Представим себе коническую кучу песка, на центр которой по одной кладут песчинки. Будем считать, что устойчивость ее поверхности определяется локальным наклоном. Когда он превышает некоторое пороговое значение, песчинки соскальзывают вниз, что может привести к потере устойчивости соседними участками кучи, т.е. возможно развитие лавины осыпаний. Если средний наклон кучи невелик, то добавление очередной песчинки не вызывает заметных последствий, поскольку лавина быстро затухнет. Если наклон очень большой, то любое воздействие может привести к макроскопическому оползню, в который будет вовлечена большая масса песка. а) +1 б)+1 –4–4 0 Рис. 4. Осыпание неустойчивой ячейки (закрашена серым) При превышении значением в ячейке тройки оно уменьшается с одновременным увеличением значений в соседних ячейках; а) – BTW-модель, б) – дискретная FF-модель.

Одним из немногочисленных исключений из этого правила служит предложенная. Дхаром и Рамасвами DR- модель, все показатели которой могут быть вычислены точно [ а) б)б) 1 –2– Рис. 5. DR-модель а) Фрагмент гексагональной решетки и правила осыпания неустойчивой ячейки (закрашена серым). б) Пример области лавины. Числа обозначают содержимое ячеек до ее прохода.

из пепла с вероятностью p вырастает новое дерево; растущее дерево самопроизвольно загорается вероятностью f, если у него нет ни одного горящего соседа; дерево, имеющее хотя бы одного горящего соседа, загорается с вероятностью 1 g; горящее дерево превращается в пепел. В зависимости от значений параметров p, f и g модель может демонстрировать различные типы поведения нас будет интересовать лишь тот диапазон параметров, при котором она самоорганизуется в критическое состояние. Кроме того, для простоты мы ограничимся пока случаем g = 0, т.е. деревья не имеют устойчивости к возгоранию от горящих соседей Отношение q = p/f служит мерой числа деревьев, вырастающих за время между двумя возгораниями Поэтому достаточно большие кластеры растущих деревьев могут сформироваться только при q >> 1. Вместе с тем, чтобы пожары не могли продолжаться неограниченно долго, необходимо, чтобы время роста новых деревьев 1/p было много больше времени выгорания самых больших кластеров Tmax, которое при q расходится как Tmax ~ qn, где n – некоторый положительный показатель

Таким образом, получаем условие двойного разделения временных масштабов, при выполнении которого модель лесного пожара демонстрирует критическое поведение

Обозначим плотности растущих и горящих деревьев и пепла как t, f и a, соответственно. За один шаг на поле площади S вырастает Sp a деревьев и происходит Sf t самопроизвольных возгораний, каждое из которых выжигает кластер средним размером s. В стационарном состоянии средние числа вырастающих и сгорающих деревьев должны быть равны, откуда. Здесь мы воспользовались очевидным соотношением rt+rf+ra = 1 и пренебрегли плотностью горящих деревьев по сравнению с плотностью растущих.

Из формулы (24) следует, что предельная плотность деревьев должна быть строго меньше единицы. В противном случае rt будет очень близка к единице уже при конечных q, при этом крупнейший кластер деревьев будет содержать конечную долю всех растущих на поле деревьев. А значит, s будет неограниченно возрастать при S при фиксированном q, что противоречит ( ). Таким образом, пепелища всегда будут занимать конечную долю площади леса

Согласно результатам компьютерного моделирования распределение кластеров по размеру имеет вид n(s) ~ s 2,15. Поскольку вероятность возгорания внутри кластера пропорциональна его размеру, вероятность пожара площади s есть n(s)s ~ s (1+0,15).

При наличии у деревьев ненулевой устойчивости к возгоранию их кластеры выгорают уже не полностью. По мере роста g возрастает и плотность живых деревьев rt, достигая единичного значения при некотором gc. При малых g распространение огня ограничивается лишь размерами кластеров живых деревьев, а при значениях g, близких к gc, распространения огня носит перколяционный характер, больше напоминающий не пожар, а тление. Вообще говоря, данная модель не очень хорошо описывает статистику реальных лесных пожаров, для которых a 0,59, что заметно больше величины, получающейся в модели. Наблюдающееся на практике более высокое значение a, означающее меньший размер пожаров, обусловлено, на наш взгляд, как факторами, мешающими распространению огня (реки, шоссе, поля и т.п.), так и усилиями по тушению пожаров. Модели лесного пожара легко можно придать множество интерпретаций, поскольку описанная схема является частным случаем процесса, происходящего в возбудимой среде, элементы которой могут находиться в одном из трех состояний: покой (растущее дерево), возбуждение (горящее дерево) и невосприимчивость (пепел). Возбуждение распространяется от соседа к соседу, при условии, что он находится в состоянии покоя. После возбуждения элементам среды требуется некоторое время на "восстановление сил", которое они проводят в состоянии невосприимчивости

Модель лесного пожара дает также хорошую аналогию с такими историческими событиями, как войны и эпидемии. Пожар, захвативший некоторую территорию, приводит к тому, что ее ячейки оказываются в одинаковых условиях, т.е. синхронизованными. При этом они в дальнейшем развиваются сходным образом и имеют тенденцию снова вспыхивать одновременно. Эпидемии и войны, разрушая привычный уклад жизни и опустошая значительные территории, также приводят к синхронизации, примерами которой могут служить послевоенное развитие Германии и Японии или объединение Руси под властью Москвы после эпидемии чумы XIV века и Куликовской битвы.

Модели биологической эволюции. Величи на BS модель Одномерная модель Снеппена [0,0] Размерность пространства d = 1 [0,0]d = 2 [0] fcfc 0,66702±0,000030,328855±0, ,4614±0,0004 0,073±0,0030,245±0,0100,26±0,01 D2,43±0,012,92±0,021,63±0,02 0,58±0,030,31±0,030,39±0,01 3,23±0,023,20±0,042,21±0,01

система описывается стационарным распределением видов по устойчивости к шокам (x). В этом случае вероятность вымирания вида с устойчивостью x равна (x)F(x) и можно записать уравнение баланса (x)(a + F(x)) = p нов (x). Если ограничиться случаем равномерного p нов (x) и пренебречь a по сравнению с F(x), то получается (x) ~ F(x) 1. Шок силы x вызывает гибель видов. Если продифференцировать (26) и подставить результат в уравнение сохранения вероятностей p(s)ds ~ dF(x), то получаетс.(27) В общем случае систему (26)–(27) явно решить нельзя, однако в случае экспоненциального распределения шоков F(x) ~ e x, легко показать, что p(s) ~ s 2, т.е. имеет место СЗРВ с = 1.

xt = ln xt и kt = ln kt. Распределение оказывается нестационарным, поскольку, как легко видеть, x 0 при v = k 0. Чтобы добиться стационарности необходимо дополнить отображение (29) правилом, "не подпускающим" x к его предельному значению Если ограничиться случаем v 0 сводится к нему рассмотрением вместо x и k обратных величин), то речь идет об отталкивании от нуля, которое обычно объясняется дискретной природой процесса или действием механизмов, препятствующих вырождению.

отталкивание

Если обозначить через p(k) распределение вероятностей смещения k, для p(x), можно записать рекуррентное соотношение разложив в котором p(x k)в ряд по степеням k до второго члена, получаем где T = /2. Можно убедиться, что стационарное решения уравнения (34) при условие ограниченности снизу имеет вид,(35) что приводит к степенному виду (2) для распределения p(x) с.

Формула для показателя распределения является приближенной. Чтобы найти выражение для точного значения, подставим распределение в формулу. Откуда получаем уравнение e k = 1.