Цифровая обработка сигналов Введение в цифровую обработку сигналов к.т.н., доцент Коберси И.С. Таганрог – 2014 г.

Введение Цифровая обработка сигналов (ЦОС или DSP - digital signal processing) является одной из новейших и самых мощных технологий, которая активно внедрилась в широкий круг областей науки и техники: коммуникации, метеорология, радиолокация и гидролокация, медицинская визуализация изображений, цифровое аудио- и телевизионное вещание, разведка нефтяных и газовых месторождений, и многих других. Можно сказать, что происходит повсеместное и глубокое проникновение технологий цифровой обработки сигналов во все сферы деятельности человечества. Сегодня технология ЦОС относится к числу базовых знаний, которые необходимы ученым и инженерам всех отраслей без исключения.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ Цифровые сигналы формируются из аналоговых операцией дискретизации – последовательным квантованием (измерением) амплитудных значений сигнала через определенные интервалы времени Dt или любой другой независимой переменной Dx. В результате равномерной дискретизации непрерывный по аргументу сигнал переводится в упорядоченную по независимой переменной последовательность чисел. В принципе разработаны методы ЦОС для неравномерной дискретизации данных, однако области их применения достаточно специфичны и ограничены. Условия, при которых возможно полное восстановление аналогового сигнала по его цифровому эквиваленту с сохранением всей исходно содержавшейся в сигнале информации, выражаются теоремами Найквиста, Котельникова, Шеннона, сущность которых практически одинакова. Для дискретизации аналогового сигнала с полным сохранением информации в его цифровом эквиваленте максимальные частоты в аналоговом сигнале должны быть не менее чем вдвое меньше, чем частота дискретизации, то есть f max (1/2)f d, т.е. на одном периоде максимальной частоты должно быть минимум два отсчета. Если это условие нарушается, в цифровом сигнале возникает эффект маскирования (подмены) действительных частот более низкими частотами. При этом в цифровом сигнале вместо фактической регистрируется "кажущаяся" частота, а, следовательно, восстановление фактической частоты в аналоговом сигнале становится невозможным. Восстановленный сигнал будет выглядеть так, как если бы частоты, лежащие выше половины частоты дискретизации, отразились от частоты (1/2)f d в нижнюю часть спектра и наложились на частоты, уже присутствующие в этой части спектра. Этот эффект называется наложением спектров или алиасингом (aliasing). Наглядным примером алиасинга может служить иллюзия, довольно частая в кино – колесо автомобиля начинает вращаться против его движения, если между последовательными кадрами (аналог частоты дискретизации) колесо совершает более чем пол-оборота.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ Преобразование сигнала в цифровую форму выполняется аналого-цифровыми преобразователями (АЦП). Как правило, они используют двоичную систему счисления с определенным числом разрядов в равномерной шкале. Увеличение числа разрядов повышает точность измерений и расширяет динамический диапазон измеряемых сигналов. Потерянная из-за недостатка разрядов АЦП информация невосстановима, и существуют лишь оценки возникающей погрешности «округления» отсчетов, например, через мощность шума, порождаемого ошибкой в последнем разряде АЦП. Для этого используется понятие отношения «сигнал/шум» - отношение мощности сигнала к мощности шума (в децибелах). Наиболее часто применяются 8-, 10-, 12-, 16-, 20- и 24-х разрядные АЦП. Каждый дополнительный разряд улучшает отношение сигнал/шум на 6 децибел. Однако увеличение количества разрядов снижает скорость дискретизации и увеличивает стоимость аппаратуры. Важным аспектом является также динамический диапазон, определяемый максимальным и минимальным значением сигнала. Обработка цифровых сигналов выполняется либо специальными процессорами, либо на универсальных ЭВМ и компьютерах по специальным программам. Наиболее просты для рассмотрения линейные системы. Линейными называются системы, для которых имеет место суперпозиция (отклик на сумму входных сигналов равен сумме откликов на каждый сигнал в отдельности) и однородность или гомогенность (изменение амплитуды входного сигнала вызывает пропорциональное изменение выходного сигнала). Для реальных объектов свойства линейности могут выполняться приближенно и в определенном интервале входных сигналов.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ Если входной сигнал x(t-t 0 ) порождает однозначный выходной сигнал y(t-t 0 ) при любом сдвиге t 0, то систему называют инвариантной во времени. Ее свойства можно исследовать в любые произвольные моменты времени. Для описания линейной системы вводится специальный входной сигнал - единичный импульс (импульсная функция). В силу свойства суперпозиции и однородности любой входной сигнал можно представить в виде суммы таких импульсов, подаваемых в разные моменты времени и умноженных на соответствующие коэффициенты. Выходной сигнал системы в этом случае представляет собой сумму откликов на эти импульсы. Отклик на единичный импульс (импульс с единичной амплитудой) называют импульсной характеристикой системы h(n). Соответственно, отклик системы на произвольный входной сигнал s(k) можно выразить сверткой g(k) = h(n)s(k-n). Если h(n)=0 при n

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ Z-преобразование. Для анализа дискретных сигналов и систем широко используется z-преобразование, которое является обобщением дискретного преобразования Фурье. Этим преобразованием произвольной непрерывной функции s(t), равномерно дискретизированной и отображенной отсчетами s k = s(kDt), ставится в соответствие степенной полином по z (или степенной полином по z -1 = 1/z), последовательными коэффициентами которого являются отсчеты функции: s k = s(kDt) TZ[s(kDt)] = s k z k = S(z), где z = s+jv = r exp(-jj) - произвольная комплексная переменная. Это преобразование позволяет в дискретной математике использовать всю мощь дифференциального и интегрального исчисления, алгебры и прочих хорошо развитых разделов аналитической математики. Дискретные системы обычно описывается линейными разностными уравнениями с постоянными коэффициентами: y(k) = b(n) x(k-n) - a(m) y(k-m), n=0, 1, …, N, m=1, 2, …, M. Этим уравнением устанавливается, что выходной сигнал y(k) системы в определенный момент k i (например, в момент времени k i Dt) зависит от значений входного сигнала x(k) в данный (k i ) и предыдущие моменты (k i - n) и значений сигнала y(k) в предыдущие моменты (k i -m). Z-преобразование этого уравнения, выраженное относительно передаточной функции системы H(z) = Y(z)/X(z), представляет собой рациональную функцию в виде отношения двух полиномов от z. Корни полинома в числителе называются нулями, а в знаменателе - полюсами функции H(z). Значения нулей и полюсов позволяют определить свойства линейной системы. Так, если все полюсы X(z) по модулю больше единицы, то система является устойчивой (не пойдет вразнос ни при каких входных воздействиях). Нули функции Y(z) обращают в ноль H(z) и показывают, какие колебания вовсе не будут восприниматься системой (антирезонанс). Систему называют минимально-фазовой, если все полюсы и нули передаточной функции лежат вне единичной окружности |z|=1 на комплексной z-плоскости. Попутно заметим, что применение z- преобразования с отрицательными степенями z -1 меняет положение полюсов и нулей относительно единичной окружности |z|=1 (область вне окружности перемещается внутрь окружности, и наоборот).

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ Природа сигналов. По своей природе сигналы могут быть случайными или детерминированными. К детерминированным относят сигналы, значения которых в любой момент времени или в произвольной точке пространства (а равно и в зависимости от любых других аргументов) являются априорно известными или могут быть определены (вычислены) по известной или предполагаемой функции, даже если мы не знаем ее явного вида. Случайные сигналы непредсказуемы по своим значениям во времени или в пространстве. Для каждого конкретного отсчета случайного сигнала можно знать только вероятность того, что он примет какое- либо значение в определенной области возможных значений. Закон распределения случайных значений далеко не всегда известен. Одним из самых распространенных является нормальное распределение, плотность которого имеет вид симметричного колокола. Для его описания достаточно двух первых моментов распределения случайных величин. Наиболее простые характеристики законов распределения – среднее значение случайных величин (математическое ожидание) и дисперсия (математическое ожидание квадрата отклонения от среднего), характеризующая разброс значений случайных величин относительно среднего значения. Параметры динамики случайных сигналов во времени характеризуются функциями автокорреляции (количественная оценка взаимосвязи значений случайного сигнала на различных интервалах) или автоковариации (то же, при центрировании случайных сигналов). Аналогичной мерой взаимосвязи двух случайных процессов и степени их сходства по динамике развития является кросскорреляция или кроссковариация (взаимная корреляция или ковариация). Максимальное значение взаимной корреляции достигается при совпадении двух сигналов. При задержке одного из сигналов по отношению к другому положение максимума корреляционной функции дает возможность оценить величину этой задержки.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ Функциональные преобразования сигналов. Одним из основных методов частотного анализа и обработки сигналов является преобразование Фурье. Различают понятия преобразование Фурье и ряд Фурье. Преобразование Фурье предполагает непрерывное распределение частот, ряд Фурье задается на дискретном наборе частот. Сигналы также могут быть заданы в наборе временных отсчетов или как непрерывная функция времени. Это дает четыре варианта преобразований – преобразование Фурье с непрерывным или с дискретным временем, и ряд Фурье с непрерывным временем или с дискретным временем. Наиболее практична с точки зрения цифровой обработки сигналов дискретизация и во временной, и в частотной области, но не следует забывать, что она является аппроксимацией непрерывного преобразования. Непрерывное преобразование Фурье позволяет точно представлять любые явления. Сигнал, представленный рядом Фурье, может быть только периодичен. Сигналы произвольной формы могут быть представлены рядом Фурье только приближенно, т.к. при этом предполагается периодическое повторение рассматриваемого интервала сигнала за пределами его задания. На стыках периодов при этом могут возникать разрывы и изломы сигнала, и возникать ошибки обработки, вызванные явлением Гиббса, для минимизации которых применяют определенные методы (весовые окна, продление интервалов задания сигналов, и т.п.). При дискретизации и во временной, и в частотной области, обычно говорят о дискретном преобразовании Фурье (ДПФ): S(n) = s(k) exp(-j2p kn/N), где N- количество отсчетов сигнала. Применяется оно для вычисления спектров мощности, оценивания передаточных функций и импульсных откликов, быстрого вычисления сверток при фильтрации, расчете корреляции, расчете преобразований Гильберта, и т.п. Расчет ДПФ по приведенной формуле требует вычисления n коэффициентов, каждый из которых зависит от k элементов исходного отрезка, так что число операций не может быть меньше nk. Существует целое семейство алгоритмов, известное, как Быстрое Преобразование Фурье - БПФ, сокращающее число операций для вычисления коэффициентов до n log(k). Быстрое не следует трактовать, как упрощенное или неточное. При точной арифметике результаты расчетов ДПФ и по алгоритмам БПФ совпадают.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ Известное применение находят и варианты преобразования Фурье: косинусное для четных и синусное для нечетных сигналов, а также преобразование Хартли, где базисными функциями являются суммы синусов и косинусов, что позволяет повысить производительность вычислений и избавиться от комплексной арифметики. Вместо косинусных и синусных функций используются также меандровые функции Уолша, принимающие значения только +1 и -1. И, наконец, в последнее время в задачах спектрально-временнного анализа нестационарных сигналов, изучения нестационарностей и локальных особенностей сигналов "под микроскопом", очистки от шумов и сжатия сигналов начинают получать в качестве базисов разложения вейвлеты ("короткие волны"), локализованные как во временной, так и в частотной области. Традиционные методы анализа данных предназначены, как правило, для линейных и стационарных сигналов и систем, и только в последние десятилетия начали активно развиваться методы анализа нелинейных, но стационарных и детерминированных систем, и линейных, но нестационарных данных­. Между тем, большинство естественных материальных процессов, реальных физических систем и соответствующих этим процессам и системам данных в той или иной мере являются нелинейными и нестационарными, и при анализе данных используются определенные упрощения, особенно в отношении априорно устанавливаемого базиса разложения данных. Необходимое условие корректного представления нелинейных и нестационарных данных заключается в том, чтобы иметь возможность формирования адаптивного базиса, функционально зависимого от содержания самих данных. Такой подход реализуется в методе преобразования Гильберта-Хуанга, хотя на данный момент без соответствующих достаточно строгих математических обоснований /54/. Хорошие результаты применения метода для решения многих практических задач позволяют надеяться, что за разработкой строгой теории метода дело не станет.

КЛЮЧЕВЫЕ ОПЕРАЦИИ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ Существуют многочисленные алгоритмы ЦОС как общего типа для сигналов в их классической временной форме (телекоммуникации, связь, телевидение и пр.), так и специализированные в самых различных отраслях науки и техники (геоинформатике, геологии и геофизике, медицине, биологии, военном деле, и пр.). Все эти алгоритмы, как правило – блочного типа, построенные на сколь угодно сложных комбинациях достаточно небольшого набора типовых цифровых операций, к основным из которых относятся свертка (конволюция), корреляция, фильтрация, функциональные преобразования, модуляция. Эти операции уже рассматривались в "Теории сигналов и систем". Ниже приводятся только ключевые позиции по этим операциям ("повторенье – мать ученья"). Линейная свертка – основная операция ЦОС, особенно в режиме реального времени. Для двух конечных причинных последовательностей h(n) и y(k) длиной соответственно N и K свертка определяется выражением: s(k) = h(n) * y(k) h(n) * y(k) = h(n) y(k-n), (1) где: * - символьные обозначения операции свертки. Как правило, в системах обработки одна из последовательностей y(k) представляет собой обрабатываемые данные (сигнал на входе системы), вторая h(n) – оператор (импульсный отклик) системы, а функция s(k) – выходной сигнал системы. В компьютерных системах с памятью для входных данных оператор h(n) может быть двусторонним от –N 1 до +N 2, например – симметричным h(-n) = h(n), с соответствующим изменением пределов суммирования в (1), что позволяет получать выходные данные без сдвига относительно входных. При строго корректной свертке с обработкой всех отсчетов входных данных размер выходного массива равен K+N 1 +N 2 -1, и должны задаваться начальные условия по отсчетам y(k) для значений y(0-n) до n=N 2, и конечные для y(K+n) до n=N 1. Пример выполнения свертки приведен на рис. 1.

КЛЮЧЕВЫЕ ОПЕРАЦИИ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ Рис. 1. Примеры дискретной свертки. Преобразование свертки однозначно определяет выходной сигнал для установленных значений входного сигнала при известном импульсном отклике системы. Обратная задача деконволюции - определение функции y(k) по функциям s(k) и h(n), имеет решение только при определенных условиях. Это объясняется тем, что свертка может существенно изменить частотный спектр сигнала s(k) и восстановление функции y(k) становится невозможным, если определенные частоты ее спектра в сигнале s(k) полностью утрачены.

КЛЮЧЕВЫЕ ОПЕРАЦИИ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ Корреляция существует в двух формах: автокорреляции и взаимной корреляции. Взаимно-корреляционная функция (ВКФ, cross-correlation function - CCF), и ее частный случай для центрированных сигналов функция взаимной ковариации (ФВК) – это показатель степени сходства формы и свойств двух сигналов. Для двух последовательностей x(k) и y(k) длиной К с нулевыми средними значениями оценка взаимной ковариации выполняется по формулам: K xy (n) = (1/(K-n+1)) x(k) y(k+n), n = 0, 1, 2, … (2) K xy (n) = (1/(K-n+1)) x(k-n) y(k), n = 0, -1, -2, … (3) Рис. 2. Функция взаимной ковариации двух детерминированных сигналов. Пример определения сдвига между двумя детерминированными сигналами, представленными радиоимпульсами, по максимуму ФВК приведен на рис. 2. По максимуму ФВК может определяться и сдвиг между сигналами, достаточно различными по форме.

КЛЮЧЕВЫЕ ОПЕРАЦИИ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ На рис. 3 приведен аналогичный пример ФВК двух одинаковых по форме сигналов, на один из которых наложен шумовой сигнал. Мощность шума превышает мощность сигнала. Вычисление ФВК на рисунке выполнено в двух вариантах. Вариант 1 полностью соответствует формуле (2). Но в условиях присутствия в сигналах достаточно мощных шумов вычисление ФВК обычно выполняется по варианту 2 – с постоянным нормировочным множителем. Это определяется тем, что по мере увеличения сдвига n и уменьшения количества суммируемых членов в формуле (2) за счет шумовых сигналов существенно нарастает ошибка оценки ФВК, которая к тому же увеличивается за счет нелинейного увеличения значения нормировочного множителя, особенно при малом количестве отсчетов. Сохранение множителя постоянным в какой-то мере компенсирует этот эффект. Рис. 3. ФВК двух сигналов, один из которых сильно зашумлен. На рис. 4 приведен пример вычисления функции взаимной ковариации двух одинаковых сигналов, скрытых в шумах. ФВК позволяет не только определить величину сдвига между сигналами, но и уверенно оценить период колебаний в исследуемых радиоимпульсах.

КЛЮЧЕВЫЕ ОПЕРАЦИИ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ Рис. 4. ФВК двух зашумленных радиоимпульсов. Относительный количественный показатель степени сходства двух сигналов x(k) и y(k) - функция взаимных корреляционных коэффициентов r xy (n). Она вычисляется через центрированные значения сигналов (для вычисления взаимной ковариации нецентрированных сигналов достаточно центрировать один из них), и нормируется на произведение значений стандартов (средних квадратических вариаций) функций x(k) и y(k): r xy (n) = K xy (n)/(s x s y ). (4) s x 2 = K xx (0) = (1/(K+1)) (x(k)) 2, s y 2 = K yy (0) = (1/(K+1)) (y(k)) 2. (5) Интервал изменения значений корреляционных коэффициентов при сдвигах n может изменяться от –1 (полная обратная корреляция) до 1 (полное сходство или стопроцентная корреляция). При сдвигах n, на которых наблюдаются нулевые значения r xy (n), сигналы некоррелированны. Коэффициент взаимной корреляции позволяет устанавливать наличие определенной связи между сигналами вне зависимости от физических свойств сигналов и их величины.

КЛЮЧЕВЫЕ ОПЕРАЦИИ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ Заметим, что в технической литературе в терминах "корреляция" и "ковариация" в настоящее время существуют накладки. Корреляционными функциями называют как функции по нецентрированным, так и по центрированным сигналам, а также и функцию взаимных корреляционных коэффициентов. Автокорреляционная функция (АКФ, correlation function, CF) является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, дает информацию о структуре сигнала и его динамике во времени. Она, по существу, является частным случаем ВКФ для одного сигнала и представляет собой скалярное произведение сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига: B x (n) = (1/(K-n+1)) x(k) x(k+n), n = 0, 1, 2, … (6) АКФ имеет максимальное значение при n=0 (умножение сигнала на самого себя), является четной функцией B xy (-n)=B xy (n), и значения АКФ для отрицательных координат обычно не вычисляются. АКФ центрированного сигнала K x (n) представляет собой функцию автоковариации (ФАК). ФАК, нормированная на свое значение K x (0)=s x 2 в n=0: r x (n) = K x (n)/K x (0) (7) называется функцией автокорреляционных коэффициентов. Рис. 5. Автокорреляционные функции

КЛЮЧЕВЫЕ ОПЕРАЦИИ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ В качестве примера на рис. 5 приведены два сигнала – прямоугольный импульс и радиоимпульс одинаковой длительности Т, и соответствующие данным сигналам формы их АКФ. Амплитуда колебаний радиоимпульса установлена равной амплитуды прямоугольного импульса, при этом энергии сигналов будут одинаковыми, что подтверждается равными значениями максимумов АКФ. При конечной длительности импульсов длительности АКФ также конечны, и равны удвоенным значениям длительности импульсов (при сдвиге копии конечного импульса на интервал его длительности как влево, так и вправо, произведение импульса со своей копией становится равным нулю). Частота колебаний АКФ радиоимпульса равна частоте колебаний заполнения радиоимпульса (боковые минимумы и максимумы АКФ возникают каждый раз при последовательных сдвигах копии радиоимпульса на половину периода колебаний его заполнения). Линейная цифровая фильтрация является одной из операций ЦОС, имеющих первостепенное значение, и определяется как s(k) = h(n) y(k-n), (8) где: h(n), n=0, 1, 2, …, N – коэффициенты фильтра, y(k) и s(k) – вход и выход фильтра. Это по сути свертка сигнала с импульсной характеристикой фильтра. Рис. 6. Трансверсальный цифровой фильтр

КЛЮЧЕВЫЕ ОПЕРАЦИИ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ На рис. 6 показана блок-схема фильтра, который в таком виде широко известен, как трансверсальный (z – задержка на один интервал дискретизации). К основным операциям фильтрации информации относят операции сглаживания, прогнозирования, дифференцирования, интегрирования и разделения сигналов, а также выделение информационных (полезных) сигналов и подавление шумов (помех). Основными методами цифровой фильтрации данных являются частотная селекция сигналов и оптимальная (адаптивная) фильтрация. Дискретные преобразования позволяют описывать сигналы с дискретным временем в частотных координатах или переходить от описания во временной области к описанию в частотной. Переход от временных (пространственных) координат к частотным необходим во многих приложениях обработки данных. Самым распространенным преобразованием является дискретное преобразование Фурье. При K отсчетов функции: S(n) = s(k) exp(-j 2p kn/K). (9) Напомним, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте - к периодизации функции. Для дискретных преобразований s(kDt) S(nDf), и функция, и ее спектр дискретны и периодичны, а числовые массивы их представления соответствуют заданию на главных периодах Т = KDt (от 0 до Т или от -Т/2 до Т/2), и 2f N = NDf (от -f N до f N ), где K, N – количество отсчетов сигнала и его спектра соответственно. При этом: Df = 1/T = 1/(KDt), Dt = 1/2f N = 1/(NDf), DtDf = 1/N, N = 2Tf N = K. (10) Соотношения (1.2.9) являются условиями информационной равноценности динамической и частотной форм представления дискретных сигналов. Другими словами: для преобразований без потерь информации число отсчетов функции и ее спектра должны быть одинаковыми. В принципе, согласно общей теории информации, последнее заключение действительно и для любых других видов линейных дискретных преобразований.

КЛЮЧЕВЫЕ ОПЕРАЦИИ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ Модуляция сигналов. Системы регистрации, обработки, интерпретации, хранения и использования информационных данных становятся все более распределенными, что требует коммуникации данных по высокочастотным каналам связи. Как правило, информационные сигналы являются низкочастотными и ограниченными по ширине спектра, в отличие от широкополосных высокочастотных каналов связи, рассчитанных на передачу сигналов от множества источников одновременно с частотным разделением каналов. Перенос спектра сигналов из низкочастотной области в выделенную для их передачи область высоких частот выполняется операцией модуляции. При модуляции значения информационного (модулирующего) сигнала переносятся на определенный параметр высокочастотного (несущего) сигнала. Самые распространенные схемы модуляции для передачи цифровой информации по широкополосным каналам – это амплитудная (amplitude shift keying – ASK), фазовая (phase shift keying – PSK) и частотная (frequensy shift keying – FSK) манипуляции. При передаче данных по цифровым сетям используется также импульсно-кодовая модуляция (pulse code modulation – PCM).

Спасибо за внимание!