Лекция 2 по дисциплине «Искусственный интеллект и нейросетевое управление» тема: «Нечёткая логика» Мамонова Татьяна Егоровна

Операции над нечёткими множествами 2 Логические операции 1. Включение. Пусть А и В – нечеткие множества на универсальном множестве Е. Тогда А содержится в В, если. Обозначение: 2. Равенство. А и В равны, если Обозначение: А=В 3. Дополнение. Пусть М = [0,1], А и В – нечеткие множества, заданные на Е. А и В дополняют друг друга, если Обозначение: 4. Пересечение – наибольшее нечеткое подмножество, содержащее одновременно А и В ( ):

3 5. Объединение – наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности ( ): 6. Разность – операция с функцией принадлежности ( ): 7. Дизъюнктивная сумма – логическая операция с функцией принадлежности ( ): Алгебраические операции 1.Алгебраическое произведение А и В обозначается и определяется так:

4 2. Алгебраическая сумма этих множеств обозначается и определяется так: На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень α нечеткого множества, где α – положительное число. Нечеткое множество определяется функцией принадлежности. Частным случаем возведения в степень являются следующие. 3. Операция концентрирования (уплотнения) 4. Операция растяжения 5. Умножение на число. Если α – положительное число, такое что, то нечеткое множество αА имеет функцию принадлежности:

Нечёткая переменная Понятия нечеткой и лингвистической переменных используются при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств. Нечеткая переменная характеризуется тройкой (α, X, A), где α – наименование переменной; X – универсальное множество (область определения α); A – нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т. е. ) на значения нечеткой переменной α. 5

Лингвистическая переменная Лингвистической переменной (ЛП) называется набор (, Т, X,G, M), где – наименование лингвистической переменной; Т – множество её значений (терм-множество), представляющих собой наименование нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. Множество Т называется базовым терм-множеством лингвистической переменной; 6

G – синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества Т, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество Т G(Т), где G(Т) – множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной; М – семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечёткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечёткое множество. 7

Пример 1. Нечеткое понятие «Возраст». Рассмотрим такое нечеткое понятие как «Возраст». Это и есть название лингвистической переменной ( – возраст). 1. Сформируем для неё базовое множество Т, которое будет состоять из трех нечётких переменных: «Молодой», «Зрелый», «Пожилой» (Т – {«Молодой», «Зрелый», «Пожилой»}). 2. Зададим область рассуждений в виде X=[0;100] (лет). G – процедура образования новых термов с помощью связок «и», «или», «очень», «слегка», «не» и др. М – процедура задания на X=[0;100] нечетких подмножеств А1 – «Молодой», А2 – «Зрелый», А3 – «Пожилой», а также нечетких множеств для термов из G(Т) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов «и», «или», «очень», «слегка», «не» и других операций над нечеткими множествами вида:,,, и т.п. 8

3. Построить функции принадлежности для каждого лингвистического терма из базового множества T. Существует свыше десятка типовых форм кривых для задания функций принадлежности. Наибольшее распространение получили: треугольная, трапецеидальная и гауссова функции принадлежности. Совокупность функций принадлежности для каждого терма из базового терм-множества T обычно изображаются вместе на одном графике. Замечание. Количество термов в лингвистической переменной редко превышает 7. 9

Рисунок 1. Функции принадлежности: а) треугольная; б) трапециевидная; в) гаусова. а)б) в) 10

Нечёткие выводы Общий логический вывод осуществляется за следующие четыре этапа: Нечёткость (введение нечёткости, фазификация). Функции принадлежности, определённые на входных переменных применяются к их фактическим значениям для определения степени истинности каждой предпосылки каждого правила. 11

Логический вывод. Вычисление значения истинности для предпосылок каждого правила применяется к заключениям каждого правила. Это приводит к одному нечёткому подмножеству, которое будет назначено каждой переменной вывода для каждого правила. В качестве правила логического вывода обычно используются только операции min (минимум) или prod (умножение). В логическом выводе min функция принадлежности вывода «отсекается» по высоте, соответствующей вычисленной степени истинности предпосылки правил (нечёткая логика «И»). В логическом выводе prod функция принадлежности вывода масштабируется при помощи вычисленной степени истинности предпосылки правил. 12

Композиция. Все нечёткие подмножества, назначенные к каждой переменной вывода (во всех правилах), объединяются вместе, чтобы формировать одно нечёткое подмножество для каждой переменной вывода. При подобном объединении обычно используется операция max (максимум) или sum (сумма). При композиции max комбинированный вывод нечёткого подмножества конструируется как поточечный максимум по всем нечётким подмножествам (нечёткая логика «или»). При композиции sum комбинированный вывод нечёткого подмножества конструируется как поточечная сумма по всем нечётким подмножествам, назначенным переменной вывода правилами логического вывода. 13

Дополнительно – приведение к чёткости (дефазификация), которое используется, когда полезно преобразовать нечёткий набор выводов в чёткое число. Существуют следующие алгоритмы вывода: Mamdani, Tsukamoto, Sugeno, Larsen. 14

Пример 2. Пусть некоторая система описывается следующими нечёткими правилами: П 1 : если x есть A, тогда w есть D, П 2 : если y есть B, тогда w есть E, П 3 : если z есть C, тогда w есть F, где x, y, z – имена входных переменных, w – имя переменной вывода, а A, B, C, D, E, F – заданные функции принадлежности (треугольной формы). Процедура получения логического вывода иллюстрируется графиками, представленными на рисунке 2. Предполагается, что входные переменные приняли некоторые конкретные (чёткие) значения – x 0, y 0, z 0. 15

Этап 1. Для данных значений и исходя из функций принадлежности A, B, C, находятся степени истинности α(x 0 ), α(y 0 ), α(z 0 ) для предпосылок каждого из трёх приведённых правил (см. рис. 2). Этап 2. Происходит «отсекание» функций принадлежности заключений правил (т.е. D, E, F) на уровнях α(x 0 ), α(y 0 ), α(z 0 ). Этап 3. Рассматриваются усечённые на втором этапе функции принадлежности и производится их объединение с использованием операции max, в результате чего получается комбинированное нечёткое подмножество, описываемое функцией принадлежности μ (w) и соответствующее логическому выводу для выходной переменной w. Этап 4 (при необходимости). Находится чёткое значение выходной переменной, например, с применением центроидного метода: чёткое значение выходной переменной определяется как центр тяжести для кривой μ (w): 16

Рисунок. 2. Процедура логического вывода 17

Спасибо за внимание