Системы счисления

2 Позиционные системы Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Десятичная система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): разряды сотни десятки единицы = 3· · ·10 0 Другие позиционные системы: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) двадцатеричная (1 франк = 20 су) шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

3 Перевод целых чисел Двоичная система: Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): = система счисления разряды = 1· · · · ·2 0 = =

4 Примеры:

5 Метод подбора = Разложение по степеням двойки: 77 = …+ 4 + … = разряды наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу 77 =

6 Примеры:

7

8 Арифметические операции сложение вычитание 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1= = =0 0+1=1 1+0=1 1+1= = =0 1-1=0 1-0= =1 0-0=0 1-1=0 1-0= =1 перенос заем –

9 Примеры:

10 Примеры:

11 Примеры:

12 Примеры:

13 Перевод в двоичную систему трудоемко 2 действия трудоемко 2 действия 16 = 2 4 Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных (тетрада)! ! 7F1A 16 = 7 F 1 A 0111 {{ {{

14 Перевод из двоичной системы Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа: Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой: E E F F Ответ: = 12EF 16

15 Перевод в двоичную и обратно трудоемко 2 действия трудоемко 2 действия 8 = 2 3 Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных (триада)! ! = { {{{

16 Перевод из двоичной системы Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа: Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой: Ответ: =

17 Перевод в восьмеричную и обратно трудоемко 3DEA 16 = Шаг 1. Перевести в двоичную систему: Шаг 2. Разбить на триады: Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра: DEA 16 =

18 Примеры:

19 Примеры:

20 Примеры:

21 Примеры:

22 Примеры:

23 Примеры:

24 Примеры:

25 Примеры:

26 Примеры:

27 Примеры:

28 Примеры: А5. Женя и Саша играют в игру с числами. Женя записывает четырехзначное шестнадцатеричное число, в котором нет цифр, больших, чем 5. Саша строит из него новое шестнадцатеричное число по следующим правилам. Вычисляются два шестнадцатеричных числа – сумма двух первых разрядов Жениного числа и сумма двух последних разрядов Жениного числа. Полученные два шестнадцатеричных числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей). Пример. Женино число: Поразрядные суммы: A, 5. Сашин результат: 5A. Определите, какое из предложенных чисел может получиться у Саши при каком-то Женином числе. 1) 210 2) 593) 5B4) A4

29 Примеры:

30 Примеры: B4. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка: 1. ААААА 2. ААААО 3. ААААУ 4. АААОА …… Укажите номер слова ОАОАО.

31 Примеры: В4. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, К, Р, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка: 1. ААААА 2. ААААК 3. ААААР 4. ААААУ 5. АААКА …… Укажите номер первого слова, которое начинается с буквы У.

32 Позиционные системы Задача: в какой системе счисления число 58 записывается как «46 x »? Определите основание системы счисления X. в записи есть цифра 6, поэтому x > 6 переводим правую часть в десятичную систему решаем уравнение 58 = 46 x = 46 x = 4·x 1 + 6·x 0 = 4·x = 4·x + 6x = 13

33 Позиционные системы Задача: найдите основание системы счисления, в которой выполняется равенство в записи есть цифра 5, поэтому x > 5 переводим в десятичную систему решаем уравнение 16 x + 33 x = 52 x x = x + 6 x = x = 5·x + 2 4·x + 9 = 5·x x = 3·x + 3

34 Позиционные системы Задача: перечислите через запятую все системы счисления, в которых выполняется неравенство в записи есть цифра 3, поэтому x > 3 переводим в десятичную систему решаем неравенство (перебор x = 4, 5, 6, …) 21 x + 32 x > 102 x x = 2·x + 1 x = 4, x = x ·x + 3 > x x = 3·x + 2

35 Примеры:

Позиционные системы

37 Примеры:

38 Примеры:

39 Примеры:

40 Примеры:

41 Примеры:

42 Примеры:

43 IP-адреса IP-адрес: w.x.y.zw.x.y.z номер сети + номер компьютера в сети

44 IP-адреса Маской подсети называется 32-разрядное двоичное число, которое определяет, какая часть IP-адреса компьютера относится к адресу сети, а какая часть IP-адреса определяет адрес компьютера в подсети. В маске подсети старшие биты, отведенные в IP-адресе компьютера для адреса сети, имеют значение 1;младшие биты, отведенные в IP-адресе компьютера для адреса компьютера в подсети, имеют значение 0.Например,маска подсети может иметь вид: ( ) Это значит, что 19 старших бит в IP-адресе содержит адрес сети 13 младших бит содержат адрес компьютера в сети

45 Примеры: ( ) ( )

46 Примеры:

47 IP-адреса Количество различных адресов компьютеров допускаемых маской равно 2 N, где N – количество нулевых бит в маске Примечание. На практике два из возможных адресов не используются для адресации узлов сети: адрес сети, в котором все биты, отсекаемые маской, равны 0, и широковещательный адрес, в котором все эти биты равны ( ) =8192-2=8190

48 Примеры: В11. В терминологии сетей TCP/IP маской подсети называется 32-разрядное двоичное число, определяющее, какие именно разряды IP-адреса компьютера являются общими для всей подсети - в этих разрядах маски стоит 1. Обычно маски записываются в виде четверки десятичных чисел - по тем же правилам, что и IP-адреса. Для некоторой подсети используется маска Сколько различных адресов компьютеров допускает эта маска? Примечание. На практике два из возможных адресов не используются для адресации узлов сети: адрес сети, в котором все биты, отсекаемые маской, равны 0, и широковещательный адрес, в котором все эти биты равны 1. общее число нулевых битов N = 10 поскольку из них 2 адреса не используются (адрес сети и широковещательный адрес) для узлов сети остается 1024 – 2 = 1022 адреса Ответ: 1022.

49 Примеры: В11. Если маска подсети и IP-адрес компьютера в сети , то номер компьютера в сети равен _____?

50 Троичная уравновешенная система Задача Баше: Найти такой набор из 4 гирь, чтобы с их помощью на чашечках равноплечных весов можно было взвесить груз массой от 1 до 40 кг включительно. Гири можно располагать на любой чашке весов.

51 Троичная уравновешенная система + 1гиря справа 0гиря снята – 1гиря слева Веса гирь: 1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг Пример: 27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг ур = Реализация: ЭВМ «Сетунь», Н.П. Брусенцов (1958) 50 промышленных образцов 40 Троичная система! !

52 Источники: Сайт Константина Полякова, доктора технических наук, учителя информатики Интерактивные тесты Яндекс Открытый банк заданий ЕГЭ по информатике «Всем, кто учится»