Работу выполнили ученики 9 класса Сорокин Сергей, Зайниева Гузель, Зайниев Рафис. С помощью цифр доказать можно все что угодно Томас Карлейль
113 2 = = = = = = = = = =2111 2
Обозначим их и, соответственно и найдём их квадраты: 2 =(100a+10b+c) 2 =10000a ·2cb+100(2ac+b)+10·2cb+c 2 2 =(100c+10b+a) 2 =10000c ·2cb+100(2ac+b)+10·2cb+a 2 Анализируя эти числа, разложенные в разрядные суммы, приходим к системе неравенств: Решением данной задачи будут ещё пары чисел: =10404 и = =10609 и =90601
=(1000а+100b+10c+d) 2 = a ·2ab+10000(b 2 +2ac) ·2(ad+bc)+ 100(c 2 +bd )+10·cd+d 2 =(1000d+100c+10b+a) 2 = d ·2dc+10000(c 2 +2db) ·2(ad+bc)+100(b 2 +ac)+10ab+a 2 Соответствующая система неравенств:
= и = = и = = и = = и = = и = = и = = и = = и = = и = = и = = и = = и =
9 2 = = = = = = = = = = Эта закономерность бесконечна.
4 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
9. 7= = = = = = = = = =
А вот возведение в квадрат репьюнитов даёт другой результат – палиндромы: 1 2 = = = = ………………… = На этом закономерность заканчивается, и уже десять единиц в квадрате будет Но зато есть другие: = = = = = = = = = = Это числа-перевёртыши, они одинаково читаются, как слева направо, так и наоборот.
11 2 = = = = = = = Палиндромичность этих пирамид конечна, но последняя вызывает интерес тем, что её начало совпадает с пирамидой Паскаля. Первым закономерность степени числа 11 заметил марокканец Ибн-аль-Банна и опубликовал в книге «Аналитический сборник задач на счисление». Он заметил, что на последнем месте всегда стоит единица, десятки каждой последующей степени равны сумме десятков и единиц предыдущей, сотни – сумме сотен и десятков предыдущей, и т. д. Но этот алгоритм выполняется только до пятой степени включительно
А вот следующее свойство второй степени можно доказать для любого n: 1 2 =1+0=1 2 2 =1+3=4 3 2 =4+5=9 4 2 =9+7= =16+9= =25+11= =36+13= =49+15= =64+17= =81+19= =100+21= =121=23=144 (n-1) 2 +2(n-1)+1=n 2 -2n+1+2n-2+1=n 2 Итак, с помощью различных математических методов, мы смогли объяснить все «удивительные» примеры со второй степенью.