1 Аналитическая механика и общее уравнение динамики

2 Аналитическая механика – устанавливает общие, единые методы изучения движения и равновесия любых самых сложных материальных систем средствами математического анализа. Для этого вводятся новые понятия и обобщаются старые. Связи – рассматриваются теперь как некоторые условия, налагаемые на систему, которые должны удовлетворяться в процессе движения системы. Они содержат соотношения (уравнения или неравенства) между координатами, компонентами скоростей и ускорений и времени.

3 Классификация связей Связями называются любого вида ограничения, которые накладываются на положения и скорости точек механической системы и выполняются независимо от того, какие на систему действуют силы Связями называются любого вида ограничения, которые накладываются на положения и скорости точек механической системы и выполняются независимо от того, какие на систему действуют силы Стационарные связи С тационарные связи Нестационарные связи Н естационарные связи Геометрические связи Г еометрические связи Кинематические связи (дифференциальные) К инематические связи (дифференциальные) Интегрируемые связи И нтегрируемые связи Неинтегрируемые связи Н еинтегрируемые связи Голономные связи Г олономные связи Неголономные связи Н еголономные связи

4 удерживающие связи удерживающие связи налагаемые ограничения сохраняются при любом положении системы стационарная связь стационарная связь нестационарная связь нестационарная связь от таких связей система может «освобождаться» неудерживающие связи неудерживающие связи

5 Если на систему N точек в пространстве наложено m голономных связей, то декартовые координаты всегда могут быть выражены конечными соотношениями: Число обобщенных координат равно n = 3N – m.

6 A x y yAyA xAxA O Здесь положение любой точки стержня (например, А) однозначно определяется значением всего одной величины – угла, который является обобщенной координатой (q = ). Число степеней свободы равно n = 1. Уравнение связи для рассматриваемой точки A:

7 Возможные перемещения системы Влияние связей 1. Появление сил реакции 2. Перемещения, которые могут иметь точки системы Влияние связей 1. Появление сил реакции 2. Перемещения, которые могут иметь точки системы Возможным перемещением Возможным перемещением механической системы будем называть любую совокупность элементарных перемещений точек этой системы из занимаемого в данный момент времени положения, которые допускаются всеми наложенными на систему связями В озможным перемещением механической системы будем называть любую совокупность элементарных перемещений точек этой системы из занимаемого в данный момент времени положения, которые допускаются всеми наложенными на систему связями Перемещения должны быть элементарными, чтобы вид связи не изменился Вид связи не должен измениться, даже при элементарном перемещении П еремещения должны быть элементарными, чтобы вид связи не изменился В ид связи не должен измениться, даже при элементарном перемещении

8 Возможные перемещения – бесконечно малые перемещения, допускаемые наложенными на систему связями. С точностью до бесконечно малых приращения радиуса-вектора лежат в касательной плоскости к поверхности связи и представляют собой возможные перемещения.

9 Возможные перемещения Возможные перемещения характеризуются тем, что могут и не происходить (воображаемые) бесконечно малые происходят с сохранением всех наложенных на систему связей не происходят во времени (δt = 0) м огут и не происходить (воображаемые) б есконечно малые п роисходят с сохранением всех наложенных на систему связей н е происходят во времени (δt = 0) Действительные перемещения бесконечно малые происходят с сохранением всех наложенных на систему связей происходят за некоторый промежуток времени б есконечно малые п роисходят с сохранением всех наложенных на систему связей п роисходят за некоторый промежуток времени

10 Механическая система одновременно может иметь несколько возможных перемещений Механическая система одновременно может иметь несколько возможных перемещений Число независимых между собой возможных перемещений механической системы называется числом степеней свободы этой системы Число независимых между собой возможных перемещений механической системы называется числом степеней свободы этой системы У механической системы с геометрическими связями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы У механической системы с геометрическими связями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы Чтобы определить число степеней свободы, нужно последовательно предотвращать возможные перемещения Чтобы определить число степеней свободы, нужно последовательно предотвращать возможные перемещения

11 T бsбs ds Поскольку вектор положения точки системы можно выразить через обобщенные координаты то возможные перемещения выражаются через приращения обобщенных координат как полный дифференциал: или

12 Вычисление возможных перемещений Геометрический способ - в силу малости возможных перемещений при повороте твердого тела любая его точка может рассматриваться движущейся не по дуге, а по перпендикуляру к радиусу вращения в сторону угла поворота: x A O бxAбxA бyA=бsAбyA=бsA Для малых углов cos 1, sin, тогда:

13 Например, для наклонного стержня: A y O x бsAбsA бxAбxA бyAбyA

14 A x y yAyA xAxA O Аналитический способ – вычисляется вариация от координат: В отличие от геометрического способа знаки возможного приращения координат получаются автоматически. При использовании геометрического способа в дальнейших вычислениях, например, работы, необходимо учитывать направление полученного приращения (перемещения).

15 Возможная работа силы – элементарная работа силы на том или ином возможном перемещении: В координатном виде: В естественном виде:

16 Идеальные связи – связи, при которых сумма элементарных работ сил реакций связи на любом возможном перемещении равна нулю: Примеры идеальных связей: абсолютно гладкая поверхность (при скольжении), абсолютно твердая поверхность (при качении без скольжения). Любую неидеальную связь можно рассматривать как идеальную, если соответствующие реакции связи (совершающие работу на возможных перемещения) причислить к задаваемым (активным) силам.

17 Выполняется в инерциальных системах отсчета Выполняется в инерциальных системах отсчета Устанавливает общее условие равновесия механической системы в целом Устанавливает общее условие равновесия механической системы в целом Все точки системы под действием приложенных сил находятся в покое по отношению к инерциальной системе отсчета («абсолютное равновесие») Все точки системы под действием приложенных сил находятся в покое по отношению к инерциальной системе отсчета («абсолютное равновесие») При идеальных связях позволяет исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей При идеальных связях позволяет исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей Принцип возможных перемещений

18 Принцип возможных перемещений: для равновесия материальной системы, подчиненной голономным, стационарным, двухсторонним и идеальным связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении из предполагаемого положения равновесия равнялось нулю:

19 Связь называется идеальной, если работа реакций этих связей на любых возможных перемещениях равнялась нулю или была бы больше нуля Связь называется идеальной, если работа реакций этих связей на любых возможных перемещениях равнялась нулю или была бы больше нуля Возможная работа – это элементарная работа, которую действующая на материальную точку сила могла бы совершить на перемещении, совпадающем с возможным перемещением этой точки ( ) Возможная работа – это элементарная работа, которую действующая на материальную точку сила могла бы совершить на перемещении, совпадающем с возможным перемещением этой точки ( ) δ A a = F a δ r δ A r = N δ r возможная работа активных сил возможная работа реакций связей δ A = F δ r

20 Доказательство необходимости: Система находится в равновесии и для каждой точки удовлетворяется уравнение равновесия: Умножим скалярно на вектор возможного перемещения точки и сложим: = 0

21 Доказательство достаточности: Предположим, что равновесия нет. Тогда каждая из точек под действием активных сил придет в движение, переместится за время dt на малое действительное перемещение dr. Рассматривая эти перемещения, как возможные, вычислим работу и просуммируем: Получили противоречие с исходным равенством. Значит предположение об отсутствии равновесия неверно.

22 Принцип возможных перемещений (ПВП) Принцип возможных перемещений (ПВП) Для удерживающих связей Для удерживающих связей Для освобождающихся связей Для освобождающихся связей Первым доказал и сформулировал в общем виде в 1788 году Жозеф Луи Лагранж Первым доказал и сформулировал в общем виде в 1788 году Жозеф Луи Лагранж Обобщил на случай неудерживающих связей в годах Михаил Васильевич Остроградский Обобщил на случай неудерживающих связей в годах Михаил Васильевич Остроградский

23 Заметим, что 1. Для нахождения опорного момента M A из уравнений статики потребовалось бы решить как минимум три уравнения равновесия; 2. Эпюра возможных перемещений пропорциональна линии влияния усилия; 3. Если задать возможное перемещение для искомой реакции равным 1, например, б =1, то эпюра перемещений будет полностью тождественна линии влияния поскольку

24 Решение задач с помощью ПВП а) определяют степени свободы Для этого останавливают поступательное или вращательное движение одного звена механической системы, если она становится неподвижной, то, значит, имеет лишь одну степень свободы. Для этого останавливают поступательное или вращательное движение одного звена механической системы, если она становится неподвижной, то, значит, имеет лишь одну степень свободы. Если система не становится неподвижной после остановки первого звена, то останавливают поступательное или вращательное движение второго звена механической системы. Если она становится неподвижной, то имеет две степени свободы. И так далее… Если система не становится неподвижной после остановки первого звена, то останавливают поступательное или вращательное движение второго звена механической системы. Если она становится неподвижной, то имеет две степени свободы. И так далее… б) решают задачу аналитически или геометрически

25 План решения геометрическим способом в случае, когда система обладает одной степенью свободы 2. Показать на чертеже всем звеньям системы возможные перемещения δφ k и δs k 2. Показать на чертеже всем звеньям системы возможные перемещения δφ k и δs k 3. Вычислить элементарные работы: 3. Вычислить элементарные работы: 4. Графически выразить все перемещения δφ k и δs k через одно 4. Графически выразить все перемещения δφ k и δs k через одно 5. Составить уравнение ПВП: 5. Составить уравнение ПВП: 6. Определить искомую величину 6. Определить искомую величину 1. Изобразить все активные силы 1. Изобразить все активные силы

26 3. Задать возможное перемещение одной из точек системы (δφ k или δs k ) и выразить возможные перемещения точек приложения сил в зависимости от выбранного δφ k или δs k 3. Задать возможное перемещение одной из точек системы (δφ k или δs k ) и выразить возможные перемещения точек приложения сил в зависимости от выбранного δφ k или δs k План решения аналитическим способом в случае, когда система обладает одной степенью свободы 1. Оси координат связать с телом, которое при любых возможных перемещениях остается неподвижным. Изобразить все заданные силы 1. Оси координат связать с телом, которое при любых возможных перемещениях остается неподвижным. Изобразить все заданные силы 2. В случае неидеальных связей добавить соответствующие силы реакций связи 2. В случае неидеальных связей добавить соответствующие силы реакций связи 4. Вычислить элементарные работы: 4. Вычислить элементарные работы: 5. Составить уравнение ПВП: 5. Составить уравнение ПВП: 6. Определить искомую величину 6. Определить искомую величину

27 Пример В механизме (рычажный подъемник) найти зависимость между силами F и Q при равновесии В механизме (рычажный подъемник) найти зависимость между силами F и Q при равновесии 1. У системы 1 степень свободы Решение 2. Возможные перемещения δs А и δs В Так как ОВ = 3 ОА, после дифференцирования δs В = 3 δs А Так как ОВ = 3 ОА, после дифференцирования δs В = 3 δs А 3. δА(F) = F δs B и δА(Q) = Q δs А 4. F δs B Q δs А = 0, δsАδsА δsАδsА О О А А В В Q Q F F δsВδsВ δsВδsВ

28 Вес бревна Q, вес каждого из двух цилиндрических катков, на которые оно положено, – Р. Определить, какую силу F надо приложить к бревну, чтобы удержать его в равновесии на наклонной плоскости при заданном угле наклона α. Трение катка о плоскость и бревно обеспечивает отсутствие скольжения Вес бревна Q, вес каждого из двух цилиндрических катков, на которые оно положено, – Р. Определить, какую силу F надо приложить к бревну, чтобы удержать его в равновесии на наклонной плоскости при заданном угле наклона α. Трение катка о плоскость и бревно обеспечивает отсутствие скольжения 1. У системы 1 степень свободы Решение 2. Возможные перемещения δs К и δs Б Так как V Б = 2 V К, то δs Б = 2 δs К Так как V Б = 2 V К, то δs Б = 2 δs К 3. δА(F) = F δs Б δА(Q) = Q δs Б sinα, δА(Р) = Р δs К sinα Пример F F α α Q Q Р Р Р Р δsКδsК δsКδsК δsБδsБ δsБδsБ

29 4. F δs Б Q δs Б sinα 2P δs К sinα = 0, F F α α Q Q Р Р Р Р δsКδsК δsКδsК δs Б

30 Пример. Определить реакцию балки в правой опоре: A B a l б бsPбsP бsBбsB Балка неподвижна и не имеет ни возможных, ни действительных перемещений. Отбросим связь, реакция которой отыскивается, и заменим ее реакцией: Без правой опоры балка может поворачиваться под действием активных сил, реакцию R B причисляем к активным силам. Зададим малое возможное перемещение:

31 Запишем сумму работ: : A B a l б бsPбsP бsBбsB Реакция балки в правой опоре:

32 Пример Определить опорный момент многопролетной составной балке в левой опоре: Отбросим в жесткой заделке связь, препятствующую повороту балки, и заменим ее парой сил M A : б бsPбsP бsBбsB MAMA A B a l l C D E b b бsDбsD

33 Вычислим возможные перемещения: б бsPбsP бsBбsB MAMA A B a l l C D E b b бsDбsD

34 Запишем сумму работ: Опорный момент в левой опоре: б бsPбsP бsBбsB MAMA A B a l l C D E b b бsDбsD

35 Общее уравнение динамики Принцип возможных перемещений, дающий общий метод решения задач статики, можно применить к решению задач динамики, а именно: 1. Применить принцип Даламбера, сводящий задачу динамики с задаче статики:

36 2. Применить принцип возможных перемещений, решающий эту статическую задачу: = 0 – для идеальных связей 3. Просуммировать по всем точкам:

37 Получить общее уравнение динамики: В любой момент времени сумма работ всех задаваемых сил и сил инерции несвободной механической системы с двухсторонними идеальными связями на любом возможном перемещении равна нулю. Более короткие записи

38 Или еще короче: где бA – возможная работа всех задаваемых сил и сил инерции на любом возможном перемещении.

39 Пример Определить ускорение груза подъемника при постоянном вращающем моменте М Определить ускорение груза подъемника при постоянном вращающем моменте М Р 1, Р 2, Q, М r 1, r 2, r, ρ 1, ρ 2 а гр ? Т.к. М М I I II εIεI εIεI М 2 ин ε II М 1 ин Q Q а гр

40 и и Определим возможные перемещения: Определим возможные перемещения:

41 Тогда по ПВП 1. 2.

42 и и

43 Пример. Центробежный регулятор вращается вокруг вертикальной оси с постоянной скоростью. При = 0 пружина не деформирована. Жесткость пружины c. Длина каждого из стержней l. Плечо подвески a. Вес каждого из шаров G, вес муфты G 1.Определить: угловую скорость установившегося вращения для данного угла.

44 a A B x y

45 a A B x y 1. Покажем заданные силы: 2. Добавим силы инерции: 3. Упругая связь (пружина), не являющаяся идеальной (совершает работу на возможных перемещениях), должна быть отброшена и заменена реакцией, которая включается в число заданных сил. Модуль реакции пружины пропорционален изменению длины (укорочению) пружины:

46 : 4. Определим проекции возможных перемещений (вариации координат) точек приложения сил: a A B x y

47 5. Составим общее уравнение динамики: Подставим значения сил инерции и реакции пружины: Отсюда после некоторых сокращений и упрощений:

48 Обобщенные силы – следующий шаг к обобщению, а именно, механического действия заданных сил на систему, после введения обобщенных координат (обобщения задания движения системы). Пусть механическая система имеет s степеней свободы, ее положение определяется s обобщенными координатами q 1, q 2,…, q s. Сообщим некоторой обобщенной координате q j бесконечно малое приращения, оставляя остальные обобщенные координаты неизменными, т.е. бq 1 =бq 2 = … = бq j-1 = 0, бq j 0, бq j+1 =…= бq s = 0.

49 В результате все N точек системы получат какие-то бесконечно малые перемещения: - совокупность этих перемещений представляет одно из возможных перемещений системы. Элементарная работа всех заданных сил системы на этих перемещениях равна:

50 одну (воображаемую) силу Поставим в соответствие ко всем заданным силам системы некоторую одну (воображаемую) силу, которая совершает такую же работу на данном возможном (обобщенном) перемещении бq j, что и все силы системы: Отсюда величина этой силы определяется как:

51 -обобщенная сила Q j, соответствующая обобщенной координате q j – скалярная величина, равная отношению элементарной работы заданных сил на всех перемещениях системы, вызванных элементарным приращением бq j 0 координаты q j, к величине этого приращения.

Размерность этой силы определяется размерностью обобщенной координаты. Например, если q j есть линейная обобщенная координата, то размерность обобщенной силы Q j соответствует силе (Н). Если q j есть угловая обобщенная координата, то размерность обобщенной силы Q j соответствует паре сил или моменту (Н*м). 2. Число обобщенных сил равно числу обобщенных координат. Размерность каждой из обобщенных сил определяется размерностью соответствующей обобщенной координаты.

Другие формулы для вычисления обобщенной силы: В векторной форме: В координатной форме: В случае потенциальных сил: