Моделирование и структурная оптимизация линейно-волновых явлений в метаматериалах Выполнила: студентка группы ИТД_М2-41 Мишина Е.В. Научный руководитель: к.ф.-м.н., доц. Махмудов Н.Р. Выпускная работа магистра Калужский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана» Факультет: фундаментальных наук Кафедра: Программного обеспечения ЭВМ, информационных технологий и прикладной математики Калуга

Цели и задачи работы Цель работы Разработать инструмент для моделирования метаматериалов с конечной периодичностью Задачи работы Адаптировать дискретный метод Галеркина для решения задач с конечной периодичностью Сформулировать задачи оптимизации для композиции некоторых составляющих элементов модели

Метаматериалы Метаматериалы - микроскопическое соединение материалов с различными свойствами, приводящее к появлению особого макроскопического свойства или поведения

Проблемы при моделировании Метаматериалы всегда представляют собой гетерогенную среду Большая часть созданных моделей для материалов происходит из физических допущений и поэтому предполагает бесконечную периодичность Необходимы точные числовые методы старших порядков Большая часть практических задач подразумевает наличие сложных геометрических структур и очень сильных различий в скоростях распространения волны в гетерогенной среде Нелинейное распространение волн может породить неоднородные и ударные волны

Волновое уравнение

Средства моделирования Уравнение Гельмгольца Гибридизируемый дискретный метод Галеркина (HDG) Метод конечных элементов

Алгоритм HDG Вычислить все матрицы для билинейных форм ( A, B, D только локально) Вычислить все матрицы для билинейных форм ( A, B, D только локально) Инвертировать матрицы A, B, D и собрать их в глобальную Сгенерировать глобальную матрицу K и вектор T Решить глобальную систему относительно L, используя уравнение (2) Решить локально относительно Q и U, используя уравнение (1)

Результаты моделирования энергетической щели в 1d

Задача оптимизации для энергетической щели Взять начальное значение и найти соответствующее Вычислить сопряжение по формуле (1) Вычислить сопряжение по формуле (1) Вычислить чувствительность по формуле (2) Вычислить чувствительность по формуле (2) Определить значение шага и найти новое. Убедиться, что оно правдоподобно Определить значение шага и найти новое. Убедиться, что оно правдоподобно Вычислить соответствующее значение. Принять Проверить сходимость Принять равным значению на текущем шаге Не сходится Сходится

Использование линейно-волновых явлений

Достоинства метода Гибридизируемый дискретный метод Галеркина значительно упрощает моделирование Сверхсходимость Универсальность

Перспективы развития метода введение ограничений, накладываемых возможностями производства расширение круга задач переход к эквивалентным задачам в трех измерениях рассмотрение линейных и нелинейных упругих материалов

разработан инструмент для моделирования метаматериалов с конечной периодичностью проведена адаптация дискретного метода Галеркина для решения задач с конечной периодичностью проведена оптимизация с целью получить интересующие нас свойства создана хорошая база для дальнейших исследований Выводы

Спасибо за внимание