1 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНАЯ СИСТЕМА. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

2 1.Материальная система. Центр масс Под материальной системой понимают совокупность материальных точек, движения которых взаимосвязаны Масса материальной системой есть сумма масс всех точек входящих в систему Центр масс (центр инерции) материальной системой - геометрическая точка, определяемая равенством

3 2. Внешние и внутренние силы Силы внешние внутренние вызваны действием тел, не входящих в систему вызваны взаимодействием точек, входящих в систему

4 3. Свойства внутренних силAB O Первое свойство: Геометрическая сумма всех внутренних сил (главный вектор внутренних сил ) равна нулю Второе свойство: Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил относительно произвольной точки пространства (главный момент внутренних сил ) равна нулю. Равенство нулю главного вектора и главного момента внутренних сил не означает что эти силы уравновешены. Они приложены к разным материальным точкам!

5 4. ДУ движения системы материальных точек Пример

6 5. Общее замечание Хотите изучить движение материальной системы – составьте и решите систему дифференциальных уравнений. Это так, НО: 1) практически реализовать такой путь исследования удается только для систем, состоящих из небольшого числа материальных точек с простыми связями. 2) как правило, мы не знаем аналитического выражения внутренних сил и реакций связей. Разработаны методы, которые позволяют обойти эти трудности. С этой целью вводятся некоторые величины, характеризующие движение всей материальной системы (так называемые меры движения). 1) вектор количества движения 2) вектор момента количеств движения 3) кинетическая энергия материальной системы. Зная их характер изменения можно составить частичное, а иногда и полное представление о движении материальной системы.

7 6. Количество движения материальной системы Количеством движения системы называется векторная величина, равная геометрической сумме количеств движения всех материальных точек, входящих в систему: Теорема: Количество движения материальной системы равно массе всей системы, умноженной на скорость ее центра масс количество движения материальной системы равно количеству движения ее центра масс, если сосредоточить в нем массу всей системы Иная формулировка теоремы: количество движения материальной системы равно количеству движения ее центра масс, если сосредоточить в нем массу всей системы

8 7. Пример Количества движения отдельных точек цилиндра имеют различные значения и направления. Но их главный вектор Q (количество движения всего цилиндра) совпадает по направлению со скоростью центра масс цилиндра, а его модуль определяется равенством Центр масс Однородный полый цилиндр массы m = 20 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью v = 2 м/сек. Определить количество движения цилиндра.

9 8. Теорема об изменении количества движения Теорема. Производная по времени вектора количества движения системы материальных точек равна главному вектору всех внешних сил, действующих на систему. +

1. Внутренние силы непосредственно не влияют на изменение количества движения материальной системы (они могут оказать косвенное влияние через внешние силы). 2. Если главный вектор всех внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то вектор количества движения материальной системы остается постоянным по величине и направлению. закон сохранения количества движения закон сохранения количества движения 3. Если проекция главного вектора всех внешних сил, приложенных к системе, на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция количества движения материальной системы на эту ось остается постоянной Следствия

Теорема о движении центра масс Теорема. Центр масс материальной системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему Необходимо понимать, что центр масс представляет геометрическую точку. Кроме того, внешние силы фактически приложены не к центру масс, а к точкам системы. Вместе с тем эта геометрическая точка при движении системы перемещается по закону, определенному данной теоремой.

12 1.Одними внутренними силами нельзя изменить характер движения центра масс системы. 2. Если главный вектор всех внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то центр масс материальной системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно. 3. Если проекция главного вектора всех внешних сил системы на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось не изменяется 4. Пара сил, приложенная к твердому телу, не может изменить движение его центра масс (она может вызвать только вращение тела). 11. Следствия

Примеры 3) центр масс Солнечной системы, расположенный вблизи центра Солнца двигается прямолинейно и равномерно. Наблюдения показывают, что он перемещается со скоростью 20 км/сек к некоторой точке небесной сферы, расположенной вблизи звезды Веги и называемой апексом. 1) 2)

Теорема Эйлера Постановка задачи: Вода течет по трубе непрерывной струей, заполняя сплошь всю трубу, притом движение установившееся (т. е. в каждой точке давление, величина и направление скорости остаются неизменными). Пусть через каждое сечение трубы протекает в секунду объем воды Q. Труба сделана неподвижной посредством прикрепления ее к опоре. Требуется определить давление, производимое трубою на опору, или, наоборот, найти обратную этому давлению реакцию опоры F

15 2) Действующие силы а) вес жидкости а) вес жидкости б) внешнее давление на входное и выходное сечения б) внешнее давление на входное и выходное сечения в) реакция опоры на сосуд в) реакция опоры на сосуд 13.2 Теорема Эйлера 1) Изменение количества движения за время dt

Теорема Эйлера 3) Теорема об изменении количества движения Пример

Задача о глупом мальчике на лодке: нет сопротивления Нет сопротивления – нет движения центра масс

18 Линейное сопротивление период беготни длина лодки скорость лодки скорость мальчика относительно лодки скорость мальчика относительно лодки абсолютная скорость мальчика v(t) периодична с периодом T, v(t) периодична с периодом T, u(t) периодична с периодом T u(t) периодична с периодом T Путь, пройденный лодкой за период ks=0

19 Нелинейное сопротивление скорость лодки скорость мальчика относительно лодки абсолютная скорость мальчика v(t) периодична с периодом T, u(t) периодична с периодом T линейное сопротивление квадратичное сопротивление сухое трение Придумайте тактику мальчика, позволяющую перемещать лодку Она разная при и