1 Бондаренко А.Ю., Туманьян Ю.А.

2 На лекции 1) вспомним, что понимают в механике под терми- ном «статика»; 2) дадим понятие абсолютно твердого тела; 3) определим, что понимают под равновесием тела; 4) сформулируем условие равновесия невращаю- шихся тел; 5) введя в рассмотрение момент силы относитель- но оси, сформулируем условие равновесия вращаю- щихся тел; 6) выясним общее условие равновесия тел. Знания, полученные на лекции, закрепим, решая задачи, в которых рассматриваются тела, находя- щиеся в равновесии.

3 ОСНОВЫ СТАТИКИ Часть механики, в которой изучает- ся равновесие тел под действием сил, называется статикой. Основная задача статики - изучение условий равновесия. На этой лекции будем рассматривать равновесие абсолютно твёрдых тел.

4 Абсолютно твёрдым телом называ- ют тело, деформациями которого в данных условиях можно пренебречь.

5 Абсолютно твёрдым телом называ- ют тело, деформациями которого в данных условиях можно пренебречь. Любое движение абсолютно твёрдого тела можно разложить на два вида движения – поступательное и вращательное.

6 Пример поступательного движения

7 Пример поступательного движения

8 Пример поступательного движения

9

10 О1О1 О2О2

11 О1О1 О2О2

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49 Под равновесием тела понимают его состояние, при котором не изменяются ни поступательное, ни вращательное движения тела.

50 Равновесие тел при отсутствии вращения

51 Равновесие тел при отсутствии вращения Пусть на тело массой m, которое не вращается, дей- ствуют силы F 1, F 2, F 3,..., F n, причём F 1 + F 2 + F 3 + … + F n = O. Тогда, согласно второму закону Ньютона, равно нулю и произведение ma ( a – ускорение тела ), то есть ma = 0. Из этого равенства следует, что а = 0. Значит, скорость всех точек тела не изменяется, следователь- но, тело находится в состоянии равновесия.

52 Вывод: тело, которое может совершать только поступательное движение, находится в равновесии, если равна нулю геомет- рическая сумма сил, приложенных к телу, т.е. F 1 +F 2 +F F n = О. (1) Это и есть условие равновесия невра- щающегося тела.

53 Примеры равновесия невращающихся тел

54 Примеры равновесия невращающихся тел mg

55 Примеры равновесия невращающихся тел mg N

56 Примеры равновесия невращающихся тел mg N mg + N = 0

57 1 F C1 FTFT F C1 < F T ; модуль скорости груза увеличивается..

F C1 FTFT F C2 FTFT F C1 < F T ; модуль скорости груза увеличивается. F C2 > F T ; модуль скорости груза уменьшается.

F C1 FTFT F C2 FTFT F C3 FTFT F C1 < F T ; модуль скорости груза увеличивается. F C2 > F T ; модуль скорости груза уменьшается. F C3 = F T ; F T + F C3 = 0 ; скорость груза постоянна и по модулю стала значительно меньше ( несколько м/с ).

F C1 FTFT F C2 FTFT F C3 FTFT F C1 < F T ; модуль скорости груза увеличивается. F C2 > F T ; модуль скорости груза уменьшается. F C3 = F T ; F T + F C3 = 0 ; скорость груза постоянна и по модулю стала значительно меньше ( несколько м/с ). На 3 участке груз находится в равновесии.

61 Тело, которое может совершать только поступа- тельное движение, находится в равновесии,если равна нулю геометрическая сумма сил, прило- женных к телу, т.е. F 1 + F 2 +F F n = 0. (1) Если геометрическая сумма сил равна нулю, то и сумма проекций этих сил на любую ось тоже равна нулю. Поэтому условие равновесия невращающегося тела можно сформулировать ещё так: Тело, которое может совершать только посту- пательное движение, находится в равновесии, если равна нулю сумма проекций приложенных к телу сил на любую ось.

62 Будет ли тело, которое может вращаться вокруг закреплённой оси, находиться в равновесии, если выполняется условие (1) ?

63 F1F1 F2F2 F 1 +F 2 = 0

64 F1F1 F2F2 F 1 + F 2 = 0 mg N mg + N = 0

65 F1F1 F2F2 F 1 + F 2 = 0 mg N mg + N = 0 mg + N + F 1 + F 2 = 0

66 Будет ли круг находиться в равновесии ?

67 F1F1 F2F2

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103 F1F1 F2F2

104 Вывод: условие равновесия для невращающегося тела недостаточно для вращающегося. Нужно ещё дополнительное условие, касающееся расположения сил.

Равновесие тел с закреплённой осью вращения. Момент силы относительно оси вращения

Пусть тело располагается на плоскости, параллельной поверхности Земли, и может поворачиваться вокруг неподвижной оси. Сила тяжести тела уравновешена силой реакции опоры. Кроме того, на тело действуют F 1, F 2, F 3, у которых линии действия проходят через ось вращения.

107 F3F3. О F1F1 F2F2 Равновесие тел с закреплённой осью вращения.Момент силы относительно оси вращения. О

108. F3F3 F1F1 F2F2 О. О Силы F 1, F 2, F 3 уравновешены силами реакции оси. Ни одна из сил F 1, F 2, F 3, линия действия которой про- ходит через ось вращения, не вызовет поворот тела.

109 F1F1 О

110 F1F1 О Сила F 1 стремится повернуть тело против часовой стрелки.

111 F1F1 О

112 О

113 О

114 О

115 О

116 О

117 О

118 О

119 О

120 О

121 О

122 О

123 О

124 О

125 О

126 О

127 О

128 О

129 О

130 О

131 О

132 О

133 О

134 О

135 О

136 О

137 О

138 О

139 О

140 О

141 О

142 О

143 О

144 О

145 О

146 О

147 F1F1 О

148 F2F2 О

149 F2F2 О Сила F 2 стремится повернуть тело по часовой стрелке.

150 F2F2 О

151 О

152 О

153 О

154 О

155 О

156 О

157 О

158 О

159 О

160 О

161 О

162 О

163 О

164 О

165 О

166 О

167 О

168 О

169 О

170 О

171 О

172 О

173 О

174 О

175 О

176 О

177 О

178 О

179 О

180 О

181 О

182 О

183 О

184 О

185 О

186 F2F2 О

187 F2F2 F1F1 О d1d1 d2d2

188 F2F2 F1F1 О Сила F 1 стремится повернуть тело против часовой стрелки, а сила F 2, модуль которой явно больше, по часовой стрелке. Но тело покоится. Значит, у этих неодинаковых сил одинаковое так называемое «вра- щающее действие». _ _

189 F2F2 F1F1 О d1d1 d2d2 У этих неодинаковых сил одинаковое так называемое «вращающее действие». В этом случае одинаковы ве- личины F 1 d 1 и F 2 d 2, где F 1 и F 2 - модули сил, а d 1 и d 2 - расстояния от оси вращения до линии их действия. -, _ _

190 F2F2 F1F1 О d1d1 d2d2 Расстояние от оси вращения до линии действия силы называют плечом силы. Согласно этому определению, d 1 - плечо силы F 1, d 2 - плечо силы F 2. _ _

191 F2F2 F1F1 О d1d1 d2d2 Итак, у сил F 1 и F 2, имеющих различные модули, на- правления и точки приложения, одинаковы «вращаю- щие действия» и величины F 1 d 1 и F 2 d 2. Это наводит на мысль, что вращающее действие силы характеризу- ется произведением модуля силы на её плечо. _ _

192 F2F2 F1F1 О d1d1 d2d2 Величина М, равная произведению модуля силы F на её плечо d, называется моментом силы относитель- но оси т.е. М = F · d. (2) _ _

193 F2F2 F1F1 О d1d1 d2d2 Таким образом, условие равновесия тела с закреп- лённой осью вращения, изображённого на рисунке, можно записать так: F 1 d 1 = F 2 d 2, или F 1 d 1 - F 2 d 2 = О или М 1 - М 2 = О. (3), _ _

194 F2F2 F1F1 О d1d1 d2d2 М 1 - М 2 = О. (3) Здесь M 1 и M 2 - моменты сил F 1 и F 2 относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и прохо- дящей через точку О. _ _

195 Момент силы относительно оси вращения М = F·d зависит от модуля силы F и от её плеча d.

196 F1F1 F2F2

197 F1F1 F2F2 М 1 = М 2.

198 F1F1 F2F2 М 1 = М 2 ; М 1 - М 2 = 0.

199 F1F1 F2F2 М 1 = М 2 ; М 1 - М 2 = 0. (3)

200 Тело, способное вращаться вокруг закре- плённой оси, находится в равновесии, ес- ли алгебраическая сумма моментов при- ложенных к нему сил относительно этой оси равна нулю. Эту формулировку называют правилом моментов. В правиле моментам, стремящимся по- вернуть тело против часовой стрелки, приписывается положительный знак, а по часовой стрелке – отрицательный.

201 Правило моментов есть условие равновесия тел с закреплённой осью вращения

202 Единица момента силы относительно оси вращения Единицу момента силы относительно оси вращения установим, используя формулу M = F·d. Если в ней F = 1 Н, d = 1 м, то М = 1 Н·1 м = 1 Н·м. Ньютон-метр есть момент силы в 1 Н, линия действия которой отстоит от оси вращения на 1 м.

203 Как сформулировать условие равновесия тела, если оно может совершать сложное движение, которое состоит из поступательного и вращательного движений ?

204 Общее условие равновесия тела

205 Общее условие равновесия тела Общее условие равновесия тела получается объеди- нением условий равновесия тела, полученных выше.. Тело находится в равновесии,если равны нулю геометрическая сумма приложенных к нему сил и алгебраи- ческая сумма моментов этих сил относительно оси вращения.

206

207 l h Задача. Однородный стержень прикреплён к осно- ванию неподвижной вертикальной стойки шарниром и удерживается в равновесии горизонтальной оттяж- кой, закреплённой на верхушке той же стойки. Масса стержня 4 кг; высота стойки h = 0,6 м; длина оттяжки l = 0,9 м. Определите модули силы натяжения оттяж- ки T и силы реакции шарнира N. О

208 mg O l l /2 h

209 T mg O l l /2 h

210 T N mg O l l /2 h

211 X Y T N mg O l l /2 h

212 X Y T N mg O l l /2 h

213 X Y T N mg O l l /2 h