Сборник задач для закрепления навыков решения задач по теме «Сумма углов треугольника». Геометрия 7 класс. Авторы: Кононенко Влада 7класс и Кононенко Анжела 9 класс. Руководитель: Смирнова Галина Александровна – учитель математики. МОУ Брединская СОШ 2. П.Бреды Челябинской области.

Назначение сборника: Сборник содержит задачи на готовых чертежах по теме «Сумма углов треугольника», что делает его удобным для применения как учителем на уроках закрепления нового материала, при обобщении и повторении изученного так и для самостоятельного использования учащимися, интересующимися геометрией или желающими научиться решать задачи по данной теме. Ко всем задачам даны ответы, ко многим приведено подробное решение. Применение сборника позволит учителю сэкономить время при подготовке уроков данной темы, освободит рабочую площадь доски, позволит рассмотреть большее количество задач разного уровня сложности и содержания в течение урока. Изучение геометрии начинается в 7 классе, поэтому для большинства учащихся является большой сложностью грамотное оформление решения задачи, это еще одно назначение сборника – помочь учащимся научиться самостоятельно, грамотно, обоснованно записывать решение задачи. Сборник сопровождается необходимым теоретическим материалом по данной теме.

Необходимый теоретический материал: Сумма углов треугольника равна Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0, равен половине гипотенузы. Сумма смежных углов равна Вертикальные углы равны.

1 2 А С В СА В ? ? ответы ВПЕРЕД.

3 4 B CD A А В D C ?51 95 ? 17 ? 52 ? ОТВЕТЫВПЕРЕД.

5 L K NM T A 6 С А В D ? ? ? NLT=42 NTL=63 ответы

7 8 А В С 72 ? 48 ? А В С ответы ВПЕРЕД

9 A C B D 10 AC D B ? 140 ? 40 ? ответы

11 AB C D 12 N A C P ? ? ответы

13 14 A B C ? ? ? А:В:С=3:4:5 A B C ? ?? А=2В С=А+10 ответ13 ответ14

15 A B C 16 M N P ? ? ? А= В-С 2 В:С=7:3 ? ? ? N+40 =M N-10 =P ответы

17 C AB 18 D FE ? ? ? ? ? ? А:В:С= : 4 : 1 5 D+E=70 E+F=150 ответы

19 FR, EK-биссектрисы 20 С1С1 O A A1A1 C B R E DKF O ? 50 DEF= A-? В-? С-? Ответ 19Ответ 20

21 T P L R N 22 A D BC ? 56 К ? ? С=0,6А В-? ОТВЕТ 21 – 22 ОТВЕТ 21 – 22. ВПЕРЕД.ВПЕРЕД.

23 B AC A1A1 C1C1 O 24 A B C M T 48 А-? В-? С-? ? 40 ОТВЕТЫ.ВПЕРЕД

25 26 ADE C B ? ? ABC=100 BE- биссектрисаВ DBE=20 A B C A-? В-? С-? D 150 ОТВЕТЫ.ВПЕРЕД.

27 28 M F P N MN-биссектриса ? ? ? 29 К М Р Т ОТВЕТ: 27ОТВЕТ: 28ВПЕРЕД.

29 30 А-? В-? С-? А В С К ? M RK L P ОТВЕТ: 29 – 30ВПЕРЕД.

31 A B C 3232 B C A ? С-? В-? ОТВЕТ: ВПЕРЕД

3 A B C 3434 A B C ? ? В-? А-? ВПЕРЕД.ОТВЕТ:

A B C AC B ? ? ? ? ? ? ОТВЕТ: ВПЕРЕД

К Р D B A C ? ? ?? ОТВЕТ: ВПЕРЕД

A B C AC B ? ? ? ? ? ? М ОТВЕТ: 39 – 40ВПЕРЕД

A B C A BC ? ? ?? А=2-1 К М ОТВЕТЫ: 41 – 42ВПЕРЕД

4343 A B C 4 M DE ? ?? ? К А В С ответы ВПЕРЕД

4545 B AC 4646 AB C ? А:С=3:5:9В: 1:2:3-? М ОТВЕТ: 45ВПЕРЕД

47 AC B 4848 A B C ? ВПЕРЕД

4949 A B C 5050 A B C на 36 1-?2-? 12 1 в 3 раза2 1-?2-? ОТВЕТ: 49 – 50ВПЕРЕД

5151 A B C 5252 A B C :2=4:7 1-?2-? ? ? ? 115 А -В=25 ОТВЕТ: ВПЕРЕД

5353 A B C 5454 A B C ? ?? ? ? ? АВ в 3 раза 1 2 в 2 раза 2 на АВ на ВПЕРЕД

5 A B C D 5656 A B C D ? 127 ВПЕРЕД

5757 A B C Внешний угол AD B C ? ? ? 120 В-? С-? ВПЕРЕД ОТВЕТ: 58

5959 A BC 6060 B M K E AC ? 2-? 3-? 1-3= 84 2= ? ОТВЕТ: 60ЛИТЕРАТУРА

СА В ? 1 Дано: АВС ے ВАС = 53 0, ےАВС = 62 0 Найти: ےАСВ. Решение: Так как сумма углов треугольника равна 180 0, то ےАСВ= – (ے ВАС + ےАВС) = – ( ) = 65 0 Ответ: ےАСВ = Ответ: ےАВС = 27 0 Ответы и решения. назад

А В D C ? ? 3 Дано: АВС, BD – биссектриса, ے АDB = 95 0, ےDВС = 51 0 Найти: ے ВАD, ےDCВ Решение: По условию BD – биссектриса, значит ے AВD = ےDВС = Рассмотрим АВD. Сумма углов треугольника равна 180 0, значит ے ВАD = (ے АDB + ے AВD ) = – ( ) = Рассмотрим ВDС. ےВDС смежный с ے АDB = 95 0, а так как сумма смежных углов равна 180 0, то ےВDС = ے АDС - ے АDB = – 95 0 = Сумма углов треугольника равна 180 0, значит ےDCВ = (ے DBС + ے ВDС ) = – ( ) = Ответ: ے ВАD = 34 0, ےDCВ = Ответ: (применить свойство острых углов прямоугольного треугольника) ےВDС = 73 0, ےВАD = назад

5. Указания: 1) сумма углов треугольника равна 180 градусам. ИзNLT найти ے N. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам. 2) из NLМ найти ے NLМ. 3) из LКА найти ےLАК. 4) По свойству смежных углов найти ےКАМ. Ответ: ےКАМ = Ответ: ے ВСD= 77 0, ے ВАD= В задачах 7 и 8 применить свойство углов при основании равнобедренного треугольника. 7. Ответ: ے ВСD= 77 0, ے ВАD= Ответ: ے ВСD= 77 0, ے ВАD= Ответ: ے АВD= 70 0, ے АСD= Ответ: ے АDС= – – 6

11. Ответ: ے САВ= Ответ: ے РАС= A B C ? ? ? Дано: АВС ے А : ےВ : ےС = 3 : 4 : 5 Найти: ے А, ےВ, ےС Решение: Пусть х – коэффициент пропорциональности, тогда ے А = 3х, ےВ = 4х, ےС = 5х. Так как сумма углов треугольника равна 180 0, то составим и решим уравнение: 3х + 4х + 5х = х = 180 Х = 180 : 12 Х = 15 Значит ےА = 3х = 15 0 * 3 = 45 0, ےВ = 4х = 15 0 * 4 = 60 0, ےС = 5х = 15 0 * 5 = Ответ: ےА = 45 0, ےВ = 60 0, ےС =

С А В ? ?? Дано: АВС ےА = 2 ےВ, ےС = ےА Найти: ےА, ےВ, ےС. Решение: Пусть ے А = х, тогда ےВ = 0,5х, ے С = х + 10, сумма углов треугольника равна 180 0, составим и решим уравнение: х + 0,5х + (х + 10) = 180 2,5х = 180 – 10 2,5х = 170 х = 170 : 2,5 х = 68 Значит ے А = х = 68 0, ےВ = 0,5х = 0,5 * 68 0 = 34 0, ے С = х + 10 = = Ответ: ے А = 68 0, ےВ = 34 0, ے С = Ответ: ے А = 30 0, ےВ = 105 0, ے С = Ответ: : ے N = 50 0, ے М = 90 0, ے Р = –

17. Ответ: ے А = 110 0, ےВ = 40 0, ے С = Ответ: ے D = 30 0, ے E = 40 0, ے F = R E DKF O ? Дано: DEF, ےD = 50 0, FR, EK – биссектрисы, ے DEF = 70 0 Найти: ےEOF. Решение: Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Из DEF найдем ےDFE. ےDFE = – ( ےD + ے DEF) = – ( ) = По условию FR и EK – биссектрисы, тогда из EОF найдем ےEOF = – ( ےОЕF+ ےEFO) = – ( ) = Ответ: ےEOF =

20 Ответ: ے А = 56 0, ےВ = 68 0, ے С = Указания: 1) из LPT найти ےPLT, 2) из LRK найти ےRKL, 3) ےLKM – смежный с ےRKL. Ответ: ےLKN = Ответ: ے А = 50 0, ےВ = 100 0, ے С = Ответ: ے А = 48 0, ےВ = 84 0, ے С = Ответ: ے МАТ = Ответ: ے А = 60 0, ے С = Ответ: ے А = 20 0, ےВ = 140 0, ے С = Ответ: ے MNF = –

28 Ответ: ے К = 61 0, ے КМР = Ответ: ے А = 72 0, ےВ = 36 0, ے С = Ответ: ے РМК = Ответ: ے С = Ответ: ے АВС = 136 0, ے С = Ответ: ےВ = 87 0, ے АСВ = Ответ: ے А = 76 0, ےАВС = Ответ: ے ВАС = 38 0, ےВ = 71 0, ے С = Ответ: ے А = 18 0, ےВ = 18 0, ے АСВ = – – –

37 Ответ: ے Р = Ответ: ے ВАС = 33 0, ےАВС = 96 0, ے С = Ответ: ے А = 80 0, ےАВС = 40 0, ے АСВ = Ответ: ے ВАС = 68 0, ےАВС = 70 0, ے АВМ = Ответ: ے ВАС = 90 0, ےМВК = 50 0, ے АСВ = Ответ: ے АВС = Ответ: ے СВК = Ответ: ے ADE = 107 0, ےВЕD = 107 0, ے CМЕ = Ответ: ے АВМ = – – – 46

49 Ответ: ے 1 = 56 0, ے 2 = Ответ: ے 1 = 111 0, ے 2 = Ответ: ے 1 = 44 0, ے 2 = Ответ: ے В = 45 0, ے А = 70 0, ے АСВ = Ответ: ے В = 60 0, ے АСВ = Ответ: ے КМЕ = –

ЛИТЕРАТУРА: 1.Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: метод, рекомендации: кн. для учителя / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков и др.]. - М.: Просвещение, Гусев В. А. Геометрия: дидакт. материалы для 8 кл. / В. А. Гусев, А. И. Медяник. М.: Просвещение, Зив Б. Г. Геометрия: дидакт. материалы для 8 кл. / Б. Г. Зив, В. М. Мейлер. М.: Просвещение, Математика 5-11 классы: нетрадиционные формы организации контроля на уроках / авт.-сост. М.Е. Козина, О.М. Фадеева. - Волгоград, Учитель, 2007; 5.Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс. – М.: ВАКО, 2005.