Топологические изоляторы и смежные вопросы Школа ИТЭФ М.В.Фейгельман ИТФ им. Л.Д.Ландау

План лекций Лекция 1 - Введение Что такое топологические изоляторы Известные экспериментальные объекты Эксперименты (ARPES, STM, электр.транспорт) Лекция 2 - Кое-что о теории - Топологические свойства зонных диэлектриков - Общая классификация топологических фаз - Связь с проблемами спиновой жидкости и p x +ip y сверхпроводящего состояния - Майорановские фермионы: как напасть на их след

Что такое топологич. изолятор - 1 Простейший пример: зонный диэлектрик (3-мерный или 2-мерный), образующий поверхностные проводящие состояния Обобщение: любая система со щелью в спектре в объёме, но безщелевыми состояниями на поверхности (например, сверхтекучий 3 He-B)

Предистория:

Гамильтониан поверхностных электронных состояний H = v 0 (-i - eA)σ + g eff σB зеемановский член двумерный градиент вдоль поверхности Щель в спектре пропорциональна g eff B z

Сравним с графеном: один «дираковский» фермион вместо 4- х в графене (там 2 долины и 2 проекции спина) Не работает теорема удвоения ! Псевдоспин из ур-ния Дирака – это «почти» реальный спин электрона (в графене – это индекс подрешеток, не связанный со спином) Поэтому магнитное поле поверхности открывает щель в спектре

Новая история: Science (2007)

Краевые состояния не имеют рассеяния назад M < 0 leads to surface anomaly

No back-scattering ! Спин однозначно связан с импульсом: p s |1>|1> |2> p s = 0 если нет явно спин- зависящего взаимодействия

Что такое топологич. изолятор - 2 Электродинамика с Ө -членом: Ө = π (2n+1) для сохранения Т-инвариантности exp(iS 3D )= (-1) n для интеграла по замкнутому пространству (изложение по материалу M. Franz, Physics 1, 36 (2008)

Что будет при Ө CONST ? топ. изолятор Ө=π простой изолятор Ө=0 Аномальные члены сидят на границе Т-инвариантность там нарушена

Магнито-электрический эффект Кроме того, эффект Керра – вращение плоскости поляризации отраженного света

Dynamical Axion Field in Topological Magnetic Insulators R. Li, J. Wang, X. Qi, S.-C. Zhang R. LiJ. WangX. QiS.-C. Zhang Axions are very light, very weakly interacting particles postulated more than 30 years ago in the context of the Standard Model of particle physics. Their existence could explain the missing dark matter of the universe. However, despite intensive searches, they have yet to be detected. In this work, we show that magnetic fluctuations of topological insulators couple to the electromagnetic fields exactly like the axions, and propose several experiments to detect this dynamical axion field. In particular, we show that the axion coupling enables a nonlinear modulation of the electromagnetic field, leading to attenuated total reflection. We propose a novel optical modulators device based on this principle. Arxiv:

Объекты, известные как Топологические Изоляторы или Топ. Сверхпроводники 2D: HgTe (квантовые ямы с 2D электронами) 3D: Bi 1-x Sb x Bi 2 Se 3 Bi 2 Te 3 Tl Bi Se 2 3 He-B Н.Копнин et al J.LowTemp.Phys. 85, 267 (1991) Г.Воловик Письма ЖЭТФ 90, 440 (2009). Topological superfluid 3 He-B: fermion zero modes on interfaces and in the vortex core M.A. Silaev, G.E. Volovik arXiv: M.A. SilaevG.E. Volovik arXiv:

Эксперименты ARPES

arXiv:

Band structure calculation

Large Gap Topological Insulator Bi2Te3 with a Single Dirac Cone on the Surface Y. L. Chen, J. G. Analytis, J. H. Chu, Z. K. Liu, S. K. Mo, X. L. Qi, H. J. Zhang, D. H. Lu, X. Dai, Z. Fang, S. C. Zhang, I. R. Fisher, Z. Hussain, Z. X. Shen Y. L. ChenJ. G. AnalytisJ. H. ChuZ. K. LiuS. K. MoX. L. QiH. J. ZhangD. H. LuX. DaiZ. Fang S. C. ZhangI. R. FisherZ. HussainZ. X. Shen arXiv:

Nature Phys. 6, 584 (2010)

Phys Rev B 82, (2010)

Транспортные эксперименты Aharonov-Bohm interference in topological insulator nanoribbons Hailin PengHailin Peng, Keji Lai, Desheng Kong, Stefan Meister, Yulin Chen,Keji LaiDesheng KongStefan MeisterYulin Chen Xiao-Liang Qi, Shou-Cheng Zhang, Zhi-Xun Shen, Yi CuiXiao-Liang QiShou-Cheng ZhangZhi-Xun ShenYi Cui arXiv: Giant magnetic fingerprint in non-metallic Bi2Se3 J.Checkelsky et al arXiv: arXiv: Superconductivity in CuxBi2Se3 and its implications for pairing in the undoped topological insulator Y. S. Hor, A. J. Williams, J. G. Checkelsky,Y. S. HorA. J. WilliamsJ. G. Checkelsky P. RoushanP. Roushan, J. Seo, Q. Xu, H. W. Zandbergen, A. Yazdani, N. P. Ong, R. J. CavaJ. SeoQ. XuH. W. ZandbergenA. YazdaniN. P. OngR. J. Cava arXiv: Nonlocal transport in quantum spin-Hall state in HgTe quantum well

Phase and period of oscillations ? J.Bardarson, P.Brouwer and J. Moore Phys Rev Lett 105, (2010)

Very thin crystals arXiv:

Лекция 2. Теория Топологические свойства зонных диэлектриков Общая классификация возможных топологических фаз в размерностях d=1,2,3 Связь с проблемами спиновой жидкости и p x +ip y сверхпроводящего состояния Майорановские фермионы: как напасть на их след

Теория зонных ТИ Общая топологическая классификация Топологические калибровочные теории Arxiv:

Phys Rev B 76, (2007) 75, (2006) 2D:

Непрерывный предел: 0< m +2

Dimensional reduction приводит к сумме 1D членов = integer

Магнитоэлектрический эффект в присутствии щели на пов-сти Для бесщелевой поверхности выведено эффективное действие с дираковскими фермионами

Singe Dirac point on the sphere Как это совместить с открытием щели в тонкой пластинке ?

Туннель для связи с антиподами Тонкая бесконечная пластинка ТИ На верхней и нижней поверхностях живут дираковские электроны (как в графене, но нет 4-вырождения) Yi ZhangYi Zhang, Ying Ran, Ashvin Vishwanath arxiv: Ying RanAshvin Vishwanath Сквозной туннель радиуса R содержит на внутренней поверхности состояния со спектром n = m + ½ - (Φ/Φ 0 ) m – целое число

General classification: A.Kitaev, A.Ludwig et al

Connections to spin-liquids and p+ip superconductors Основы: Недавние работы Phys. Rev. B 79, (R) (2009) Exactly solvable pairing model for superconductors with p x +ip y -wave symmetry M. IbañezM. Ibañez, Jon Links, G. Sierra, and S.-Y. ZhaoJon LinksG. SierraS.-Y. Zhao Gauge symmetry in Kitaev-type spin models and index theorems on odd manifolds Yue Yu arXiv: Nucl. Phys. B 799, 345 (2008)Yue Yu

All productscommute with H Majorana representation

single Dirac fermion mode!

B-phase can be made gapful 1) Including of magnetic field, or NNN fermionic couplings (Kitaev 2006) 2) Going to decorated honeycomb lattice (Yao-Kivelson 2007) Chern number

Critical point Transition is between topological insulator and trivial insulator Similar transition was predicted by Read & Green for p-wave superconductors

Майорановские состояния в центрах сверхпроводящих вихрей и неабелева обменная статистика D.A.Ivanov PRL vortices: Non-Ab trans.

Superconducting Proximity Effect and Majorana Fermions at the Surface of a Topological Insulator Phys. Rev. Lett. 100, (2008) L. Fu and C. L. KaneL. FuC. L. Kane Bi 2 Se 3 Nb Chiral states

Аналогия (неполная) с p x +ip y сверхпроводником H = Time-reversal operator original fermions chiral fermions Due to phase factors the current Hamiltonian (1) is T-inv. whereas p x +ip y superconductor breaks T-invariance (1)

Сверхпроводящий эффект близости на поверхности ТИ С учетом примесного рассеяния на поверхности, которое не должно приводить к распариванию (из-за того, что T-инвариантность не нарушена) Nb Зависимость I c (L,T) - способ измерить коэфф. диффузии поверхностных состояний Эксперимент B.Sacepe et al – джозеф. ток на поверхности

Индуцированная сверхпроводимость и майорановские состояния Superconducting Proximity Effect and Majorana Fermions at the Surface of a Topological Insulator Phys. Rev. Lett. 100, (2008) L. Fu and C. L. KaneL. FuC. L. Kane Они же: arXiv: , arXiv: Phys. Rev. Lett. 102, (2009) Electrically Detected Interferometry of Majorana Fermions in a Topological Insulator A. R. Akhmerov, Johan Nilsson, and C. W. J. Beenakker A. R. AkhmerovJohan NilssonC. W. J. Beenakker Manipulation of Majorana fermion, Andreev reflection and Josephson current on topological insulators Yukio Tanaka, Takehito Yokoyama, Naoto Nagaosa arXiv: Yukio Tanaka Takehito YokoyamaNaoto Nagaosa Majorana Fermion Induced Resonant Andreev Reflection K. T. Law, Patrick A. Lee, T. K. Ng arXiv: K. T. LawPatrick A. LeeT. K. Ng arXiv: Detecting Majorana bound states induced by a topological insulator Colin Benjamin, Jiannis K. Pachos arXiv: Colin BenjaminJiannis K. Pachos

(PRL, 2011) Parity of the Ground State changes odd number of times while phase φ rotates by 2π whereas fermion parity conserves The result: 4π – periodic Josephson current