2012 г. Квантовая механика Преподаватель: Комолов Владимир Леонидович тел./факс: ; тел. моб.: СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ФИЗИКИ

прочитанных лекций и темы рефератов Презентации прочитанных лекций и темы рефератов можно скачать по адресу : Книги: Блохинцев, Давыдов, Карлов, Ландау, Левич, Шифф можно скачать с моего обменника

ОБЪЯВЛЕНИЯ 1.Для допуска к зачету представляется реферат, содержащий: Ф.И.О. студента, номер группы, заголовок (текст вопроса), текст ответа (если надо, с формулами и рисунками). 2.Способ подачи реферата - лично (на лекции) или по электронной почте на адрес: Мои координаты: Комолов Владимир Леонидович тел./факс: ; моб ; Объем реферата не должен превышать 4-5 страниц!! Срок представления НЕ ПОЗЖЕ, ЧЕМ 13 МАЯ !! Форма представления – документ WORD (желательно -.doc), или.PDF, или рукопись.

Из прошлой лекции

Спин-орбитальное взаимодействие Спин-орбитальное взаимодействие (СОВ) - взаимодействие частиц, зависящее от величин и взаимной ориентации их орбитального и спинового моментов количества движения и приводящее к т. н. тонкому расщеплению уровней энергии системы. СОВ - релятивистский эффект ; формально оно получается, если энергию движущихся во внешнем поле частиц находить с точностью до v 2 /c 2, где v - скорость частицы, с - скорость света. Наглядное физическое истолкование СОВ можно получить, рассматривая, например, движение электрона в атоме водорода.

Спин-орбитальное взаимодействие Движение вокруг ядра приводит в общем случае к появлению у электрона орбитального механического момента количества движения и (вследствие того, что электрон заряженная частица) пропорционального ему орбитального магнитного момента. В то же время электрон обладает собственным моментом количества движения спином, с которым связан спиновой магнитный момент. Добавки к энергии электрона, вызванные взаимодействием орбитального и спинового магнитных моментов, зависят от взаимной ориентации моментов, т. е. определяются СОВ.

Спин-орбитальное взаимодействие Проекция спина электрона на любое выбранное направление, в данном случае на направление орбитального момента, может принимать два значения, + ћ/2 и - ћ/2 (где - ћ постоянная Планка), которым отвечают разные энергии взаимодействия с орбитальным моментом. Т.о. СОВ приводит к расщеплению уровней энергии в атоме водорода (и водородоподобных атомах) на два близких подуровня (к дублетной структуре уровней). У многоэлектронных атомов СОВ определяется взаимодействием полного орбитального и полного спинового моментов электронов, и картина тонкого (мультиплетного) расщепления уровней энергии оказывается более сложной. (Атомы щелочных металлов, у которых полный спин электронов равен ћ/2, также обладают дублетной структурой уровней.)

Лекция 11

Тождественность частиц и симметрия

В классической механике одинаковые частицы не теряют своей индивидуальности. Если в какой-то момент времени их перенумеровать и в дальнейшем следить за движением каждой из них по своей траектории, то в любой момент времени частицы можно будет идентифицировать. Тождественность частиц

В квантовой механике, из-за принципа неопределенности, понятие о траектории частицы полностью теряет смысл. Поэтому локализовав и перенумеровав частицы в некоторый момент времени (t = 0), мы не сможем идентифицировать их в последующие моменты времени. Локализовав одну из частиц в другой момент времени в некоторой точке пространства, мы не сможем определить, какая именно из частиц попала в эту точку.

Этот принцип неразличимости одинаковых частиц играет основную роль при квантовомеханическом исследовании систем, состоящих из одинаковых частиц. Проиллюстрируем его на примере системы, состоящей из двух частиц. В силу их тождественности, состояние системы, получающиеся друг из друга просто перестановкой обеих частиц, должны быть полностью эквивалентны. Это значит, что волновая функция системы при такой перестановке может измениться только на несущественный фазовый множитель.

Пусть волновая функция системы, причем 1, 2 условно обозначают совокупности трех координат и проекции спина каждой из частиц. Тогда должно быть Здесь некоторая действительная постоянная. При повторной перестановке мы вернемся к исходному состоянию, а волновая функция будет иметь вид

Отсюда следует, что Таким образом Имеются всего две возможности - волновая функция либо симметрична (не меняет знак), либо антисимметрична (меняет знак) Волновые функции всех состояний одной и той же системы должны иметь одинаковую симметрию.

Полученный результат справедлив и для систем с произвольным числом одинаковых частиц. Волновая функция одинаковых частиц должна либо совершенно не меняться при перестановке любой пары частиц (симметричная функция), либо менять знак при перестановке каждой пары (антисимметричная функция). Частицы, описываемые симметричными функциями, подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна и называются бозонами. Частицы, описываемые антисимметричными функциями, подчиняются статистике Ферми - Дирака и называются фермионами.

Релятивистская квантовая механика показывает, что статистика, которой подчиняются частицы, однозначно связана с их спином: частицы с полуцелым спином являются фермионами, а с целым спином – бозонами. B тепловом равновесии вероятность того, что состояние с энергией E занято, дается функцией: Для бозонов Для фермионов - электрохимический потенциал (уровень Ферми) определяется из условия, что число заполненных состояний при всех энергиях должно быть равно полному числу имеющихся частиц.

Пусть n 0 – число частиц в единице объема, тогда определяется выражением: Величина g(E) – плотность состояний, т.е. число состояний в единице объема в единичном интервале энергии. Для электронов в металлах, например, График распределения Ферми при T = 0 и T 0.

Рассмотрим систему, состоящую из N одинаковых частиц, взаимодействием которых друг с другом можно пренебречь. Обозначим символами волновые функции различных стационарных состояний, в которых может находится каждая из частиц в отдельности. Состояние системы в целом можно определить перечислением номеров состояний, в которых находятся отдельные частицы.

2 N 1 Возникает вопрос о том, как из функций должна быть составлена волновая функция всей системы в целом, удовлетворяющая требованиям симметрии.

Пусть номера состояний, в которых находятся отдельные частицы. Для системы бозонов волновая функция выражается суммой произведений вида: со всевозможными перестановками индексов Такая сумма обладает свойством симметрии! Так, для системы из двух частиц

Для системы фермионов волновая функция есть антисимметричная комбинация указанных произведений. Она может быть представлена в виде детерминанта Перестановке двух частиц соответствует перестановка двух столбцов. При этом детерминант меняет знак!

Для системы из двух фермионов Из выражения для фермионной волновой функции следует важный вывод: Если среди номеров есть какие-либо два одинаковые, то две строки детерминанта окажутся одинаковыми и весь детерминант обратится тождественно в нуль. Волновая функция отлична от нуля только в тех случаях, когда все номера различны. Другими словами: В системе одинаковых фермионов две или более частицы не могут одновременно находится в одном и том же состоянии. Это утверждение - принцип запрета Паули.

Сложение моментов

При изучении сложных систем, состоящих из многих частиц, обладающих орбитальными и спиновыми моментами, возникает вопрос о том, чему равны моменты всей системы. Пусть имеется система N частиц, каждая из которых обладает некоторым орбитальным и спиновым моментом, причем все компоненты моментов различных частиц коммутируют друг с другом. Тогда, можно определить орбитальный L, спиновый S и полный J моменты всей системы следующим образом:

Для сложения произвольного числа моментов можно последовательно применить теорему векторного сложения двух моментов. Согласно этой теореме: А) Возможные значения J = j 1 + j 2 равны Б) Каждому из этих значений отвечает одна и только одна серия из 2J+1 собственных функций JM полного момента импульса. Эта теорема справедлива для сложения двух любых моментов.

Применим ее для сложения спиновых моментов s 1 и s 2 двух электронов. Согласно теореме собственными значениями полного спина S могут быть Собственному значению 0 соответствует одна спиновая собственная функция 0,0, а собственному значению 1 – три собственные функции 1,1, 1,0, 1,-1 Проиллюстрируем этот результат прямым расчетом. Для каждого электрона имеются две функции и, одновременно являющиеся собственными для квадрата оператора спина s 2 и z -компоненты оператора спина s z.

Поскольку рассматриваемая система состоит из двух электронов, то имеются 4 спиновые функции 1, 1, 2, 2 (индекс – это номер электрона), из которых можно составить четыре спиновые функции всей системы В этих произведениях спиновых функций оператор s 1 действует только на первую спиновую функцию, а s 2 –только на вторую. Этим спиновым функциям соответствуют следующие собственные значения z-компоненты полного спинового момента S z = s 1z + s 2z :, -, 0, 0.

Пример: Возникает вопрос, какие линейные комбинации функций будут одновременно собственными функциями квадрата полного спинового момента S 2.

Можно показать, что две функции вида: являются собственными функциями S 2. Пример.

Еще две собственные функции оператора S 2, являющиеся линейными комбинациями функций имеют вид Можно показать, что собственные функции 1,0 и 0,0 соответствуют состояниям с S=, S z =0 и S=0, S z =0.

Таким образом мы получили, что система двух электронов описывается состояниями с полным спиновым моментом S=1 (в единицах ) и S=0. Первому состоянию принадлежат 3 спиновые функции 1,1, 1,0, 1,-1. Оно называется триплетным состоянием. Второму состоянию принадлежит одна волновая функция 0,0. Оно называется синглетным состоянием. Следовательно, сложение спинов подчиняется теореме векторного сложения. Собственные функции триплетного состояния симметричны по отношению к перестановке частиц А собственная функция синглетного состояния антисимметрична

Поскольку полная волновая функция двух электронов, являющаяся произведением спиновой и координатной функций должна быть антисимметричной, то координатная функция синглетного состояния симметрична, а триплетного состояния антисимметрична. Таким образом, возможные значения энергии системы электронов оказываются зависящими от ее полного спина. Можно говорить о некотором своеобразном взаимодействии частиц, приводящим к этой зависимости. Это взаимодействие называют обменным.

Обменное взаимодействие

Рассмотрим 2 частицы со спинами 1/2. Пусть между ними есть взаимодействие, описываемое кулоновским потенциалом: Средняя энергия взаимодействия в первом приближении есть: где 0 функция невозмущенного состояния, а суммирование ведется по всем значениям спиновых переменных. Подставим в E (1) функции вида:

Обменное взаимодействие Слагаемое С описывает обычное кулоновское расталкивание. Второе слагаемое обменное взаимодействие. Таким образом, учет симметрии волновой функции приводит к изменению энергии взаимодействия в системе.

Обменное взаимодействие Наглядная (но не строгая) картина, поясняющая, почему взаимодействие «обменное». Пусть есть 2 атома. Электрон вылетает из одного из атомов и поглощается другим. В то же время из второго атома вылетает другой электрон, и поглощается первым атомом. В процессе «вылета» и «захвата» происходит изменение импульсов атомов, т.е. между ними есть взаимодействие, ведущее к изменению состояния. (Подробное обсуждение – см. книгу Левича, параграф 67)

Обменное взаимодействие Почему такая картина не строгая? Чтобы «честно» «вылетать», надо получать откуда-то энергию ионизации, а ее взять неоткуда. Реально атомы, между которыми идет обменное взаимодействие, не находятся в состоянии с определенной энергией. Неопределенность энергии системы E ~ A. Это – пример виртуального процесса, идущего, когда волновые функции отдельных частиц сильно перекрываются. Обменное взаимодействие играет важную роль в ядерной физике. Так, среди различных типов ядерных сил имеются силы, благодаря которым нуклоны (протоны и нейтроны) ядра «обмениваются» координатами, направлениями спинов, электрическими зарядами Такие силы возникают вследствие того, что нуклоны могут обмениваться различного типа мезонами, переносящими заряд, спин и др. квантовые характеристики от одного нуклона к другому.

Атом – классификация уровней

Атомные уровни энергии В нерелятивистском приближении стационарные состояния атома определяются уравнением Шредингера для системы электронов, движущихся в кулоновском поле ядра и электрически взаимодействующих друг с другом. В это уравнение не входят операторы спина электронов. Для системы частиц в центрально-симметричном поле сохраняется полный орбитальный момент L. Поэтому каждое стационарное состояние атома будет характеризоваться определенным значением момента L. Атом

Кроме того, каждое стационарное состояние атома характеризуется полным спином электронов S. Энергетический уровень с заданными значениями L и S вырожден по различным возможным направлениям векторов L и S в пространстве. Кратность этого вырождения равна В действительности из-за спиновых взаимодействий энергия атомов зависит от взаимного расположения L и S. При учете этих релятивистских взаимодействий сохраняется лишь полный момент атома J = L + S. Поэтому точные уровни энергии должны характеризоваться значениями полного момента J.

Если релятивистские эффекты достаточно малы, то их можно учесть в рамках теории возмущений. Под влиянием этого возмущения вырожденный уровень с заданными L и S расщепляется на ряд различных (близких друг к другу) уровней, отличающихся значениями полного момента J. В этом приближении можно по-прежнему считать абсолютные величины орбитального момента и спина сохраняющимися, и характеризовать уровни значениями L и S. В результате релятивистских эффектов уровень с данными значениями L и S расщепляется на ряд уровней с различными значениями J. Возникает тонкая структура уровня.

Согласно теореме векторного сложения моментов J пробегает значения Поэтому уровень с данными L и S расщепляется на уровней, если L > S. Если же L < S, то он расщепляется на уровней. Каждый из возникших уровней остается вырожденным по направлениям вектора J.

Атомные уровни энергии (спектральные термы) принято обозначать следующим образом: Состояния с различными значениями полного орбитального момента L обозначаются большими латинскими буквами Слева вверху от символа указывают число 2S + 1, называемое мультиплентостью терма. Справа внизу указывают значение полного момента J. Например, символы обозначают уровни с L = 1, S = 1/2 и J = 1/2, 3/2.

В многоэлектронном атоме можно, с хорошей точностью, ввести понятие о состояниях каждого электрона в отдельности, как о стационарных состояниях движения электрона в некотором центрально - симметричном поле, созданном ядром вместе со всеми остальными электронами. Для различных электронов в атоме эти поля различны, причем определяться они должны одновременно все, поскольку каждое из них зависит от состояний всех остальных электронов. Такое поле называется самосогласованным. Состояния электронов в атоме

Из-за центральной симметрии самосогласованного поля каждое состояние электрона характеризуется его орбитальным моментом l. Состояния отдельного электрона при заданном l нумеруются с помощью главного квантового числа n. Состояния электронов с различными n и l принято обозначать символом, состоящим из цифры, указывающей значение n, и буквы указывающей значение l. Так, 4d обозначает состояние с n = 4, l = 2. Полное описание состояния атома требует, наряду с указанием значений полных L, S, J, также и перечисления состояний всех электронов.

Так, символ обозначает состояние атома гелия, в котором L =1, S = 1, J = 0, а два электрона находятся в состояниях 1s и 2p. Если несколько электронов находятся в состояниях с одинаковыми l и n, то это принято обозначать для краткости в виде показателя степени. Так, 3p 2 обозначает два электрона в состояниях 3p. О распределении электронов в атоме по состояниям с различными l и n говорят, как об электронной конфигурации.

При заданных n и l имеется 2(2l+1) различных состояний (эквивалентных) электрона. В каждом из них может находиться лишь по одному электрону. В атоме может одновременно иметь одинаковые n, l не более 2(2l+1) электронов. О совокупности электронов, заполняющих все состояния с данными n, l, говорят как о замкнутой оболочке данного типа. Различие в энергии атомных уровней, обладающих различными L, S при одинаковой электронной конфигурации, связано с электростатическим взаимодействием электронов. Существует эмпирическое правило (правило Хунда), которое определяет взаимное расположение уровней с одинаковой конфигурацией, но различными L и S. Наименьшей энергией обладает терм с наибольшим возможным при данной электронной конфигурации значением S и наибольшим (возможным при этом S) значением L.

Таблица Менделеева

Таблица Менделеева (история) К 1869 г. было известно 63 элемента. Только 36 из них подчинялись принципу возрастания атомных масс. Для 20 этот принцип был нарушен, а для 7 Менделеев исправил атомные массы. Кроме того, он предсказал 7 элементов. Среди них – Sc, Ge, Ga, Tc, Re !

При переходе от одного атома к следующему увеличивается на единицу заряд ядра и к оболочке добавляется один электрон. На первый взгляд можно ожидать, что энергии связи каждого последующего электрона обнаружат монотонное изменение с увеличением атомного номера. В действительности это не так. Таблица Менделеева В атоме H имеется 1 электрон в состоянии 1s. В атоме He добавляется еще один электрон в состоянии 1s. Энергия связи каждого из 1s-электронов в He значительно больше, чем в H. В атоме Li третий электрон попадает в состояние 2s. При заданном атомном номере Z уровень 2s расположен выше уровня 1s. При увеличении заряда ядра оба уровня понижаются. Однако при переходе от Z = 2 к Z = 3 энергия связи третьего электрона в Li значительно меньше энергии связи электронов в He. Аналогичная картина наблюдается при переходе к следующей оболочке.

Зависимость энергии связи от номера в таблице

Таблица Менделеева Структура таблицы полностью отвечает порядку заполнения электронных оболочек и слоев в атомах. Число хим. элементов в периоде равно числу электронов в слое, которое определяется в соответствии с принципом Паули. Состояние электрона определяют 4 квантовых числа: главное квантовое число n = 1, 2, 3,..., орбитальное (азимутальное) квантовое число l = 0, 1, 2,..., n - 1, магнитное квантовое число m = 0,1,2,...,l и спиновое квантовое число s =1/2. Каждому значению l соответствуют 2l + 1 значений m, а каждому значению m - 2 возможных значения s. Т. о., замкнутая оболочка, характеризуемая определёнными значениями n и l, содержит 2(2l + 1) электронов. Максимальное число электронов в слое с определённым n равно: Т. о., замкнутая s-оболочка (l = 0) содержит 2 электрона, p-оболочка (l = 1) - 6 электронов, d-оболочка (l = 2) - 10 электронов и т. д. Число же электронов в слоях (число элементов в периодах) с n = 1, 2, 3, 4,... составляет 2, 8, 18, 32,... соответственно.

Все электронные состояния можно распределить по последовательно заполняющимся группам следующим образом: По мере заполнения в ряду элементов каждой из групп энергия связи в общем растет, но в момент начала заполнения состояний следующей группы энергия связи сильно падает.

Литература к лекции 11 1.В.Г. ЛЕВИЧ, Ю.А. ВДОВИН, В.А. МЯМЛИН, КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, т.2, часть V (Квантовая механика), гл. II, IV, М.: ГИФМЛ, Л.Д. ЛАНДАУ, Е.М. ЛИФШИЦ, КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, Т. 3, М.: Наука, Д.И. БЛОХИНЦЕВ, ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ, Высшая школа, М., Л. ШИФФ, КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, М.: ИЛ, Н.В. КАРЛОВ, Н.А. КИРИЧЕНКО, НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ, М.: Физматлит, 2004.