1 Обратные и некорректные задачи в экспериментальной физике д.ф.-м.н. Пикалов Валерий Владимирович, ИТПМ СО РАН, Новосибирск -- Избранные задачи томографии. Трехмерная рентгеновская эмиссионная томография. Томография рентгеновского и видимого диапазонов. Оптическая микротомография живых клеток крови человека. -- Томография в фазовом пространстве: спектро- томография (двумерная спектроскопия), хроно- томография (быстропротекающие процессы), доплеровская томография в пространстве скоростей. Локальная и глобальная томография: извлечение структур, изображения Вайнберга и Фаридани. Вычислительная томография: от анализа изображений к компьютерному видению.
2
3
4
5 Медицинская томография The Visible Human Project CT Scans Prior to Freezing visible/fresh_ct.html Specimen from the Visible Human Male - Head subset Thorax subset Abdomen subset Pelvis subset Feet subset
6 Преобразование Радона:
7 Обратное преобразование Радона Обратное проецирование с фильтрацией (ОПФ) Фильтр Шеппа-Логана - аппроксимация обратного преобразования Фурье фильтра | |.
8 Некоторые проблемы экспериментальной физической томографии малое число углов наблюдения (проекций) малое число детекторов на проекцию проблема ограниченного углового диапазона отсеченные проекции время сбора данных (приложения реального времени) шумы (разной природы) аппаратурные искажения оптическая плотность объекта непрозрачные включения.
9 Схема регистрации проекций в эмиссионной томографии
10 Tomographic reconstruction method of gas density distribution by fast electron beam attenuation measurements is developed. Measurements and reconstructions are done for symmetric and asymmetric blunted cones with rarefied hypersonic (Mach number = 21) air flows around it. Examples of plasma tomography
11 ART: Выбор параметра : ||Ag - f|| 2 = 2 ; i+1 = n/(g i, g i ); Метод статистической регуляризации: Другой итерационный метод
12 Обратное преобразование Абеля (одномерная томография) Обратное преобразование Радона (двумерный случай) Интегральное уравнение Абеля Норвежский математик Нильс Хенрик Абель ( )
13 Список литературы [1] Сайт группы Вычислительной томографии, Институт теоретической и прикладной механики им. С.А.Христиановича СО РАН : [2] Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Вычислительная томография и физический эксперимент. // УФН Т.141. No.3. -С [3] Пикалов В.В., Мельникова Т.С. Томография плазмы. Новосибирск: Наука [4] Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. -Новосибирск: Наука, [5] Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. - Новосибирск: Наука, [6] Vishnyakov G.N., Levin G.G., Minaev V.L., Pickalov V.V., Likhachev A.V. Tomographic interference microscopy of living cells. // Microscopy and Analysis (UK) Vol.18. No.1. -P [7] Пикалов В.В., Непомнящий А.В. Итерационный алгоритм с вэйвлет-фильтрацией в задаче двумерной томографии. // Вычислительные методы и программирование Т.4. No.2. -С
14 Часть II -- Избранные задачи томографии. Трехмерная рентгеновская эмиссионная томография. Томография рентгеновского и видимого диапазонов. Оптическая микротомография живых клеток крови человека.
15 Преобразование Радона:
16 Интегральное уравнение первого рода: S(t) = K(t,s) F(s) ds Прибор: линейная аппаратная функция F(t) Неизвестное воздействие Измеренный сигнал S(t)S(t) K(t)K(t) Более общая операторная связь: S = KF Уравнение свертки – инвариантность к сдвигу: S(t) = K(t-s) F(s) ds
17 Априорная информация: условия совместности проекций (их моменты); ограничения на томограмму и синограмму (положительность, оценка шума...)
18 The number of iterations Error = 5.05%. The number of iterations is 6. Error = 7.20%. Small line is reconstructed unsatisfactory.
19 Parameters of this series of reconstruction (axis for wave length X is taken as [-1,1] range): K_width = 0.25 (red line); Exact spectrum is a sum of three gaussians(green line): First Line from left: G_ampl = 0.3; G_x0 = -0.4; G_width = 0.1; Second Line: G_ampl = 1.0; G_x0 = -0.1; G_width = 0.2; Third Line: G_ampl = 0.9; G_x0 = 0.2; G_width = 0.3;. Blue line is a signal - result of convolution between red and green lines. Black line is the result of solution of inverse problem by software package Topas-Micro
20 Here the number of measurements is 3 times less, than the number of reconstructed points in spectrum (e.g. that is very underdetermined problem!). The number of iterations is 555. Error = 1.05%.
21 Исходное изображение Lena(512 x 512 пикселей). Свертка с прямоугольным ядром (горизонтальный смаз), ширина ядра – 77 пикселей (15% диаметра области). Восстановление изображения методом ART, первые 276 строк (левое) и полное – 512 строк. Параметры: 150 итераций, =0.15, положительность решения, 1 = 4-11%, без шума, время счета – 12 мин 55 сек (P-IV – 1800 MHz).
22 Fig.1. Schematic set-up of the plasma test – the reactor with a triangular test substrate for tomographic measurements
23 Томограммы простого фантома: осесимметричная гауссиана
24 Реконструкция гладких фантомов
25
26
27
28 Эллиптические изолинии порядка n Интегральное уравнение первого рода: его инверсия Данный подход обобщается и на изолинии произвольной формы
29
30 Двухракурсная томография: точное решение
31 One-projection tomography, 3D object 2. Torus tangential view Balandin A., Fuchs G., Pickalov V., Rapp J., Soltwisch H. Vector tomography of plasmas using Faraday rotation. // Computerized tomography. -Utrecht: VSP, P
32 Three-dimensional emission tomography of tokomak plasmas with a single tangentially viewing camera Model and its projections
33 Rays traces for different transforms (1.0, 1.5, 2.0):
34 Reconstruction (1.5):
35 Tomographical spectroscopy. Numerical simulations: Variations of cameras' number Model of complicated impurities' distribution Reconstruction by MENT algorithm (from Topas-Micro software package), Tomogram 101x101, 101 detectors for each camera, noise level in projections = 3%; 12 iterations
36 6 views Reconstructed and exact tomograms:
37 Реконструкция трехмерных структур лимфоцитов и эритроцитов методами фазовой микроскопии видимого диапазона Томографический микро-интерферометр
38 Erythrocyte: Collection (D) of 18 projections for the reconstruction (Rotation around horizontal axis). Each frame is scaled to its own maximum (Frames are marked by relative angle, from 27 to 61 degree, with 2 degree step; )
39
40 Изоповерхности лимфоцита Topas-Micro (5) Java-анимация:
41 Topas-Micro (6) Трехмерная оптическая микротомография клеток крови: лимфоцит Вишняков Г.Н., Левин Г.Г., Лихачев А.В., Пикалов В.В. Фазовая томография трехмерных биологических микрообъектов: численное моделирование и экспериментальные результаты. // Опт. спектр Т.87. No.3. -С (визуализация ИАиЭ, лаб. Долговесова Б.С.)
42 Tomography reconstruction of erythrocyte Eighteen equatorial projections placed each 2 o in the interval[-18 o ; 16 o ] have been chosen for the tomography reconstruction of the erythrocyte (scheme 3). The algorithms ART, cART, and GP3Dm have been used for the reconstruction. Levin G.G., Vishnyakov G. N., Zakarian C. S., Likhachov A.V., Pickalov V.V., Kozinets G.I., Novoderzhkina J.K., Streletskaya E.A. Three-dimensional limited-angle microtomography of blood cells: experimental results. // Three-Dimensional and Multidimensional Microscopy: Image Acquisition and Processing V. SPIE Proceedings, 1998, Vol. 3261, pp
43 Exact model and its tomographic reconstruction from 3 projections (noise 5%, method cART, error=15.5%). CCDCCD R=100 mm L=1645 mm R R L Three 2-D projections of model emission object Real experiment: 3-D ultra-violet emission tomography. Different time slices of 3-D reconstructions of flames structure (three- views tomography). Tree-views scheme of emission measurements
44 Topas-Micro (8)
45 Список литературы [1] Сайт группы Вычислительной томографии, Институт теоретической и прикладной механики им. С.А.Христиановича СО РАН : [2] Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Вычислительная томография и физический эксперимент. // УФН Т.141. No.3. -С [3] Пикалов В.В., Мельникова Т.С. Томография плазмы. Новосибирск: Наука [4] Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. -Новосибирск: Наука, [5] Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. - Новосибирск: Наука, [6] Vishnyakov G.N., Levin G.G., Minaev V.L., Pickalov V.V., Likhachev A.V. Tomographic interference microscopy of living cells. // Microscopy and Analysis (UK) Vol.18. No.1. -P [7] Пикалов В.В., Непомнящий А.В. Итерационный алгоритм с вэйвлет-фильтрацией в задаче двумерной томографии. // Вычислительные методы и программирование Т.4. No.2. -С
46 Часть III -- Томография в фазовом пространстве: спектро-томография (двумерная спектроскопия), хроно-томография (быстропротекающие процессы), доплеровская томография в пространстве скоростей. Локальная и глобальная томография: извлечение структур, изображения Вайнберга и Фаридани. Вычислительная томография: от анализа изображений к компьютерному видению.
47 Levin G.G., Vishnyakov G.N. On the possibilities of chronotomography of high speed processes. // Optics Communications Vol.56. No.4. -P
48 Хронотомография Согласно рассматриваемой схеме излучение от изменяющегося во времени объекта 1, сформированное в квазипараллельный пучок объективом 2, направляют на мультиплицирующую систему, В данном случае ее роль играют два полупрозрачных зеркала 3, 4, которые разделяют пучок по трем каналам. В первом (I) канале излучение, пройдя глухое зеркало 5 и промежуточный объектив 6, поступает в регистратор 7, с помощью которого осуществляет взаимный сдвиг изображения объекта и регистрирующей среды, например, путем задания скорости вращения зеркала фотохронографа V 1. Таким образом получают промежуточные изображения объекта. Во втором (II) канале излучение на регистратор 9 направляют с помощью промежуточного объектива 8. Регистратором 9 осуществляют сдвиг изображения, например, путем задания скорости вращения зеркала фотохронографа V 2. В третьем (III) канале излучение на регистратор 12 направляют с помощью глухого зеркала 10 и промежуточного объектива 11. В регистраторе 12 задается скорость вращения зеркала V 3. Различные режимы работы регистраторов 7, 9, 12 обеспечивают получение различных значений вектора сдвига изображений объекта относительно регистрирующей среды. В данной схеме возможно также получение различных значений вектора сдвига изображений объекта относительно регистрирующей среды и другими путями, например путем задания масштабов изображений или их поворотов, различающимися от канала к каналу. Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. Оптическая томография. -М.: Радио и связь, с.
49 обобщение на спектротомографию … хронотомографическая проекция:
50 Doppler tomography V1V1 V2V2 V3V3 Определение функции распределения ионов по скоростям с использованием проявления эффекта Доплера в их излучении. Poluektov N.P., Efremov N.P. New tomographic approach for deconvolution of ion velocity and temperature profiles in a plasma centrifuge. // J. Phys. D: Appl. Phys Vol.31. No.8. -P x y z - трехмерное преобразование Радона Инверсия:
51 Continuous Wavelet Transform Mexican Hat Wavelet Wavelet Power Spectrum The correspondence between frequency and wavelet scale: Wavelet necessary features: 1) Localization (in t- and k-spaces) 2) Zero moments 3) Admissibility condition
52 Дискретное вэйвлет-преобразование модельного сигнала с помощью вэйвлета Хаара
53 Дискретное вэйвлет-преобразование модельного сигнала с помощью вэйвлета Добеши
54 Первые четыре масштабирующих функции (толстая линия) и соответствующие вэйвлеты (пунктир) из семейства Добеши.
55 Multiscale analysis of tomogram with wavelet transform of projection data Radon transform of the convolution (convolution theorem) Scale parameters of analyzing wavelet: 1=0.25, 2=0.15, 3= 0.1, 4=0.05, 5=0.01, 6=0.005
56 Test image Lena Projections 256 x 361, before CWT Reconstruction, CWT, MHAT-006
57 Supersonic jet flow Projections, MHAT-0.04, 0.02 Reconstruction, , positiveness
58 Дискретное вэйвлет-преобразованиеКратномасштабный анализ Быстрое вэйвлет-преобразование есть о.н.б. в
59
60 Фантом (слой 32)ART-реконструкция Разложение реконструкции в базисе D20 (A1, D1-D5) Фантом (слой 46) ART-реконструкция, σ=1% (Δ=17%) A4 (Δ=15%)
61 Comparative description of some approaches in local 2D-tomography Phantom itself and its interior region. Vainberg image Faridani image Continuous wavelet transform
62 Vainberg image Faridani image Local continuous wavelet coefficients (α=0.002) Reconstruction from filtered (D7) projections (DWT/IDWT) Reconstructions from noiseless projections
63 Reconstructions from noisy projections (σ=2%) Vainberg imageFaridani image Local continuous wavelet coefficients (α=0.002) Reconstruction from filtered (A5) projections (DWT/IDWT)
64 Filtered projections (D7) Reconstruction (D7) Filtered projections (A6)Reconstruction (A6), Δ=15% 256*256= *256 = (201*256)/2=25728
65 2D Tomographic Reconstruction Using Neumann Decomposition with Wavelet Filtering. exact tomogram, projection data, linear integral of along lines: wavelet filtering operator, approximate inverse Radon transform operator, relaxation parameter, reconstruction on i-th iteration, residual on i-th iteration Пикалов В.В., Непомнящий А.В. Итерационный алгоритм с вэйвлет-фильтрацией в задаче двумерной томографии. // Вычислительные методы и программирование Т.4. No.2. -С
66 Iterative tomogram reconstruction with wavelet filtering Reconstruction: =0.002,s 0 =4,s i =6.SL2 (rms=137%) rms=32% (300th iter) Iterations : Model: Nx, Ny, N = 128, K = 7, without noise
67 Reconstructions of Model 1 from noisy projections (K=6). Noise level σ=10% (proportional). a) MENT, Ni=50, Δ=7%, b) GP, Ni=50, Δ=10%, c) FBP, Δ=16%, d) NDWF, Ni=50, Δ=7%. Reconstructions of Model 2 from noisy projections (K=6). Noise level σ=10% (range). a) MENT, Ni=100, Δ=81%, b) GP, Ni=50, Δ=92%, c) FBP, Δ=97%, d) NDWF, Ni=50, Δ=83%.
68 Dependence of reconstruction error on number of iteration for MENT, GP, NDWF (no noise, K=6): a) gaussian, b) ring
69 Модель 53 пакета Topas-Micro, композиция из основных элементарных двумерных фантомов пакета.
70 Эллиптическая повернутая гауссиана Томограмма : Синограмма :
71 Парабола (1) с эллиптическим носителем Томограмма : Синограмма :
72 Парабола (1/2) с эллиптическим носителем Томограмма : Синограмма :
73 Парабола (3/2) с эллиптическим носителем Томограмма : Синограмма :
74 Ступенька с эллиптическим носителем Томограмма : Синограмма :
75 Конус с эллиптическим носителем Томограмма : Синограмма :
76 Model No.53 and its gradient module.
77 Model No.53 and its gradient module.
78 Список литературы [1] Сайт группы Вычислительной томографии, Институт теоретической и прикладной механики им. С.А.Христиановича СО РАН : [2] Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Вычислительная томография и физический эксперимент. // УФН Т.141. No.3. -С [3] Пикалов В.В., Мельникова Т.С. Томография плазмы. Новосибирск: Наука [4] Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. -Новосибирск: Наука, [5] Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. - Новосибирск: Наука, [6] Vishnyakov G.N., Levin G.G., Minaev V.L., Pickalov V.V., Likhachev A.V. Tomographic interference microscopy of living cells. // Microscopy and Analysis (UK) Vol.18. No.1. -P [7] Пикалов В.В., Непомнящий А.В. Итерационный алгоритм с вэйвлет-фильтрацией в задаче двумерной томографии. // Вычислительные методы и программирование Т.4. No.2. -С
79
80 Центральная теорема томографии: теорема о центральном сечении
81
82