Глава 3 Динамика механической системы и твердого тела § 9. Теорема об изменении момента количества движения системы 9.1. Плоско-параллельное движение или движение свободного твердого тела § 10. Теорема об изменении кинетической энергии системы Поступательное движение системы Вращательное движение системы Плоско-параллельное движение системы § 11. Некоторые случаи вычисления работ Работа сил тяжести, действующих на систему Работа сил, приложенных к вращающемуся телу § Работа сил трения, действующих на катящееся тело § 9. Теорема об изменении момента количества движения системы 9.1. Плоско-параллельное движение или движение свободного твердого тела § 10. Теорема об изменении кинетической энергии системы Поступательное движение системы Вращательное движение системы Плоско-параллельное движение системы § 11. Некоторые случаи вычисления работ Работа сил тяжести, действующих на систему Работа сил, приложенных к вращающемуся телу § Работа сил трения, действующих на катящееся тело

§ 9. Теорема об изменении момента количества движения системы Главным моментом количества движения, или кинетическим моментом системы, относительно данного центра О называется величина, равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра Моментом количества движения системы относительно координатной оси X называется величина Оси Y: Оси Z:

Рассмотрим главный момент количества движения вращающегося тела с угловой скоростью ω Линейная скорость точки К: x x y y z z O O hKhK hKhK K K mKmK mKmK xKxK xKxK yKyK yKyK zKzK zKzK величина - момент инерции тела относительно оси Z ω ω φ φ VkVk VkVk - кинетический момент вращающегося тела относительно оси Z (4) для всего тела Моментом количества движения относительно оси Z

Если система состоит из нескольких тел, вращающихся вокруг одной оси Z, то кинетический момент системы будет Если тело поворачивается вокруг мгновенной оси вращения О с угловой скоростью ω, то кинетический момент такого тела Моменты количества движения относительно осей X и Y Моменты количества движения относительно осей X и Y Сопоставляя момент количества движения тела и количество движения видим, что момент инерции тел является мерой инертности тел при вращении - центробежные моменты инерции

Докажем эти выражения. Проекции скорости на оси Х и Y тогда

Но если ось OZ будет главной осью инерции тела (осью симметрии тела), то Но если ось OZ будет главной осью инерции тела (осью симметрии тела), то не направлен по оси ОZ Если тело вращается вокруг оси, являющейся главной осью инерции тела, то вектор Если тело вращается вокруг оси, являющейся главной осью инерции тела, то вектор В общем случае вектор направлен вдоль и и оси вращения и численно равен Теорема моментов, доказанная для одной точки системы, будет справедлива для каждой из них Рассмотрим точку системы с массой m k, имеющую скорость V k, то для неё

Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая почленно, получим Тогда по свойству внутренних сил системы Теорема моментов для системы Производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра (5)

Проектируем обе части равенства (5) на неподвижные оси Оxyz, получим Уравнения (6) выражают теорему моментов относительно любой неподвижной оси Практическая ценность теоремы моментов позволяет исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы (6)

Cxyz – оси, перемещающиеся поступательно вместе с центром масс системы С с ускорением 9.1. Плоско-параллельное движение или движение свободного твердого тела Пусть Охyz – неподвижные оси координат, по отношению к которым движется рассматриваемая механическая система равным ускорению центра масс Для точки В k можем записать теорему моментов относительно неподвижной точки О x x y y z z O O x x y y z z C C aСaС aСaС F ин пер FekFek FekFek FikFik FikFik rkrk rkrk (7) ВkВk ВkВk

Просуммируем по всем точкам тела уравнения (7) и (8) Относительно точки С необходимо добавить переносную силу инерции x x y y z z O O x x y y z z C C aСaС aСaС F ин пер FekFek FekFek rkrk rkrk ВkВk ВkВk FikFik FikFik т.к. (8)

причем здесь V k – скорости точек системы по отношению к подвижным осям СXYZ, т.к. оси движутся поступательно, то для любой из точек В k системы, тогда и учтем, что т.к. точка С является началом координат СXYZ

В результате (9) Для системы, движущейся свободно или плоско- параллельно, т.е. подвижная система отсчета совершает поступательное движение вместе с центром масс системы, теорема моментов относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра В любой другой подвижной системе отсчета будет либо либо не будут равны нулю силы инерции Кориолиса и теорема моментов относительно центра масс не будет совпадать с (5)

тогда главный момент количеств движения системы относительно этого же центра будет численно и по направлению постоянен Следствия 1. Пусть на механическую систему действуют внешние силы, такие что 2. Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что тогда главный момент количеств движения системы относительно этой же оси будет величиной постоянной

Внутренние силы изменить главный момент количеств движения механической системы не могут!!! Внутренние силы изменить главный момент количеств движения механической системы не могут!!! Рассмотрим систему, вращающуюся вокруг неподвижной (или проходящей через центр масс) оси Z, тогда по (4) то, => и если

, => a) если система не изменяема (абсолютно твердое тело), то Т.к. и и б) если система изменяема, то под действием внутренних или внешних сил отдельные точки системы могут удаляться от оси, что вызовет увеличение момента инерции системы, или приближаться к оси и уменьшить момент инерции то при, и,

§ 10. Теорема об изменении кинетической энергии системы Кинетической энергией системы (Т) называется скалярная величина, равная сумме кинетических энергий всех точек системы Кинетическая энергия является характеристикой поступательного и вращательного движений системы Существенно положительная и не зависит от направления движения частей системы Если под действием внутренних сил будут изменяться модули скоростей точек системы, то при этом будет изменяться величина кинетической энергии системы Кинетическая энергия является характеристикой поступательного и вращательного движений системы Существенно положительная и не зависит от направления движения частей системы Если под действием внутренних сил будут изменяться модули скоростей точек системы, то при этом будет изменяться величина кинетической энергии системы (10)

При поступательном движении кинетическая энергия системы равна половине массы системы, умноженной на квадрат скорости её центра масс Поступательное движение системы Все точки тела или системы движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс (11)

10.2. Вращательное движение системы Если тело вращается вокруг какой-либо оси OZ, то скорость любой его точки где h k – расстояние от точки до оси вращения, а ω – угловая скорость тела. Подставляя в (10) это значение и вынося общие множители, получим ω ω k k hkhk hkhk VkVk VkVk Кинетическая энергия тела, совершающего вращательное движение (12)

10.3. Плоско-параллельное движение системы Скорости всех точек системы в каждый момент времени распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей (МЦС), тогда J P – момент инерции относительно оси, проходящей через МЦС. Это переменная величина, т.к. МЦС меняется, ω – мгновенная угловая скорость системы k k VkVk VkVk Р Р ω ω

Введем постоянный момент инерции J C относительно центра масс - скорость центра масс но Кинетическая энергия системы, совершающей плоское движение, складывается из кинетических энергий поступательного движения центра масс и вращательного относительно центра масс (13) здесь d = РС

Просуммируем по всем точкам системы Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме Пусть механическая система совершает некоторое движение, тогда для каждой точки системы должна выполняться теорема об изменении кинетической энергии или (14)

Проинтегрируем уравнение (14) или Изменение кинетической энергии системы при некотором её перемещении равно сумме работ на этом же перемещении всех действующих на систему внешних и внутренних сил Теорема об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме

Работа сил тяжести, действующих на систему, есть работа их главного вектора Р на перемещении центра масс системы (центра тяжести тела) Работа сил тяжести, действующих на систему Р – вес системы; h C – вертикальное перемещение центра масс системы § 11. Некоторые случаи вычисления работ (16)

11.2. Работа сил, приложенных к вращающемуся телу Пусть тело вращается вокруг какой-либо оси OZ c угловой скоростью ω. Элементарная работа приложенной к телу силы F h k – расстояние от точки до оси вращения Будем называть величину ω ω k k FτFτ FτFτ F F hkhk hkhk ds dφdφ dφdφ вращающим моментом относительно оси OZ

В случае постоянного вращающего момента (18) Тогда (17) При повороте на конечный угол (19) ω ω F F hkhk hkhk ds dφdφ dφdφ FτFτ FτFτ k k hkhk hkhk dφdφ dφdφ

11.3. Работа сил трения, действующих на катящееся тело а) качение без скольжения по твердой поверхности Т.к. точка В совпадает с МЦС, то и и P P N N VCVC VCVC C C B B F тр (20)

Сопротивление качению создает пара сил N и Р, момент которой При качении колеса угол его поворота б) качение по деформирующейся поверхности По (19) работа вращающего момента (21) Q Q C C R R B B A A P P N N δ δ F тр тогда δ – коэффициент трения качения, ds C – элементарное перемещение центра колеса, а