Цель: 1. Дать определение показательной функции; 2. Изучить свойства показательной функции; 3. Научиться строить график показательной функции. Подготовил учитель математики Валишина Лилия Ануровна. 2010г

Историю представим мы немного, события расставив по порядку: вы знаете, еще 40 веков назад в египетском папирусе записан ряд. Про семь домов, где кошек 49, и каждая из них по 7 мышей съедает и тем всем столько зерен сохраняет, что мер составляет. О том еще известна нам легенда, что как-то у арабского царя Изобретатель шахматной доски, наверно потребовал за доску то зерна. Причем за клетку первую – зерно, а за вторую – два просил изобретатель, за третью – снова больше раза в два, немало времени царь на подсчет потратил. Когда же подсчитали – прослезились: число двадцатизначно получилось! Хватило б зернами засеять нам всю сушу и миллионы лет пришлось зерно бы кушать

Все знают, что такое ростовщик. Тот человек проценты брать привык. Они встречались в Вавилоне древнем, где пятую часть лихвы взимали в среднем! Пятнадцатый век – рожденье банков, дающих деньги людям под процент, тогда и встал вопрос довольно ярко о дробном показателе, сомненья нет. Его развили математики Штифель, Оресм, Шюке, затем Исаак Ньютон. И в завершении Бернулли Иоганном был термин показательной введен. На множестве всех чисел он ее нам ввел, как открыватель функции в историю вошел.

Функция – основное математический инструмент для изучения связей, зависимостей между различными величинами. Чем большим запасом функций мы располагаем, тем шире и богаче наши возможности математического описания окружающего мира.

Какие функции мы изучили? 1.Линейная функция: y=kx+b, где k и b постоянные числа. (прямая пропорциональность) х y y=kx, где k>0 0 Свойства: 1.Область определения – R; 2.Область значения – R; 3.При k>0 – возрастает, при k

2. Функция обратной пропорциональности: y= Свойства: 1. Область определения- R, кроме x=0. 2. Область значения – R, кроме у = Возрастает, если k0. у х 0 у=k/x, где k>0 у=k/x, где k

3. Квадратичная функция: Свойства: 1. Область определения – R; 2. Область значения – R; 3. Возрастает – 4. Убывает - у х 0 у = х 2 у = -х 2

4. Кубическая функция: у = ах 3 Свойства: 1.Область определения: R 2.Область значения: R 3.Возрастает: 4.Убывает: у х 0 у = х 3 у = -х 3

Рассмотрим выражение 2 х и найдем его значения при различных рациональных значениях переменной х, например при х = 2; 5;0;-4; 4/3; -3,5. если х = 2, то 2 х = 2 2 = 4; если х = 5, то 2 х = 2 5 = 32; если х = 0, то 2 х = 2° = 1; если х = -4, то 2 х = 2 -4 = 1/16; если х = 4/3, то2 х = 2 4/3 =16 1/3 если х = -3,5, то 2 х = = 2 1/2 /16 Вообще, какое бы рациональное значение мы ни придали переменной х, всегда можно вычислить соответствующее числовое значение выражения 2 х. Таким образом, можно говорить о показательной функции у = 2 х, определенной на множестве Q рациональных чисел : у = 2 Х, x Q.

Свойство 1. у = 2 х, x Q возрастающая функция. Свойство 2. Функция у = 2 х, x Q ограничена снизу и не ограничена сверху. Свойство 3. Функция у = 2 х, x Q не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

Вернемся к функции у = 2 х, построим ее график. Для этого составим таблицу значений функции у = 2 х : х у121/241/481/8

у х

Свойства функции у = 2 х : 1. D(f) = (-;+); 2. не является ни четной, ни нечетной; 3. возрастает; 4. не ограничена сверху, ограничена снизу; 5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6. непрерывна; 7. Е(f) = (0;+ ); 8. выпукла вниз. Строгие доказательства перечисленных свойств функции у = 2 х приводят в курсе высшей математики. Точно такими же свойствами обладает любая функция вида у = а х, где а > 1.

Рассмотрим теперь функцию у= (1/2) х, составим для нее таблицу значений: 1. D(f) = (-;+); 2. не является ни четной, ни нечетной; 3. убывает; 4. не ограничена сверху, ограничена снизу; 5. нет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6. непрерывна; 7. E(f) = (0; + ); 8. выпукла вниз. х у11/221/441/88

у х 0 1

Дадим определение показательной функции и выделим наиболее важные ее свойства. Определение. Функцию вида у = а х, где а > 0 и а х 1, называют показательной функцией. п/п а > 10 < а < 1 1. D(f) = (-;+); 2.E(f) = (0; + ); 3.ВозрастаетУбывает 4.Непрерывна