2012 г. Квантовая механика Преподаватель: Комолов Владимир Леонидович СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ФИЗИКИ

Формальности

Комолов Владимир Леонидович ведущий научный сотрудник центра «Информационные оптические технологии» ИТМО, доцент кафедры Оптической физики и современного естествознания ФФиО. тел./факс: ; тел. моб.: прочитанных Презентации прочитанных лекций можно скачать по адресу:

Объем реферата не должен превышать 5 страниц !! Мои координаты: Комолов Владимир Леонидович тел ; моб По дисциплине сдается ЗАЧЕТ. Для допуска к зачету представляется реферат. Вопросы для рефератов будут даны позднее. Реферат должен содержать: 1.Ф.И.О. студента, номер группы, заголовок (текст вопроса), текст ответа (если надо, с формулами и рисунками). Форма представления – рукопись, или документ WORD (.doc), или.PDF. Срок представления НЕ ПОЗДНЕЕ, ЧЕМ ЗА 2 НЕДЕЛИ ДО ДНЯ ЗАЧЕТА.

1.Л. Шифф, Квантовая механика, М.: ИЛ, Д. Бом, Квантовая теория, М.: Наука, Н. Мотт, И. Снеддон, Волновая механика, М.: Наука, В.Г. Левич, Ю.А. Вдовин, В.А. Мямлин, Курс теоретической физики, т.2, часть V (Квантовая механика), гл. IX, М.: ГИФМЛ, Н.В. Карлов, Н.В. Кириченко, Начальные главы квантовой механики, М.: Физматлит, Курсы квантовой механики для физических факультетов университетов: 1.Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Квантовая механика, Т. 3, М.: Наука, А. Мессиа, Квантовая механика, Т. 1 и 2, М.: Наука, А.С. Давыдов, Квантовая механика, М.: Наука, Д.И. Блохинцев, Основы квантовой механики, Высшая школа, М., Литература

Лекция 1

История зарождения квантовой физики

Предпосылки зарождения квантовой физики 27 апреля 1900 г., лорд Кельвин прочел ставшую знаменитой лекцию в Королевском институте, озаглавленную «Тучи девятнадцатого века над динамической теорией теплоты и света». Уильям Томсон, лорд Кельвин ( Белфаст, Ирландия Глазго, Шотландия) Основные работы в области термодинамики В своей речи, приуроченной к началу ХХ столетия, он сочувствовал последующим поколениям физиков, сказав, что на их долю не осталось ничего существенного. Но далее он сказал: «Красота и ясность динамической теории, согласно которой теплота и свет являются формами движения, в настоящее время омрачены двумя тучами. Первая из них... это вопрос: как может Земля двигаться сквозь упругую среду, какой по существу является светоносный эфир? Вторая – это доктрина Максвелла–Больцмана о распределении энергии».

Предпосылки зарождения квантовой физики Позднее стало ясно, что он точно нащупал две болевые точки современной ему науки. Через несколько месяцев, в последние дни XIX в., Макс Планк опубликовал свое решение проблемы излучения абсолютно черного тела, введя понятие о квантовом характере излучения и поглощения света, а через пять лет, в 1905 г., Альберт Эйнштейн опубликовал работу «К электродинамике движущихся тел», в которой сформулировал частную теорию относительности и дал отрицательный ответ на вопрос о существовании эфира. Таким образом, за двумя «тучами» скрывались теория относительности и квантовая механика

К 1900 году сформировалась классическая физика. Согласно опытам Томаса Юнга (1803) - свет представляет собой волны. Дж.Дж.Томсон (1897) доказал существование электрона – «ньютоновской» частицы, и измерил ее заряд и массу. «Темные пятна» на полотне классической физики : 1.Спектр излучения абсолютно черного тела; 2.Температурная зависимость теплоемкости твердых тел; 3.Законы фотоэффекта; 4.Линейчатые спектры испускания и поглощения света. Предпосылки зарождения квантовой физики

Абсолютно черное тело (АЧТ) - тело, которое полностью поглощает любое падающее на его поверхность электромагнитное излучение. Спектральное распределение теплового излучения черного тела. Модель абсолютно черного тела Плотность энергии и спектральный состав излучения, испускаемого единицей поверхности АЧТ зависят только от его температуры, но не от природы излучающего вещества.

Спектральное распределение теплового излучения черного тела. Формула Релея-Джинса Формула выведена Дж. У. Рэлеем (J. W. Rayleigh) в 1900 г. из классических представлений о равномерном распределении энергии по степеням свободы. В гг. Дж. Джинс (J. Jeans), применив методы статистической физики к волнам в полости, пришёл к той же формуле, что и Рэлей. Классическая электродинамика дает для описания спектра АЧТ формулу Релея-Джинса: где (,T) плотность энергии в единичном частотном интервале, – частота излучения, T – температура, k = эрг/K Оказалось, что формула Релея-Джинса реализуется при малых частотах излучения.

Почему закон смещения ? Закон смещения впервые выведен В. Вином (W. Wien) в 1896 методом, который в неявной форме вводил квантовую гипотезу, что выяснилось лишь впоследствии (в первоначальную формулу Вина входили две неизвестные постоянные, оказавшиеся комбинациями постоянных h, k и с). При больших частотах справедлив эмпирический закон смещения Вина: Спектральное распределение теплового излучения черного тела. Закон Вина В дальнейшем он его переписал, введя явный вид функции F:

Спектральное распределение теплового излучения черного тела. Формула Планка Сначала эту формулу Планк получил просто интерполяционным путем (комбинация закона Рэлея-Джинса и формулы Вина). Далее при теоретическом выводе ему пришлось ввести гипотезу квантов. Через 8 недель после полуэмпирического открытия своей формулы Планк представил её теоретический вывод на заседании Немецкого физического общества. Это случилось 14 декабря 1900 г. При выводе формулы Планк выдвинул гипотезу, в корне противоречащую всему построению классической физики: излучение происходит не непрерывно, а конечными порциями – квантами света или квантами энергии. В октябре 1900 г. немецкий физик М. Планк сначала эмпирически, а затем, обосновав теоретически, записал формулу для спектральной плотности излучения черного тела. Макс Карл Эрнст Людвиг Планк, 1858 – 1947, немецкий физик-теоретик. Нобелевская премия 1918 г.: «В знак признания его заслуг в развитии физики благодаря открытию квантов энергии».

Формула Планка: где: = h/2 = эрг с, k B = эрг/K Спектральное распределение теплового излучения черного тела. Из доклада М. Планка на заседании 14 декабря 1900 г.: Квант действия… либо фиктивная величина, и тогда вывод закона излучения был в принципе ложным и представлял собой всего лишь пустую игру в формулы, лишенную смысла, либо же вывод закона излучения опирается на некую физическую реальность, и тогда квант действия должен приобрести фундаментальное значение в физике и означает нечто совершенно новое и неслыханное, что должно произвести переворот в физике…. (Сам Планк вплоть до 1911г. пытался примирить гипотезу о квантах с классической физикой).

Вывод формулы Планка. Вывод закона излучения по методу Планка в какой-то мере неудовлетворителен, поскольку он во многом основан на законах классической физики и лишь частично использует квантовые представления. Поглощение и испускание света осциллятором рассчитывалось с помощью классической электродинамики, в то время как при нахождении средней энергии осциллятора использовалась квантовая гипотеза о его дискретных энергетических уровнях. Успех такой непоследовательной теории связан со спецификой выбранной модели: для осциллятора классическое и квантовомеханическое рассмотрение процессов поглощения и испускания приводит к одинаковым результатам.

Вероятность W(n) обнаружить состояние с энергией E n пропорциональна exp(-E n / k B T). С учетом нормировки W(n) определяется выражением Основное предположение Основное предположение: Энергия излучения квантована, т.е. может принимать лишь значения E n = n, где n=0, 1, 2,… Вывод формулы Планка. Это – геометрическая прогрессия

Средняя энергия равна: Вывод формулы Планка.

Поскольку плотность мод поля в полости (число мод в единице объема в единичном частотном интервале) есть: то плотность энергии в единичном частотном интервале:

Вывод формулы Планка (та же песня, но другие слова ). Классический вид:По Планку: Вероятность обнаружить состояние с энергией E пропорциональна exp(- E), где = 1/k B T Средняя энергия осциллятора Спектральная плотность энергии = E n = n 0, где n=0, 1, 2,… Вспоминая, что = 1/k B T, и полагая 0 =, получаем

Пример кривых спектрального распределения интенсивности теплового излучения для различных температур. (б)(а) а) Экспериментальные данные б) Расчет по формуле Планка Масштаб по оси абсцисс графика (б) - 0,1 мкм. Заштрихованная область - УФ.

Удельная теплоемкость твердых веществ. Для расчета теплоемкости в классической физике имеется ЗАКОН ДЮЛОНГА И ПТИ - эмпирическое правило, согласно которому молярная теплоёмкость при постоянном объёме для всех простых твёрдых тел одинакова и составляет примерно 25 Дж/моль град, или 6 кал/моль град. Может быть выведен из закона равнораспределения колебательной энергии по степеням свободы, согласно которому на каждую колебательную степень свободы приходится энергия kT. Поскольку число колебательных степеней свободы у кристалла, содержащего N атомов (N - число Авогадро), равно 3N, то средняя энергия теплового движения в кристалле, содержащем 1 моль вещества, составляет E=3NkT, а соответствующая молярная теплоёмкость равна dE/dТ= C v = 3Nk=24,9 Дж/моль К. Закон удовлетворительно выполняется для большинства элементов и простых соединений при комнатной температуре. При понижении температуры теплоёмкость падает гораздо ниже значения, даваемого законом, стремясь к нулю как Т 3 у диэлектриков и как Т - у металлов. Отклонения от этого закона при низких температурах были объяснены в теории твёрдого тела Дебая. Согласно этой теории, закон Дюлонга и Пти относится к области высоких температур (выше температуры Дебая), когда возбуждены все колебательные степени свободы. При понижении температуры происходит "вымораживание" всё большего числа степеней свободы, что и приводит к уменьшению теплоёмкости.

Удельная теплоемкость твердых веществ при низкой температуре. Классическая физика дает закон ДЮЛОНГА И ПТИ: Гипотеза Планка дает При высоких температурах – переход к классическому пределу Теплоемкость при постоянном объеме Реальная картина такова:

Фотоэффект. Квантовый подход дает: Особенности фотоэффекта: 1.Имеется «красная граница» фотоэффекта – если длина волны света больше некоторого критического значения, характеризующего данный материал, фотоэффект не возникает даже при большой интенсивности излучения. 2.Кинетическая энергия электронов, испускаемых с поверхности металла при освещении видимым или ультрафиолетовым светом, зависит от частоты света, но не зависит от его интенсивности. Прикинетическая энергия должна быть отрицательной, что невозможно. Это и есть «красная граница».

Эффект Комптона. Рассеяние э.-м. волны на свободном электроне, сопровождающееся уменьшением частоты. Эффект наблюдается для больших частот рассеиваемого э.-м. излучения (в рентгеновской области и выше). Изучен в гг. Исторически эффект Комптона явился одним из главных свидетельств в пользу корпускулярной природы электромагнитного излучения (в частности, света).

Эффект Комптона. Квантовый подход: фотон обладает не только энергией E, но и импульсом p: Из законов сохранения энергии и импульса следует: С точки зрения классической электродинамики рассеяние с изменением частоты невозможно. где λ, – длины волн до и после рассеяния, ϑ – угол рассеяния, m e – масса электрона. Параметр h/m e c называется комптоновской длиной волны электрона и равен 2, см. Из кинематики процесса можно определить энергию и импульс отдачи электрона.

Эффект Комптона.

Рис. 1. Упругое столкновение фотона и электрона в эффекте Комптона. До столкновения электрон покоился; p γ и p γ ' импульсы налетающего и рассеянного фотонов, p e импульс отдачи. Рис. 2. Зависимость энергии рассеянного фотона ε' от угла рассеяния и энергии электрона отдачи ε e от угла вылета (нижняя половина кривой). График вычерчен для случая рассеяния «жёстких» рентгеновских лучей с малой длиной волны.

Линейчатые спектры испускания и поглощения света. Спектральные серии. Линейчатые спектры дают все вещества в газообразном атомарном состоянии. Изолированные атомы излучают строго определенные длины волн. Распределение спектральной плотности интенсивности излучения в линейчатом спектре.

Линейчатые спектры испускания и поглощения света. Спектральные серии. Обнаружил закономерность в спектральных линиях атома водорода, показав в 1885 г., что длины волн линий видимой части спектра атома водорода связаны между собой простой зависимостью (формула Бальмера), которая дает возможность определить длины волн всех линий этой водородной серии (серия Бальмера). Это открытие послужило толчком для обнаружения других серий в спектре атома водорода – серий Лаймана, Пашена, Брэкетта и Пфунда. Был пионером в изучении структуры атома. Иоганн Бальмер Бальмер (Balmer) Иоганн Якоб (1825–1898). Швейцарский физик и математик. Родился в Лозанне. Учился в Базеле, Карлсруэ, Берлине. В 1849 получил степень доктора в Базельском университете. С 1859 преподавал в средней школе, а в 1865–90 – в Базельском университете.

Линейчатые спектры испускания и поглощения света. Спектральные серии. Формула Бальмера (первоначальный вид):

Линейчатые спектры испускания и поглощения света. Спектральные серии. Комбинационный принцип Ритца. В простейшей форме, применимой для атома водорода, он утверждает, что частоты электромагнитного поля, излучаемого или поглощаемого атомом водорода, удовлетворяют эмпирической формуле Бальмера R = ,58 см -1 постоянная Ридберга для атома водорода

Опыт Франка - Герца. Опыт, показавший, что внутренняя энергия атома не может изменяться непрерывно, а принимает определённые дискретные значения (квантуется). Впервые поставлен в 1913 г. В опыте исследовалась зависимость силы тока I от ускоряющего потенциала V между катодом К (рис. 1) и сеткой C 1 ; между сеткой С 2 и анодом А приложен замедляющий потенциал. Электроны, ускоренные в области I, испытывают в области II соударения с атомами паров ртути, заполняющими трубку Л. На анод А попадают только те электроны, энергия которых после соударения с атомом достаточна для преодоления замедляющего потенциала в области III. При увеличении ускоряющего потенциала от 0 до 4,9 В наблюдается монотонный рост I; т.о., в этой области V соударения электронов с атомами носят упругий характер, внутренняя энергия атомов не меняется. При V>4,9 B (и кратных ему значениях V > 9,8; 14,7 B,...) на кривой I(V) появляются спады (рис. 2): соударения электронов с атомами становятся неупругими внутренняя энергия атомов растёт за счёт энергии электронов. Рис.1 Рис.2

Экспериментальное доказательство квантования проекции магнитного момента атома на направление магнитного поля. Опыт подтвердил справедливость квантовой теории. Поставлен в 1922 году. Схема опыта приведена на рисунке. Опыт Штерна - Герлаха. В вакуумной печи создавался поток атомов серебра, который затем коллимировался двумя диафрагмами D, проходил между полюсами магнита, формировавшими неоднородное магнитное поле H, и попадал на фотопластинку P.

Опыт Штерна - Герлаха. Согласно классическим представлениям, на атом с магнитным моментом M в неоднородном магнитном поле действует сила, направленная вдоль магнитного поля и перпендикулярно направлению движения атомов пучка. В соответствии с квантовой теорией проекция на направление магнитного поля квантована, т. е. принимает лишь определённые (дискретные) значения. Зафиксировано расщепление пучка атомов серебра на две узкие компоненты при отсутствии неотклонённого пучка!

Сводка основных опытов и следствий из них. Корпускулярно-волновой дуализм. Электромагнитные волны Дифракция (Юнг 1803, Лауэ 1912) Световые кванты (фотоны) Дискретные значения физических величин Тепловое излучение черного тела (Планк 1900) Фотоэффект (Эйнштейн 1904) Эффект Комптона (1923) Комбинационный принцип (Ритц, Ридберг 1908) Удельная теплоемкость (Эйнштейн 1907, Дебай 1912) Опыт Франка и Герца (1913) Опыт Штерна и Герлаха (1922)

Дополнительная литература к лекции 1 1.В.А. Фок, КВАНТОВАЯ ФИЗИКА И СТРОЕНИЕ МАТЕРИИ, Изд. ЛГУ, М. Борн, АТОМНАЯ ФИЗИКА, М., Мир, Луи де Бройль, РЕВОЛЮЦИЯ В ФИЗИКЕ, Госатомиздат, Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко, НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ, М.: Физматлит, 2004.