Геометрия сферического треугольника Докладчик: Косолапов Григорий ученик 10 Б класса МОУ «Средняя школа 55» Научный руководитель: Панкова Нина Александровна

Сферой называется множество точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, называемой её центром.

Диаметральная плоскость пересекает сферу по большой окружности. Любая плоскость, которая не проходит через центр сферы, пересекает сферу по малой окружности.

Любые две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы

Две большие окружности делят сферу на четыре области Три большие окружности делят сферу на восемь областей

Сферический отрезок Дуга АВ – сферический отрезок

Сферический отрезок, соединяющий две точки на сфере, короче любой другой линии на сфере, соединяющий эти две точки

Длина сферического отрезка АВ равна величине центрального угла AOB.

Сферический многоульник – это фигура, ограниченная дугами больших окружностей

Угол между плоскостями двух больших окружностей называется двугранным углом. Он равен углу между сферическими отрезками

Сферический треугольник геометрическая фигура на поверхности сферы, образованная пересечением трёх больших окружностейгеометрическая фигурасферы

Сферическим треугольником называется фигура, образованная тремя дугами окружностей больших кругов, попарно соединяющих три точки.

Три больших окружности, пересекаясь попарно в двух точках, образуют на сфере восемь сферических треугольников

Свойства сферического треугольника

Треугольник на сфере может иметь сразу три прямых угла.

Определение площади сферической фигуры 1) площадь сферической фигуры является положительным числом (свойство позитивности), 2) площадь сферической фигуры не изменяется при движении (свойство инвариантности), 3) если сферическая фигура разбита на части, то площадь данной фигуры равна сумме площадей её частей (свойство аддитивности) 4) площадь всей сферы радиуса R равна 4 R 2 (свойство нормировки).

Теорема: площадь двуугольника, углы при вершинах которого равны, равна Сферический двуугольник

Три больших окружности, пересекаясь попарно в двух точках, образуют на сфере шесть двуугольников с вершинами в точках А, В, С.

2S(A)+2S(B)+2S(C)=S+4S( ). Так как S(A)=2r 2 A, S(B)=2r 2 B, S(C)=2r 2 C, то 4r 2 (A+B+C)=4 r 2 +4S( ), т.е. S( )=r 2 (A+B+C)- r 2 S ( ) =r 2 (A+B+C- ).

Сумма углов и площадь сферического треугольника т.е. сумма углов сферического треугольника больше. Величина А+В+С- называется угловым или сферическим избытком сферического треугольника. Таким образом, площадь сферического треугольника равна произведению его углового избытка на квадрат радиуса сферы. S ( ) =r 2 (A+B+C- ).

Сферическая тригонометрия cos а = cos b cos с + sin b sin с cos А; cos A=-cos B cos С + sin B sin С cosa; sin a cos B=cos b sin c-sin b cos с cos А sin А cos b=cos B sin C+sin B cos С cosa; правило круговой перестановки : А ® В ® С ® А (а ® b ® с ® а)

Формула для вычисления радиуса планет R 2 = S ( ) / (А+В+С- )

Небесная сфера

Применение сферической геометрии в мореплавании АС = 3117 морских миль = 5772 км.

Определение дальности перелёта курских соловьёв на зимовку cos(d) = sin(φА)·sin(φB) + +cos(φА)·cos(φB)·cos(λА λB), где φА, φB - широты, λА, λB – долготы данных пунктов, d - расстояние между пунктами, L =d·R, где R=6371км-средний радиус земного шара.

Определение дальности перелёта курских соловьёв на зимовку Координаты г. Курска: 51°43 с. ш. 36°11 в. д. Координаты Эфиопии: 8°18 с. ш. 39°07 в. д. cos(d) = sin(51°43) · sin(8°18) + cos(51°43) · cos(8°18) · cos(36°1139°07 ) 0,7257 d = arccos (0,7257) 0,7592 радиан L =d·R 0,7592· км. Координаты г. Курска: 51°43 с. ш. 36°11 в. д. Координаты Эфиопии: 8°18 с. ш. 39°07 в. д.

Дальность перелёта птиц Курского края ПтицыМесто зимовки Координаты зимовки Расстояние перелёта СоловьиЭфиопия 8°1800 с. ш. 39°0700 в. д – 5000 км Ласточки Кукушки ЮАР 29°00' ю. ш. 24°00' в. д – 9050 км ГрачиИндия 20°00' с. ш. 77°00' в. д – 5050 км ГусиИран 32°00' с. ш. 53°00' в. д – 2600 км

Спасибо за внимание!