Элементы математической статистики Основные понятия

1. Разработка методов сбора экспериментальных данных. 2. Регистрация данных. 3. Анализ статистических данных.

Математическая статистика Пусть ξ – случайная величина, функция распределения которой неизвестна. Генеральной совокупностью называется множество значений случайной величины ξ. –(генеральной случайной величины) Множество - независимых наблюдений этой величины называется выборкой объема n. Значения в выборке называются вариантами. В силу независимости выборка – это n-мерный случайный вектор с одинаково распределенными независимыми компонентами.

Математическая статистика Выборка должна быть репрезентативной, то есть по выборке можно достаточно точно определить закон распределения случайной величины и ее параметры. В силу закона больших чисел выборка будет репрезентативной, если каждое значение в ней случайным образом отобрано из генеральной совокупности. (Любое значение из генеральной совокупности равновероятно может попасть в выборку).

Математическая статистика Вариационный ряд – это таблица, в которой приведены все различные упорядоченные значения выборки и их частоты : Х … n … … Свойства вариационного ряда

Математическая статистика Если количество различных вариант k велико или близко к объему выборки то составляют вариационный ряд по интервалам значений: –Число интервалов m=1+3,322 lg k – (формула Стерджеса) –Длина каждого интервала – – где - размах выборки. интер вала Интервал Часто та 1 2 … … …

Математическая статистика Графики вариационных рядов. 1. Полигон. 2. Гистограмма. (удобна для интервальных рядов) х х

Математическая статистика Эмпирической функцией распределения называется функция Теорема Гливенко. (Эмпирическая функция распределения сходится по вероятности к теоретической функции)

Оценки параметров случайной величины Точечные оценки параметров. Оценкой числового параметра называется функция выборочных значений Статистические свойства оценки: 1. несмещенность; 2. состоятельность; 3. эффективность.

Оценки параметров случайной величины Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание оценки равно истинному значению параметра. Оценка называется состоятельной, если оценка сходится по вероятности к истинному значению параметра. Оценка называется эффективной, если для нее величина второго момента достигает наименьшего значения. (если - несмещенная оценка, то ).

Оценки параметров случайной величины Если данные не сгруппированы, то выборочным средним (оценкой математического ожидания) называется число Если данные сгруппированы и - середина интервала, - соответствующая частота, - число интервалов, то

Оценки параметров случайной величины Выборочное среднее является несмещенной оценкой. Доказательство.

Оценки параметров случайной величины Выборочной дисперсией ( оценкой дисперсии ) называется число Если данные сгруппированы, выборочная дисперсия равна

Оценки параметров случайной величины Выборочная дисперсия является смещенной оценкой.

Оценки параметров случайной величины Вычислим математическое ожидание: Рассмотрим другую оценку: Эта оценка является несмещенной.

Оценки параметров случайной величины Выборочная дисперсия является состоятельной оценкой. Доказательство. р р (по теореме Хинчина)

Оценки параметров случайной величины Исправленной выборочной дисперсией называется число Эта оценка является несмещенной, состоятельной. применение

Пример. Определение прочности кирпичной кладки.

Оценки параметров случайной величины Интервальные оценки параметров. На основании выборки указывают два значения параметра и и делают заключение, что истинное значение »Так как выборка случайна, »то и и -случайные. » существует вероятность (надежность, доверительная вероятность), с которой

Оценки параметров случайной величины Метод доверительных интервалов (метод Неймана). –Пусть задана надежность. –По выборке определим оценку –Пусть Следующие утверждения эквивалентны:

Оценки параметров случайной величины Доверительный интервал для a при известном σ в случае нормального распределения. Пусть надежность и - корень уравнения

Оценки параметров случайной величины Замечание. Теоретическое значение σ практически не бывает известно. Однако экспериментально установлено, что при n>20 исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение практически точное. При n

Оценки параметров случайной величины Доверительный интервал для σ при известном а в случае нормального распределения. Введем следующую случайную величину (распределение хи-квадратраспределение хи-квадрат с n-степенями свободы) с n-степенями свободы - при известном а эта оценка несмещенная и состоятельная

Оценки параметров случайной величины а) выбирают нижнюю и верхнюю границу доверительного интервала из условия: (значения находят по таблице) - определяет верхнюю, а - нижнюю границу

Оценки параметров случайной величины б) выбирают верхнюю границу доверительного интервала из условия: Замечание. Случай, когда при известном a требуется найти доверительный интервалдля неизвестного возникает в геодезии при компарировании (определяют точность прибора, измеряя эталонную величину)

Оценки параметров случайной величины Доверительные интервалы для а и σ в случае нормального распределения. Пусть а и σ – неизвестные, тогда

Оценки параметров случайной величины При построении доверительного интервала для а введем случайную величину (распределение Стьюдента с (n-1)-степенью свободы)распределение Стьюдента с (n-1)-степенью свободы Пусть таково, что (значение находится по таблице распределения Стьюдента с n-1 степенью свободы (двусторонняя критическая область) или по таблице значений : )

Оценки параметров случайной величины При построении доверительного интервала для σ рассмотрим случайную величину Пусть и таковы, что

Оценки параметров случайной величины Пример 1. Время, затрачиваемое на бурение шпуров в скальной породе, при 25 независимых испытаниях оказалось следующим (в мин.): Найти доверительные интервалы а) для среднего значения определяемой величины с надежностью 0.95 и б) для среднеквадратического отклонения с надежностью Известно, что определяемая величина распределена по нормальному закону

Оценки параметров случайной величины Решение. Составим вариационный ряд Х n ν Σ

Оценки параметров случайной величины Х n ν Xν Σ Вычислим выборочное среднее

Оценки параметров случайной величины Х n ν Xν X 2 X 2 ν Σ Вычислим выборочную дисперсию

Оценки параметров случайной величины Найдем доверительный интервал для среднего значения с надежностью :

Оценки параметров случайной величины Найдем доверительный интервал для среднеквадратического отклонения с надежностью

Оценки параметров случайной величины Найдем верхнюю границу доверительного интервала для среднеквадратического отклонения с надежностью

Пример 2. Определение прочности материала бетона.

Молоток Кошкарова. При ударе по конструкции образуется одновременно два отпечатка на испытуемом материале d б и на эталонном стержне d э. Удар средней силы наносят по молотку Кошкарова слесарным молотком. По тарировочной кривой прочность материала определяется в зависимости отношения d б /d э.

Метод наименьших квадратов Задача. Построить функцию непрерывного аргумента по дискретной информации. 0 x1x1 x3x3 y x x2x2 xnxn ynyn y3y3 y1y1 y2y2 Гаусс, Лежандр (конец XVIII – начало XIX века)

Метод наименьших квадратов Определим функцию в виде Погрешность в i-той точке Суммарная квадратичная погрешность 0 x1x1 x3x3 y x x2x2 xnxn ynyn y3y3 y1y1 y2y2

Метод наименьших квадратов Определение. Функция с коэффициентами, при которых достигается называется наилучшим приближением по методу наименьших квадратов. Необходимое условие (экстремума).

Метод наименьших квадратов Система алгебраических уравнений имеет единственное решение если определитель системы (матрицы Грама)

Метод наименьших квадратов Частные случаи функции

Метод наименьших квадратов Пример. Построить линейную функцию которая дает наилучшее приближение. Решение. Здесь n=5,m=1, Матрица Грама имеет вид i x y 1 0,0 0, ,54 3 1,0 2,04 4 1,5 2,46 5 2,0 2,95

Метод наименьших квадратов Линейная аппроксимация Погрешность аппроксимации Наименьшая суммарная квадратичная погрешность

Распределение хи-квадрат Пусть - независимые стандартные нормально распределенные случайные величины Определение. Распределением хи-квадрат с n –степенями свободы называется случайная величина (К.Пирсон, 1900г.)

Распределение хи-квадрат Плотность распределения хи-квадрат При n=1 при n>1 Числовые характеристики

Распределение хи-квадрат Графики плотности распределения хи-квадрат с к-степенями свободы

Распределение Стьюдента Пусть - независимые стандартные нормально распределенные случайные величины Определение. Распределением Стьюдента с n – степенями свободы называется случайная величина (Стьюдент – псевдоним У.Госсета,1908г)

Распределение Стьюдента Плотность распределения Стьюдента Числовые характеристики