Компьютерное моделирование

Моделирование – замена одного объекта (процесса или явления) другим, но сохраняющим все существенные свойства исходного объекта (процесса или явления) Модель – аналог (заменитель) оригинала, отражающий некоторые его характеристики Модельное представление – единственный способ мыслительной обработки воспринимаемой человеком окружающей действительности Цель моделирования не в стремлении упростить изучаемый объект (процесс или явление), а в представлении его в такой форме, чтобы для исследования интересующего объекта можно было применить имеющийся у человека инструментарий.

Наиболее распространенные виды классификации моделей, определяемых следующими признаками: областью использования; учетом в модели временного фактора (динамики) способом представления моделей; областью знаний (биологические, экономические социологические, исторические и т.п) множество других факторов

Классификация моделей по области использования Учебные - наглядные пособия, тренажеры, обучающие программы Опытные - уменьшенные или увеличенные копии проектируемых объектов (модель водохранилища, гидроэлектростанции) Научно-технические - для исследования процессов и явлений (стенд для проверки телевизоров, синхротрон – ускоритель электронов) Игровые – военные, экономические, спортивные, деловые игры (репетируют поведение объекта в различных ситуациях) Имитационные – не просто отражают реальность с той или иной степенью точности, но и имитируют ее (проверка действия лекарств на животных, экспериментальное обучение в школах по изучению нового предмета)

Классификация моделей по способу представления Материальные (предметные) Информационные Компьютерные Некомпьютерные (карандаш, линейка, ручка) По способу реализации По форме представления Образно-знаковые Геометрические (карта,чертеж, рисунок, фотография, план) Структурные (таблица, граф, схема, диаграмма) Словесные (на естеств. языке) Алгоритмические (блок-схема) Знаковые: Математические (формулы), алгоритмические (пр-мы) специальные модели (ноты, химич. Формулы) Отражают: внешние свойства исх. объектов внутреннее устройство суть процессов и явлений, происходящих с объектами-оригиналами

Информационная модель – модель, представляющая объект, процесс или явление набором параметров и связей между ними. Математическая модель – информационная модель, в которой параметры и зависимости между ними выражены в математической форме. Компьютер – инструмент решения задач на основе информационных моделей

Этапы построения информационной модели: 1.Выделение существенных факторов для построения модели 2.Формализация - описание факторов с помощью параметров 3.Установка связей между параметрами и их описание

Хорошо поставленная задача – задача, для которой построена модель, учитывающая существенные факторы Плохо поставленная задача – для которой неизвестно заранее, какие факторы существенны, не выявлены параметры или не указаны связи между ними (т.е. не построена модель)

Этапы решения задач на ЭВМ: I.Математическая модель: 1. предположения, на которых основана модель (выделение существенных свойств) 2. Формализация (описание факторов с помощью параметров) 3. Математическое описание, связь (формулы, уравнения, неравенства) II. Алгоритм III. Программа IV. Получение и анализ результатов: 1. ввод и отладка программы 2. Тестирование: проверка основных частных случаев исходных данных проверка граничных случаев проверка недопустимых случаев исходных данных

Укажите, какие модели вы обычно используете для решения следующих жизненных задач и какие существенные факторы определяют использование той или иной модели при решении жизненной задачи? ЗадачаМодельСуществ. факторы Существенно содержание фильма или место расположения кинотеатра Купить билет в кино 2) Расписание сеансов Существенен фактор времени 3) План расположения мест в кинотеатре и указатель цен на них. Фактор комфорта или финансовых ограничений Рецепт приготовления торта (алгоритм) Норма и порядок смешивания компонентов 1) Афиша с информацией о том, какие фильмы и в каких кинотеатрах идут Испечь торт

Какие модели являются имитационными, какие – информационными, но нематематическими, а какие – математическими? МодельИмитац ионная Информацион ная (нематем) Математич еская 1План местности 2Формула химического вещества 3Литературная повесть 4Формула равноускоренного движения 5Компьютерная игра «Пасьянс» 6Классный журнал 7Ж/д расписание поездов 8Карта климатических поясов 9Картина И. Репина «Бурлаки на Волге» 10Зависимость между t тела и количеством полученной этим телом теплоты 11Электрическая схема 12Компьютерная игра «Гонки» 13Прямоугольный параллелепипед

Системный подход и информационные модели Системный подход к построению моделей был предложен в 1950 г. Американским биологом Л. Фон Берталанфи и получил развитие в самых различных направлениях. Система – модель, представляющая собой некоторую совокупность элементов и связей между ними. Совокупность отношений, которыми наделена система, называют структурой этой системы. Связи элементов создают систему только тогда, когда в результате этих связей образуется новый целостный объект, обладающий такими свойствами, которые без этих связей не были присущи совокупности данных элементов. Появление таких свойств называют системным эффектом. Системный подход – общие методы построения системных моделей Всякая информационная модель является системной. Не всякая системная модель является информационной (натуральные модели: скелет, самолет, авто. Т.к нет никаких параметров, описывающих действие каких-либо факторов)

Неориентированный граф Орграф Назовите систему, представленную каждым графом? Крышка Ножка 1) 2)Рюрик Игорь Святослав ЯрополкВладимир Св.Олег Ответ: Стол, ТабуретОтвет: Генеалогическое дерево Если число элементов системы конечно, то ее удобно представить в виде графа, вершинами которого являются элементы системы, а дуги соответствуют связям между элементами Граф – совокупность точек, называемых вершинами, некоторые из которых соединены линиями. Если на каждой линии, соединяющей две смежные вершины, выбрано направление, то такой граф называется ориентированным (орграфом)

2. Могут ли разные явления описываться одной моделью? А Б В Г Д Е Ответ: а) Кто с кем знаком в компании из 6 человек б) Автомаршруты между населенными пунктами 3. Представьте объекты как системы б) Авторучка Корпус Стержень Чернила Колпачок Д) ВЕЛОСИПЕД Руль Колесо Рама Педали Сиденье

Классификация моделей по фактору времени Внутреннее устройство системы часто оказывается несущественным. Примеры: переход через улицу, покупка билета через автомат, просмотр телевизора СИСТЕМАСИСТЕМА Внешние воздействия, вызывающие изменение системы ВХОДыВХОДы ВЫХОДВЫХОД Результаты функционирования системы Функционирование системы: Модели Статические – неизменяемость системы в определенный промежуток времени (карта местности, обследование в стоматологической поликлинике Динамические – изменение объектов системы и связей между ними во времени (функционирование, эволюция) Медицинская карта ученика

Динамические модели и черные ящики Черный ящик – объект, внутренне устройство которого скрыто от исследователя. Используется как средство моделирования поведения тех или иных объектов, т.к. не зная как устроен Черный ящик, мы можем лишь предполагать, какую информацию он воспримет на ВХОДАХ и какой будет его реакция на те или иные входные сигналы. Догадку можно проверить, подавая на входы ту или иную информацию и наблюдая на выходах за реакцией черного ящика на эту информацию. Если догадка будет регулярно подтверждаться, то можно считать, что мы построили модель той динамической системы, которая представлена данным черным ящиком. ВХОДЫВХОДЫ ВЫХОДВЫХОД Кибернетика – наука, изучающая процессы управления в живой природе и системах, созданных человеком, а также разрабатывает методы построения эффективного управления при решении человеком тех или иных жизненных задач

Укажите, какие модели являются статическими, а какие динамическими? МодельСтатическаяДинамическая 1Глобус 2Компьютерная игра «Гонки» 3Уравнение химической реакции 4Зависимость между t остывающего тела и временем 5Классный журнал 6Соотношение между количеством хищников на данной территории и кол- вом травоядных животных 7Расписание уроков

Л/работа « Модель неограниченного роста (НОР)» 1.В 1937 г. На остров Протекшен завезли 8 фазанов. Никто на них не охотился (ни люди, ни звери), корма для них было достаточно, и через год фазанов стало 26. Прошел еще год – их стало 83. Сколько будет фазанов через n лет? 2.Как меняется масса растений в различных природных зонах (тундра, тайга, степь, пустыня)? Построение модели 1.Существенные факторы: Прирост массы живых организмов за единицу времени пропорционален уже имеющейся массе. Рассмотрим воздействие окружающей среды на численность популяции живых организмов как черный ящик. M(n) M(n+1) 2. Формализация. Дано: М(0) – начальное кол-во живых организмов K – коэффициент прироста за год Найти: M(n) –число живых организмов через n лет 3. Связь: M(n+1) - M(n) – прирост за 1 год, тогда M(n+1) - M(n) = kM(n) M(n+1) = M(n) + kM(n) или M(n+1) = (1 +k)·M(n) Обнаруженную закономерность можно сформулировать так: если действие окружающей среды сказывается лишь на скорости прироста, то живые организмы размножаются в геометрической прогрессии. Это модель неограниченного роста

МассаМодельТундра К=0,6 Тайга К=1,8 Степь К=1,2 Пустыня К=0,8 Начальная 1т >100 тНОР ОР >1000 тНОР ОР >10000 тНОР ОР >массы Земли: 5976·10 18 НОР Анализ Моделей Неограниченного роста (НОР) и Ограниченного роста (ОР)

МассаМодельТундра К=0,6 Тайга К=1,8 Степь К=1,2 Пустыня К=0,8 Начальная 1т >100 тНОР10568 ОР >1000 тНОР ОР >10000 тНОР ОР >массы Земли: 5976·10 18 НОР49 Анализ Моделей Неограниченного роста (НОР) и Ограниченного роста (ОР)

Выводы: I.Модель неограниченного роста (НОР) На увеличение массы в 10 раз потребовалось 2-3 года Модель НОР не годится для решения задачи популяции, хотя и адекватна до некоторого момента. Сл-но, для выяснения непригодности какой-либо модели она должна быть построена Выводы:

Л/работа «Модель ограниченного роста (ОР)» Построение модели 1.Существенные факторы: Прирост массы живых организмов за единицу времени пропорционален уже имеющейся массе Существует некоторое предельное значение массы живых организмов Коэффициент прироста массы живых организмов k за ед. времени пропорционален разности между максимально возможным значением массы и массой, имеющейся к данному моменту времени 2. Параметры модели. Дано: М(0) – начальная масса живых организмов L – предельное значение массы живых организмов a – коэффициент пропорциональности в формуле для коэффициента прироста n – время Найти: M(n) – массу живых организмов через n лет 3. Связь: a=k/ (L - M(0)) для n=0,1,2,3… M(n+1) =M(n) + a·M(n)·(L - M(n))

МассаМодельТундра К=0,6 Тайга К=1,8 Степь К=1,2 Пустыня К=0,8 Начальная 1т >100 тНОР10568 ОР10568 >1000 тНОР ОР >10000 тНОР ОР >массы Земли: 5976·10 18 НОР49 Анализ Моделей Неограниченного роста (НОР) и Ограниченного роста (ОР)

Выводы: I.Модель ограниченного роста (ОР) На начальных этапах развития популяции значение массы живых организмов в моделях НОР и ОР совпадают Чем медленнее рост (меньше К), тем больше требуется время на удесятерение массы растений Строящаяся модель зависит от того, какими будут параметры, описывающие существенные факторы Для описания одного и того же фактора может быть взята разная система параметров, это приводит к появлению разных моделей

Адекватность модели Если модель дает удовлетворительные результаты при решении задач, то говорят, что модель адекватна рассматриваемому объекту (процессу или явлению). Никакая модель не эквивалентна исходному объекту, процессу или явлению Адекватность модели определяется ее согласованностью с практикой и общетеоретическими положениями Область адекватности модели – совокупность всех тех ситуаций, в которых применяется данная модель Всякая модель имеет ограниченную область адекватности, и за ее пределами она перестает удовлетворительно отражать свойства моделируемого объекта. Поэтому и применять модель для решения той или иной жизненной задачи допустимо только тогда, когда мы убедились, что не вышли за границы области адекватности.

Что значит найти границы адекватности данной модели? - необходимо установить, в каких пределах и как по отношению друг к другу могут меняться параметры модели, чтобы она оставалась адекватной Как находить границы адекватности модели? 1.Проведение натурного эксперимента 2.Проведение компьютерного эксперимента, опирающегося на общетеоретические положения

Неадекватность модели может проявляться: 1.В несоответствии результатов, полученных с помощью этой модели, практическим наблюдениям 2.В противоречии результатов, полученных с помощью этой модели, с теорией, справедливость которой доказана 3.Неадекватность модели всегда является следствием того, что при ее построении не были учтены какие-то существенные факторы Факторы, определяющие смену модели: 1.Возникновение противоречий с практикой в виде реальной деятельности человека 2.Возникновение противоречий с более общей теорией 3.Появление более совершенного языка описания моделей 4.Появление более мощных средств реализации моделей

Л/работа «Поиск границ адекватности модели» Цель: исследовать модель Неограниченного роста на адекватность Критерии адекватности: 1.Оценка адекватности погрешностью отклонения массы, рассчитанной по НОР, от массы, рассчитанной по модели ОР. Критерий отклонения: М(n) – M o (n) 10% 2.Найти функцию f(k,L), такую, что при n < f(k,L) модель НОР удовлетворяет сформулированному критерию адекватности Попытаемся определить, насколько мала должна быть исходная масса живых организмов по отношению к предельной массе, чтобы модель неограниченного роста оставалась адекватной в течение нескольких лет

Модель неограниченного роста Параметры модели Дано: М(0) – начальная масса живых организмов К – коэф. прироста n – время Найти: M(n) – массу живых организмов через n лет Связь: M(n+1) = (1 +k)·M(n) Модель ограниченного роста Параметры модели. Дано: М о (0) – начальная масса живых организмов К – коэффициет прироста L – предельное значение массы живых организмов a – коэффициент пропорциональности в формуле для коэффициента прироста n – время Найти: M о (n) – массу живых организмов через n лет Связь: M о (n) – вычисление массы в модели ограниченного роста. Т.к M о (0) = М(0) то, M о (1)=М(1). Но M о (2)

Зависимость границы адекватности n от k и L LKnВывод ,8 1, При уменьшении K граница n отодвигается (увеличивается) При увеличении L в 2 раза граница n отодвигается на 1 год, L образует геометрическую прогрессию относительно границы адекватности n, L= b·2 n-1, где b – коэфф-т, b=L/2 n-1 Но K(n)= a(L-M(n)) для n=0,1,2,3… L-M(n)=K(n)/a L=K(n)/a+M(n), т.е. участвует еще и К. При К=1 выполняется соотношение 2=1+К можно предположить, что L=b(1+K) n-1 b=L/(1+K) n-1 Нетрудно проверить, что b не зависит от К и при различных К значение b 8 Вывод: моделью НОР можно пользоваться с учетом погрешности в 10% при выполнении условия L 8(1+k) n

Решая показательное неравенство L 8(1+k) n-1, получим выражение для n, показывающее, как долго можно пользоваться моделью НОР при заданных К и L: существует функция f(k,L), определяющая границу адекватности модели Итак, с помощью ИТ: 1.Исследован характер зависимости между различными переменными 2.Выдвигаются и проверяются в компьютерном эксперименте гипотезы о формуле для этой зависимости

Этапы решения задач с помощью ЭВМ Результат адекватен Структура данных Жизненная задача Модель задачи Модель решения задачи Получение и анализ результатов Да Ответ Нет Отладка Изменение модели решения Уточнение задачи Исполнитель Естественный язык Формализованный язык Формальный язык

Компьютерные модели в задачах управления

Модель потребления возобновляемых ресурсов Целенаправленное воздействие на факторы динамической системы называется управлением этой системы Виды природных ресурсов: 1.Возобновляемые (леса) 2.Невозобновляемые (руда) Задача управления: Сколько леса можно рубить ежегодно, чтобы обеспечить его нормальное воспроизводство? Модель ограниченного роста – модель прироста растительной массы без вмешательства человека M(n) M(n+1) Модель потребления возобновляемых ресурсов M(n) M(n+1) R

Л/работа «Управление добычей возобновляемых ресурсов» Построение модели 1.Существенные факторы: Прирост массы живых организмов за единицу времени пропорционален уже имеющейся массе Существует некоторое предельное значение массы живых организмов Коэффициент прироста массы живых организмов k за ед. времени пропорционален разности между максимально возможным значением массы и массой, имеющейся к данному моменту времени Величина ежегодно изымаемого ресурса постоянна 2. Параметры модели. Дано: М(0) – начальная масса живых организмов L – предельное значение массы живых организмов a – коэффициент пропорциональности в формуле для коэффициента прироста n – время R – величина ежегодного потребления возобновляемого ресурса Найти: M(n) – количество ресурса через n лет 3. Связь:

RПриростМасса Кол-во лет для восстановления (R=Приросту) Вывод: В результате вычислительного эксперимента обнаружено явление саморегуляции и стремление системы к некоторому положению равновесия, т.к. информация с выхода снова поступает на вход системы