22070,05*1,07030,24*(0,1915) = = 0,2354, х 2 (2) = 0,970,22*0, ,09*1, ,44*( 0,1915) =1,0988, х 3 (2) = 0,14 + 0,13*0,23540,02*1, ,42*( 0,1915)= 0,2118 и т. д.

итерации х1х1 х2х2 х3х3 00,190,97 0,14 10,22071,0703 0, ,23541,09880, ,24241,10880, ,24541,11240, ,24671,11380, ,24721,11430, ,24741,1145 0, ,24751,11450,2243

Условия сходимости метода Зейделя

Пример 2: Проверить сходимость процесса Зейделя для системы 7,6 х 1 +0,5 х 2 +2,4 х 3 = 1,9 2,2 х 1 +9,1 х 2 +4,4 х 3 = 9,7 -1,3 х 1 + 0,2 х 2 + 5,8 х 3 = -1,4 Решение 1) х 1 = 0,24 х 1 -0,05 х 2 -0,24 х 3 + 0,19 х 2 = -0,22 х 1 +0,09 х 2 -0,44 х 3 + 0,97 х 3 = 0,13 х 1 – 0,02 х 2 +0,42 х 3 -0,14 2)

Оценка погрешности метода Зейделя

Шаг 1 При решении СЛАУ методом итерации или методом Зейделя за нулевое приближение принимается столбец свободных членов х 1 (0) = β 1 х 2 (0) = β 2... x n (0) = β n И в этом сходство этих методов

Шаг 2 Далее вычисляются первое, второе и остальные приближения И здесь начинаются отличия

Метод итерацииМетод Зейделя X 1 (0) = β 1, X 2 (0) = β 2,... X n (0) = β n. нулевое приближение первое приближение X 1 (1) = α 11 x 1 + α 12 x 2 + … + α 1n x n + β 1 X 2 (1) = α 21 x 1 + α 22 x 2 + … + α 2n x n + β 2... x n (1) = α n1 x 1 + α n2 x 2 + … + α nn x n + β n X1 (0) X 2(0) Xn (0) X1 (0) X 1 (1) = α 11 x 1 + α 12 x 2 + … + α 1n x n + β 1 X 2 (1) = α 21 x 1 + α 22 x 2 + … + α 2n x n + β 2... x n (1) = α n1 x 1 + α n2 x 2 + … + α nn x n + β n X 1 (0) X 2(0) Xn (0) X1(1)X1(1) X1(1)X1(1) X2(1)X2(1)