РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме «Пирамида» 241,242,243,244,245,246,247,248,249,250,251,252,253,254,255,256,257,258, 259,260,261,262,263,264,265,266,267,268,269,270.

241 лаврова S A B C D O K T Дано: S АВСД -пирамида, АВСД-параллелограмм ВД=3, АВ=5, ВС=4, SO= Найти :S полное O К TAB D C S ПОЛ =S ПАРАЛ. +2S ВСS +2S АВS Решение :S АВСД =2SАВД =p(p-a)(p-b)(p-c) S=6*3*1*2=6 S АВСД =2*6=12 p=1/2(АД+ВД+АВ)=1/2(3+4+5)=6 S ABСD =12=АВ*h=5* h h=12:5=2.4OT=2.4:2=1.2ST=ОТ 2 +ОS 2 =4+1.44= =5.44=2/534S АSC =1/2*5* 2/534=34 S ABСD =12=СВ*h=4* h h=12:4=3OK=1.5 SK= SO 2 +OK 2 =4+2.25=2.5 S BCS =1/2SK*BC=2*2.5=5 S ПОЛ =12+2*5+2*34= «3»

А В С D К Дано: АВСD- правильная пирамида,

243 А Д В М С Дано: S АВС – пирамида; АД (АВС) Найти: S бок. Решение: S бок. = S АДС + S ВДС + S АДВ S = ½ аh АДС – АД АС - прямоугольный АДВ – АД АВ - прямоугольный ДВ 2 = 9²+ 13² = = 250, ДВ=510 S бок. = ½ * 9 * 13 + ½* 9*13 + +½* 10 * ДМ ? ? Анализ чертежа: АД (АВС) АД АС, АД АВ.(ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ) «4»

В Д С М 55 S = ½ ah = ½ *10 *15 = 75 ДС 2 =(5 10 ) = 250 – 25 = 225 = 15 2, ДС= S бок. = S АДС + S ВДС + S АДВ= ½ * 9 * 13 + ½* 9*13 + ½* 10 * 15= =192

244 A B C D ? ? ? Дано : ABCD-пир. AD(ABC) Найти : S бок Анализ чертежа:ADACADBA. AB C-

A B C D S X X Дано :SABCD- пирамида, (ASD)(ABC). (ABS)(ABC),(DSC)/\(АВС)=30 0 (АВС)/\(CBS)=45 0, АС=8, АВСД- прямоугольник Найти : S полн Анализ чертежа : (ASD)(ABC)ASAD, AS AB,AS AC,SAB,SAD,SAC- прямоугольные,ABBCВSBC,DCAD SDDC,SBC,SDC-прямоугольные Решение:1)АВ=DC АS=ХSD2ХАD= =SD²AS²4x²x²x3 2)АС ² AD ² +DC ²x² + 3x² 4 x², 8 ² 4 x²,64 4 x², x² 16, Х=4АВ=4,АД=43, А S=4,SB=АВ²+AS²=4²+4²=42, SD=4*2=8, 3)Sполн=1/2(AS*AD+AS*AB+SB*BC+SD*DC)+AB*BC =1/2( *43+8*4)+4*43= = =8(33+6+3) ОТВЕТ:8(33+6+3) «5» Краснов не сдал

246 А С В S O 40 Дано: SO-высота=40 AS=SC=SB=41 P ABC =42 Доказать: а)SO проходит через центр окружности, вписанной в её основание б)Найти:S ABC -? H M 41 Решение: а)т.к. наклонные равны, то их проекции тоже равны т.е. ОМ=ОН=ОN. По теореме о трёх перпендикулярах: ОМ ВС, ОН АС, ОN АВ. По признаку касательной стороны АВС касаются окружности с радиусом ОМ. т.е. ОМ=ОН=ОN=r- радиус впис. окр. SO- высота проходит через центр вписанной окружности б) P=42 S тр-ка =pr, где p=P\2; r- рад. впис. Окружности Найдём r: В прямоугольном тр-ке OSM по теореме Пифагора ОМ=r= SM 2 - SO 2 = = 9; S= P\2 * r=42\2 * 9= 189 см2 246 «5»

Д А В С Е К М Н Дано: ДК ВС; ДК=41см. ДЕ АВ, ДЕ=41см. ДМ АС, ДМ=41см. ДН (АВС), ДН=40см. Доказать: Н- центр окружности Найти : площадь АВС, если Р=42см. Решение: ДЕН= ДКН= ДМН, значит ЕН= КН= МН. Из этого Следует, что точка Н равноудалена от сторон АВС, это Значит, что Н- центр окружности, вписанной в треугольник АВС,т.к. ЕН, КН, МН – являются так же радиусами окружности. Р= 42 см. Р= АВ+ВС+АС= 3АВ; АВ= 42: 3=14;S=1/2 Р*r= 1/ 2 *42*НК; S АВС = 21 *НК; НК= = 9;S=21*9=189см «5»

247 А В С S O N O M M K K Дано: АВСS-пирамида.

248 A B C S O M N Дано : SABC- пирамида,

249 S A B C D O Дано :SABC-пирамида,SA=SB=SD=SC,SO(ABC)-высота пирамиды. Доказать :а)O-центр оп.окр.,б)

P А1А1 А2А2 А3А3 А4А4 А5А5 А6А6 Дано : РА 1 А 2 А 3 А 4 ….-ПИРАМИДА ; РА 1 =РА 2 =РА 3 =… РО- высота пирамиды Доказать: РО- высота пирамиды Доказать: а) О- центр оп. окр. а) О- центр оп. окр. б)

250 A B C S 45 0 O R R R Дано :SABC-пирамида,

251 S A B C O Дано :ДАВС- пирамида, BAC- прямоугольный,ВС=10см,АS=BS=CS, SO=12 см. Найти :AS. Анализ чертежа : O-центр оп.окр.OAB,т.к. ABC-прямоугольный, Решение задачи :АО=ОС=ОВ= R SOA-прямоугольный SOA: AS= OS 2 +OA 2 = =169=13 AS=13 Аникин не сдали

H D A B C Дано: АВС- прямоугольный треугольник. ВС= 10см- гипотенуза, DH=h=12см BD=DA=DC- боковые рёбра. Найти:DB=DA=DC=? Решение : т. к. DB=DA=DC ;DH ABC DH 2 +AH 2 =AD =AD AD= AD=13 см DA=DC=DB=13 см Ответ :=DA=DC=DB=13 см 251 «5»

AB C D H O Анализ чертежа: ДО(АВС),АД=ВД=СДАО=ВО=СО (ДО-общая), О- центр оп. окр. Дано :ABCD- пирамида, AB=AC, BC=6 см, DO (ABC), AH BC, AH=9 см, DA=DB=DC=13 см. Найти :DO-? Решение задачи : AC=81+9=310 см ; AO=R; S=(a.b.c)/4R; R=(a.b.c)/4S, R=(6*310*310)/(4*27); R=5 см ADO: DO=AD²-AO²=169-25=12 см 252 «3»

А В С Д Н О Дано :ДАВС-пирамида,АВ=АС,ВС=6,ДА=ДВ=ДС=13,АН=9. Найти :ДО Анализ чертежа: ABC- равнобедр.AHBC;BH=HC; OHBCDHBC(теорема о трех перпендикулярах)(OH-проекция, DH-наклонная, DO- перпендикуляр) х у 9-у Решение :DHа 2 +в 2 =с 2 а =13 2,а 2 =169-9=160,а= 410 DH= 410 ВС Д АH O H 3 13 Д Введем обозначения : HC=b, DC=c, DH=a 252 «4»

х 2 +у 2 =13 2,х 2 =169-у 2, х 2 +(9-у) 2 =(410) у 2 +(9-у) 2 =(410) 2, 18у=90 у=5 Х 2 = =169-25=144,х=12;ДО=12 -высота пирамиды. Ответ :12 х у9-у O A H Д Введем обозначения: ДО=Х, АО=У, ОН=9-У 252

A B C H D Дано :АВСД- пирамида, AB C: АВ=АС, ВС=6, АН=9, ДВ=ДА=ДС. Найти: ДО(высота пирамиды) O Анализ чертежа:DOH- прямоугольный, DBH- прямоугольный. ДН 2 + B H 2 =BD 2 DH 2 = =160, DH= H O A D h У 9-y h 2 = (410) 2 -У 2, h 2 =13 2 -(9-У) 2 (410) 2 –У 2 =13 2 -(9-У) 2, 160-У 2 = У-У 2, 18У=72, У=4,DO=160-16= =144=12. DO= D H B C

R RR R Шмарина не сдала

Дано: НАВСД – пирамида АВСД – трапеция МК - высота АН = ВН = СН = ДН = 13 см. АВ = СД, МК = 5 см. АД = 6 см., ВС =4 6 см. Найти ОН. А С Д Н О В В К Д С А о М Решение: рассмотрим АОК и ОМВ. Пусть ОК - Х, значит МО = 5 - Х. ВМ = 2 6 см., АК = 3 см. По теореме Пифагора ОВ 2 = 24 + (5 - X) 2 ОА 2 = 9 + X 2, т.к. ОВ = ОА => 2Ч + (5 - Х) 2 = 9 + X Давыдов «5»

24 + (5 - X) 2 = 9 + X X 2 = X + X 2 10X = X = 40 X = 4 Т.е. ОК = 4 см. ПО теореме Пифагора ОА 2 = АК 2 + ОК 2 OA 2 = = 25 => OA = 5 см, теперь находим ОН по теореме Пифагора. ОН 2 = АН 2 – ОА 2 OH 2 = 169 – 25 = 144 OH = 12 см. В К Д С А о М Н Ответ: ОН = 12 см. 253

254 Свойства равностороннего треугольника: а) биссектрисы, медианы и высоты пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной и описанной окружностей. б) медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1,начиная от вершины. Для решения задачи необходимо знать: Решение задачи

a a a H A B C D F O K Дано: АВСД -правильная пирамида, АВ =АС =ВС = а, ДО=Н. Найти : 1)ДС, 2)

254 в С К а D А М В а н о Решение: а) В правильной пирамиде боковые ребра равны, Поэтому вычислим длину ребра AD. OA=R, r-радиус описанной около ABC окружности Из AOD по т.Пифагора имеем: б)

д) BAD= CAD. Построим BM AD и отрезок MC. MC AD Линейный угол двугранного угла при боковом ребре пирамиды. Т.к.пирамида правильная, то все двугранные углы при боковых ребрах имеют Одинаковые линейные углы. Построим DN AB. По т.Пифагора имеем: АВ D N M а

φ/2 О К А В C D Дано :ABCD- прав. пирам. АВ=АС=ВС=8,

256 m m m mO A B C D S α/2 K Дано :SABCD-прав.пирам. AB=BC=CD=DA=m,

А Д С Е В h Задача 257 Дано: DABC-пирамида; h- высота; < ДЕА=45 0. Найти:S п.п. -? О 45 0 РЕШЕНИЕ: DABC- правильная пирамида; т.О является основанием высоты ДО- это центр вп. и оп. окружности. Построим АЕ ВС OEBС. По теореме о 3-х перпендикулярах имеем ДО АВС DOOE,BСOE DEBС < ДЕО- линейный угол двугранного угла при основании,

DOE- прямоугольный, ДО= ОЕ = h т.к. < ДЕА=45 0. По т. Пифагора ДЕ= h 2; ОЕ=r= h, где r- радиус вписаной окружности. Пусть АВ=АС=ВС=Х SABC = x² 3/4; р=3x /2; r = SABC /р; (р- полупериметр) r = h = (x² 3/4) :(3х/2) = x3/2 x =2h3 SABC = (2 3 h) ² 3 /4= ² /4= =3 3 h², S всд = x* ДЕ= = 2 3 h h = h ² 6; а S бок =3 Sвсд=3 h ² 6 значит S п п =SABC +Sбок= =3h² h ²= 3 3 h ²( +1) А Д Е h О 45 0 В С

OHАВ OH – радиус вписанной окр АВCOH=r = а из DHO,т.к.

257 h 45 0 A B C S O K Анализ чертежа: АВСS-прав. пирамидаSО - высота пирамиды, О- центр окр. АКВС, ВК =КС, т.к. ABC-правильныйOKBCSKBC, SOK- прямоугольный. Дано : АВСS-прав. пирамида, SOABC,SO=h, (ABC)/\ (BSC)=45 0 Решение задачи

S П.П. =S ABCD +1/2*P АВСД *SK a АВ С Д О S К ASC: AC=12АВ=ВСa 2 +a 2 =12 2 АВ=62=ВС А С S Решение : ВС S К 32 SK =12 2 -(32) 2 =314 S П.П.=S ABCD +1/2*P АВСД *SK=(62) 2 +1/2*4* 62*314= = = 72(1+7). Ответ : 72(1+7). Дано :SABСD-правильная пирамида,

С А В О К 60 0 Д S Дано : АВСДS-правильная пирамида, АВСД- квадрат,(АВС);(ДSС)=60 0, ДС=6см. ^ Найти :SD Анализ чертежа:О-центр вп.окр.,OK( С D),OK=1/2АД(т.к. АВСД КВАДРАТ), ДСОКДСSK,

A S O K D CB Дано:ABCDS-правильная пирамида, АВ=6см,

A В Д С О Р К 260 Анализ чертежа:АВСД-прав. пирамидаДО-высота пирамиды, О- центр окр. Решение :а)ДО(АВС),СР АВ, АР=РВ,ОР-проекция ДРДРАВ.По признаку перпенд. прямой и плоскости:АВДР, АВ СРАВ (СДР) b) СКДР по условию,АВ(СДР)АВСК, По признаку перпендикулярности прямой и пл.: СКДР, АВСКСК(АДВ) Дано :АВСД –прав.пирам.ДР-апофема АДВ. Доказать :а) АВ(СРД) b) СК(АДВ) «3»

260 Дано : АВСД –пр. пирамида. ABC-правильный, ДО(ABC),ABC-правильный, ДО(ABC), плоскость проходит:α(DO;DC) Доказать :а) АВ(ДРС);б)СК(АВД) Док- во :1)СРАВ (как высотаАВС);ДОРС,(ДО(ABC);ДРАВ(по т.3-х перпендикулярахотсюда АВРД;АВ(РДС) По признаку перпендикулярности прямой и плоскости 2)ДР – апофема грани АДВ;СКРД (условие) АВ(РДС)АВКС (определению.); РДАВ=К є(АВД)КС(АВД) (по признаку.) В Д А С К О P «4»

261 Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра взаимно перпендикулярны. A B C D K Дано: ABCDправильная пирамида АС=СВ=АВ Доказать: АD ВС Доказательство: DК - высота(СDВ) АК - высота(АВС) DК ВС(выс СDВ) АК ВС(выс АВС) АО проекция АDв АВС АО проекция АDв АВС АО ВС АDВС ( по теореме о 3 х перпендикулярах ). оо оо «5»

261 A B C D O Решение :AD скрещивается с BC,K BC, BK=KC,ABC-правильный треугольник AKBC,AO-проекция AD(AO-часть AK)AOBC. По теореме о трех перпендикулярах:BCOABCAD. Остальное аналогично. Дано :ABCD- правильная пирамида. AD скрещивается с BC Доказать :ADBC K «4»

ЗАДАЧА 262. А О S P M B Дано: А SРВ- пирамида; SО- высота пирамиды; О- центр вп. оп. окружности АВР; SМ- высота(апофема) SВР; SВ=SР;АР=АВ. Доказать: что (ASM) (BSP) «5»

РЕШЕНИЕ:1) SМЄ (SВР); SМ ВР т.к BSP: SВ=SР BМ=МР. 2)ABP: AB=AP ;AM BP BM=MP. 3) ВР SМ и ВР АМ ВР (АРМ) 4)т.к (BSP) проходит через прямую ВР (ASM) (ASM) (BSP) А О S B M P 262

А В С Д М К L N T Решение : а)NKDC NKDCМ (NKL)(DMС)TL,TLNK, TNMK-трапеция. в) LKBM,NKAB(KLM)(ABM)- признак параллельности плоскостей. Дано : АВСДМ-правильная пирамида, LKBM, NKAB, K BC,L MC,N AD. Построить :пл.(KLM) Доказать : а) (KLN)(AMB) 263 «3»

А В С K S M L Д N Дано: МАВСД – правильная пирамида КВС; LМС; NВМ,KN||ВА; KL||ВМ а)построить сечение (KLN) и определить его вид; б)доказать: (KLN)||(АМВ). Решение: а)(KLN) (АМВ)=SL; NК||ДС NК||(ДМС) Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой, т.е. NЛ||SL. Значит NKSL – трапеция.б)(KLN)||(АМВ), т.к. LK||МВ, NК||АВ признак параллельности плоскостей 263 «5»

264 а А В С Д Е Т К P S BPE S PDC1/2BE*OP1/2CD*KP BE*OPCD*KP2а*OP а*KP 2OP KPOP 1/2KP

A B C д E O K Дано : АВСД- прав. пирамида ДС/\(АВС)=60 0, Е Є ДС, ABE- сечение,(АВЕ)/\(АВС)=30 0, АВ=АС=ВС=12, Найти : S ABE Анализ чертежа : KCAB,AB=AC=BCAK=KB, KEAB, ABE-равнобедренный т. к.BCD=ACD

266 Дано:АВCDS-пирамида, ABCD-прямоугольник SА=BS=CS=DS AS(BED) SА=BS=CS=DS AS(BED) АВ=6дм; AD=8дм; SO=2дм; SO (ABC) АВ=6дм; AD=8дм; SO=2дм; SO (ABC) Найти:S BED -? Найти:S BED -? Решение: S BED =BD*EK; Решение: S BED =BD*EK; EK BD; BD=AB 2 +AD 2 EK BD; BD=AB 2 +AD 2 =64+36=10дм; ЕК=? =64+36=10дм; ЕК=? АВСD: S ABCD =6*8=48дм 2 АВСD: S ABCD =6*8=48дм 2 S COВ =1/4SABCD=12 дм 2 ; S COВ =1/4SABCD=12 дм 2 ; SCOВ =1/2h* OВ; SCOВ =1/2h* OВ; OВ=5 12=1/2h*5=> h=24/5дм OВ=5 12=1/2h*5=> h=24/5дм т.к. РK=1/2h то РK=12/5дм т.к. РK=1/2h то РK=12/5дм ЕРK; EK=13/5дм => EK=13/5дм => S BED =1/2* 10* 13/5=13дм 2 S BED =1/2* 10* 13/5=13дм 2 D S O E B C K P A Анализ чертежа :ASC: ОЕAS; DSB- сечение; т.к. AO=OC;ASOESE=EC; EPACЕРSOОР=РС;ЕР=1/2ОS. РКОВ;СЕ 1OBРКСЕ 1 - СР. линия СОЕ 1 РК=1/2СО 1 ;СЕ 1 =h; Е1Е1 СЕ 1 *ОВ=ВС*ОТ; СЕ 1 =6*4:5=4.8РК=2.4 O B C Т Е1Е1 K P «5» Лысенко не сделала

A B C M N K O O1O1 (АВС)(MNK)АВ MN, NK ВС,ОВ ВО 1 SMN~ABS,SNK~SBC,SNO 1 ~SBO SM:SA=SN:SB=SO 1 :SOSM:MA=SN:NB= =SO 1 :O 1 O АНАЛОГИЧНО ПРОХОДИТ И ОСТАЛЬНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. S Дано :SABCDE- пирамида, (АВС)(MNK). Доказать :SM:MA=SN:NB=…=SO 1 :O 1 O D E L P 267 Решение задачи : «4»

268 Туркеева не сделала А В С Д Р К Т Н О О1О1 S Е M Дано : SАВСД- прав. пирамида (РКТ)(АВС); SO 1 :OO 1 =1:2 ; МЕ=4дм-апофема; Sп.п.=186дм 2 Найти :ОО 1 Решение : Пусть ВС= а, SO 1 :OO 1 =1:2SO 1 :SO=1:3SM:SЕ=1:3КТ:ВС=1:3 если ВС = а, то КТ =а/3 Sп.п.= S ABCD +S РКТН +4S ВКТС Sп.п.=а 2 + а 2 /9+4*(а+а/3)/2*4=10а 2 /9+32а/3= =(10а 2 +96а)/9; по условию Sп.п.=186дм 2 (10а 2 +96а)/9 =186дм 2 а=9 дм; О О1О1 M Е ОО 1 = =7 ОО 1 =7

269 А В С М К Е Д О О1О1 Т Р Дано :АВСМЕК- прав. усеч. пирамида,ВА=4дм, ЕМ=2дм,АМ=2дм Найти : ОО 1 - высоту, РТ- апофема. Решение : ABC- правильныйМО 1 =a/3 =2/3, (т.к. O 1 - центр оп.окр. МЕ=R3R=ME/3) аналогично:MKE- правильныйАО=4/3 О О1О1 М А 2/3 4/3 2 F MF 2 =MA 2 -OF 2 MF=(22)/3=ОО 1 ОО 1 = (22)/3= 26/3 Р Т М А PT= = 3 ОО 1 =26/3; PT=3

Дано :АВСА 1 В 1 С1-усеченная пирамида, AA 1 (ABC), АВ=АС=ВА=5, А 1 В 1 =А 1 С 1 =В 1 С 1 =3, АА 1 =1 A B C A1A1 B1B1 C1C1 Найти : S БОК. Пов -ти Анализ чертежа: AA 1 (ABC) AA 1AK, AA 1AC, AA 1AB, K K1K1 A 1 K 1 KA-прямоугольная трапеция, AK ВС,А 1 К 1В 1 С 1 Решение задачи : S АА1С1С =(3+5)/2*1=4, S АА1В1В =(3+5)/2*1=4 КК 1 N:КК 1 = =5, S ВСС1В1 =(3+5)/2*5=45. S БОК. пов-ти = = = N Ответ: «5»