Лекция 7

Статистические характеристики огибающей суммы гармонического сигнала и узкополосного шума

Пусть на входе радиотехнического устройства присутствует сумма узкополосного нормального шума и и детерминированного гармонического сигнала : Очевидно, что

Плотность распределения вероятностей синфазной и квадратурной составляющих Переходя к новым переменным, получаем (якобиан преобразования равен ):

Чтобы получить одномерную ПРВ огибающей,надо проинтегрировать выражение для по фазе: Т.е. это выражение носит название закона Раиса

Плотность распределения вероятности огибающей суммы гармонического сигнала и нормального шума

При отсутствии детерминированного гармонического сигнала, т.е. при из выражения получим закон Рэлея. При больших значениях ПРВ огибающей стремится к нормальной с дисперсией равной, и матожиданием.

Одномерное распределение фазы можно получить проинтегрировав выражение где - интеграл вероятности.

Плотность вероятности фазы Плотность распределения вероятности фаз суммы гармонического сигнала и нормального узкополосного шума

При больших соотношениях сигнал/шум распределение фаз стремится к нормальному с дисперсией : распределение фаз стремится к нормальному с дисперсией :

Несколько сложнее получить соотношение для мгновенной частоты. Частота – это производная от фазы, можно получить четырехмерную плотность для огибающей, фазы и их производных: здесь

Одномерная ПРВ производной от фазы После интегрирования формула приобретет вид: где

Здесь - мгновенная частота. Показана зависимость для разных отношений сигнал/шум. При большом сигнале ПРВ стремится к нормальной с дисперсией.

Линейное и квадратичное детектирование смеси нормального случайного процесса и гармонического сигнала

Линейный и квадратичный детекторы выделяют огибающую сигнала и ее квадрат. Непосредственное исследование системы "нелинейный элемент-инерционный элемент (фильтр) достаточно сложно, поэтому ограничимся сравнением статистических характеристик огибающей и ее квадрата. Матожидание и дисперсия определяются следующими выражениями:

Воспользовавшись асимптотическими представлениями Бесселевых функций, получим Если

Из выражений видно, что при слабых сигналах ( ) и растут пропорционально среднеквадратическому отклонению шума, а при больших значениях сигнала, - пропорционально амплитуде сигнала, а - дисперсия (практически постоянна). Эти зависимости показаны далее.

Зависимость среднего и среднеквадратического отклонения огибающей от отношения сигнал/шум

Таким образом, при малых значениях амплитуды на огибающую большее влияние оказывает значение шума, при больших значениях отношения сигнал/шум большее влияние на огибающую оказывает амплитуда гармонического сигнала. Если провести такие же преобразования для квадрата огибающей, то можно получить матожидание и среднеквадратическое отклонение для квадратичного детектора: Эти зависимости показаны далее.

Зависимость среднего и среднеквадратического отклонения квадрата огибающей от отношения сигнал/шум Таким образом, зависимости для квадратического детектора похожи на зависимости для линейного в режиме малого сигнала.