Представление числовой информации с помощью систем счисления

Система счисления это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков. Основание – это количество цифр используемых системой счисления. Основание – это количество цифр используемых системой счисления.

Позиционные Непозиционные XXX десять 222 две два две сотни десятка единицы Различные системы счисления делятся на две группы: позиционные и непозиционные. Система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа. Система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа. Система счисления, в которой значение цифры зависит от ее позиции в записи числа. десять

Непозиционные системы Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …) Использовалась в древности (10-11 тыс.лет до н.э.). Для записи чисел применялся только один символ – палочка. Неудобства: громоздкая запись, большая вероятность ошибки. В дальнейшем люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. И при записи стали использовать знаки, соответствующие группе из нескольких предметов.

Древнеегипетская десятичная (непозиционная) Возникла во второй половине 3 тыс. до н.э. Для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки – иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Например, для изображения числа 3252 рисовали три цветка лотоса (3 000), два свернутых пальмовых листа (200), пять дуг (50) и два шеста (2). Причем знаки можно было записывать сверху вниз, справа налево, вперемежку.

В старину на Руси широко применялись системы счисления, напоминающие систему Древнего Египта. Звезда – тысяча рублей Колесо – сто рублей Квадрат – десять рублей Х - рубль |- копейку.

Славянская система счисления алфавитная система счисления (непозиционная) Более совершенные непозиционные с/с. К их числу относились славянская, греческая, финикийская и др. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 10 до 900) обозначались буквами алфавита. В России славянская нумерация сохранилась до конца 17 века. При Петре I возобладала арабская нумерация, которой пользуемся до сих пор. Греки над буквами, обозначающими числа, ставили специальный знак – титло.

Римская система счисления Знакомая нам римская система принципиально ненамного отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, С, D и М (соответственно), являющиеся «цифрами» этой системы счисления. Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр».

Римская система счисления Правила: (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!) Примеры: MDCXLIV = – – = = M M C C C L X X X I X M CCCLXXXIX = 1644

Десятичная (позиционная) Современная десятичная система нумерации возникла на основе индийской. Такая с/с дает принципиальную возможность записывать сколь угодно большие числа. Запись компактна и удобна для арифметических операций. В 10 веке десятичная система доходит до Испании, в начале 12в. она появляется и в других странах Европы. Она получила название арабской, потому что в Европе с ней познакомились впервые по латинским переводам с арабского. С введением десятичных дробей десятичная система стала универсальным средством для записи всех действительных чисел.

Система счисленияОснованиеАлфавит цифр Десятичная100, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Двоичная20, 1 Позиционные системы счисления Десятичная система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): 10 Другие позиционные системы: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) двадцатеричная (1 франк = 20 су) шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

Пример 1. Свернутая форма Х 10 =673,49 10 Развернутая форма , = 6* * * * * =6*100+7*10+3*1+0,4+0,09=673,49 10

Пример 2. Свернутая форма Х 10 =101,11 2 Развернутая форма ,11 2 = 1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 +1* * 2 -2 = /2+1/4=5,75 10

Записать в развернутой форме следующие числа , , , A5B0F,5E , , ,1 4

Записать в свернутой форме 1. 4· · · · · ·2 5 +1·2 4 +1·2 3 +0· ·2 1 +1·2 0 +1· · · · · · · ·5 4 +3· · · · · ·5 -2

Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Представим число записанное в десятичной системе счисления в позиционных системах счисления: двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной = А = А = А 16

Представим число в двоичной системе счисления: Ответ : =

Представим число в восьмеричной системе счисления: Ответ: = 1038

Представим число в шестнадцатеричной системе счисления: Ответ: = 5B16

Правила перевода Из десятичной системы счисления в позиционные системы счисления: Разделить десятичное число на основание системы счисления. Получится частное и остаток. Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим основания новой системы счисления. Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет записью в новой системы счисления.

Перевод дробных чисел Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой С.С. до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность; полученные целые части произведения привести в соответствие с алфавитом новой С.С. ; составить дробную часть числа в новой С.С., начиная с целой части первого произведения. PqPq A 10

Перевод чисел в десятичную систему счисления из любой другой

P q A 10 Представить число в развернутом виде и вычислить полученное выражение

Представим число в десятичной системе счисления: Ответ: = = =

Представим число в десятичной системе счисления: Ответ: = = = =231 10

Представим число A7В 16 в десятичной системе счисления: Ответ: А7В16 = А7В 16 = 10* * *16 0 = =

Переведите число из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные действия , Закрепление пройденного материала

Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные действия , ,41 8 АВС 16 1DE,C8 16

Итоги урока. Что нового узнали для себя на уроке, и что вам уже было знакомо? Каково ваше представление о числах сейчас, когда вы узнали о существовании других СС? Какие моменты вам были не понятны?

Домашнее задание. п (учебник «Информатика и ИКТ», 9 класс, Н.Д. Угринович), читать, ответить на вопросы, выучить определение СС; 3,1 – 3,5 ответить на вопросы в конце параграфа.