Математика как эффективный инструмент познания Аркадий Львович Жохов В ШКОЛЕ И ВУЗАХ НАДО И МОЖНО СПЕЦИАЛЬНО ОБУЧАТЬ ПОЗНАНИЮ: ЭТО ИНТЕРЕСНО и ПОЛЕЗНО!

ОСНОВНОЙ ТЕЗИС: познание себя и мира через математику Что такое математика? (Рихард Курант, Герберт Роббинс): "войти в соприкосновение с самим содержанием живой математической науки" Математика – матрица устройства и развития мира… математические закономерности – основа красоты и гармонии природных объектов и явлений. Математика задаёт загадки и проблемы любознательному уму (сколько всего химических элементов? Что лежит в основе красоты?.) Математика впитала в себя и даёт людям основные инструменты познания: логику, средства, приёмы и способы (ОМП). Математика – основа инструментов и орудий учебного познания (от предметной деятельности до символической и компьютера). Математические закономерности – основа других областей знаний, технологий, деятельностей. Изучение математики формирует способности умственного труда, нередко продлевает физическую жизнь человека (С.М. Никольский). Познание математических закономерностей мира приучает к труду, к его упорядочиванию и результативности, даёт радость. Математика задаёт этические нормы общения, заинтересованного диалога, правильных рассуждений, нормы составления текстов.

ФАКТОРЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ ФАКТОРЫ 1. Стремление человека к удовлетворению жизненных нужд, к бытовым удобствам, благам, к подчинению среды обитания. Возникшие на этой основе и направленные на преобразование среды виды деятельности людей (общение, мыслительная овеществленная и практико- преобразующая деятельность, индивидуальная и коллективная). 2. Математика – источник саморазвития, поскольку: а) «существует объективно» как «идеальная материя», не зависящая от сознания людей и фиксирующая от них не зависящие закономерности устройства и развития мира; б) она – «предустановленная» гармония, «матрица мира», язык построения и развития моделей Вселенной и в) в любой, развитой уже человеком математической теории найдутся утверждения, истинность которых недоказуема ее средствами (К. Гёдель), и потому необходимы усилия человека по созданию новых теорий и их приложений. РЕЗУЛЬТАТЫ 1. Круг практико-ориентированных задач, «разрывов» между желаемым и возможным. Способность к созданию «естественно-искусственных» языков (Г.П. Щедровицкий), конструированию различных средств (теоретических, предметных, технических моделей), и способов мыследеятельности и практической деятельности. 2. Фрагменты «матрицы мира», воплощенные в творениях Природы, Человек с его способностью постигать их и воплощать в другом материале, разум людей как живой инструмент и деятельное начало воплощения Космического Разума, необходимые Живой Вселенной для самопознания и саморазвития через конструирование, реализацию, апробацию, принятие или отвержение конкретных «искусственно-естественных» моделей возможных «ноосферных» миров.

ФАКТОРЫ, РЕЗУЛЬТАТЫ (окончание) ФАКТОРЫ, РЕЗУЛЬТАТЫ (окончание) 3. Стремление человека к открытию для себя фрагментов «матрицы мира», к духовной жизни и культуре: к системному восприятию и осмыслению мира и познанию его красоты, гармонии, ценностей, к использованию системных средств и способов математического познания, к мысленному эксперименту, моделированию – построению идеальных средств, замещающих природные и умственные. 3. Способность к теоретической (знаково- символической, логико-доказательной, конструктивной и др.) деятельности моделирования и идеального преобразования мира, к созданию «превращенных» форм системного характера. Наработанные и оправдавшие себя типы кодов записи и переработки информации, различные модели, методы Математическое образование людей (от детей до взрослых) как формирование у них необходимых основ математической культуры, правильных ориентиров в жизни и профессиональной деятельности, как культивирование Будущего в форме освоенных методов и логики математического познания, исследования, грамотного моделирования. 5. Способности к математическому познанию и идеальному преобразованию мира с опорой на образцы знаний-средств: математические языки, типы ситуаций, прямые и обратные задачи, понятия и утверждения, методы построения "маленьких теорий" и разрешения парадоксов, функциональные зависимости, аналогии и пр. 6. Внутренние для математической науки противоречия, языковые проблемы, стремление математиков к их разрешению, к упорядочению отдельных фактов, их связыванию в более крупные блоки, к систематизации, обобщениям, к абстракциям более высокой ступени. 6. «Снятые», частично разрешённые, противоречия, аксиоматические теории и сконструированные модели, связанные друг с другом, очерченные области и границы их применимости, способы и средства прогнозирования с предсказуемой степенью точности.

Эти ФАКТОРЫ дают прямой выход на понимание метафизики математики как на связь и взаимную поддержку науки, религии и образования. НАУКА: по-мысли, т.е. доверься мысли, поверь в себя, наберись смелости и воли, будь свободен: наука не терпит авторитетов, кроме «неба над головой и нравственного закона во мне» (И. Кант), а потому: сотвори «умственный образ» – воспроизведи в «материализациях» – синтезируй в понятие и совокупность его примеров и утверждений о нем, усомнись, примени, откорректируй, докажи, воплоти в... РЕЛИГИЯ: верь не сомневаясь (верь, «потому что абсурдно» – Фома Аквинский) и действуй, создавай, следуя своему пониманию познаваемого объекта, цели, внутренним устремлениям, канонам математики, но не демонизируй их, не «создавай себе кумиров», а, при необходимости, отступай от них, хотя и в согласии с ранее полученными результатами. Сила – в гармонии мира и тебя, а также в том, что ты создан «по образу и подобию Создателя», то есть – прежде всего – ты тоже исследователь и создатель, но не разрушитель других миров и личностей. ОБРАЗОВАНИЕ: образуй себя и Другого настолько, чтобы воспринимать, чувствовать гармонию мира и не разрушать ее, а по мере возможностей поддерживать, продолжать ее постигать и созидать, опять же – «по образу и подобию», но теперь уже – следуя математическим образцам создания этой гармонии. Но для этого необходимо обучать-ся: а) математическому познанию как деятельности, как «трансцендентному (выходящему за рамки опыта) способу получения/передачи информации» о гармонии мира и как процессу и б) открытию/из-обретению новых математических моделей, новых – вначале для ученика, а затем – по возможности – и для других.

Мотивация познания – порождение умственного образа: что это? Почему?

ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ НАУЧНОГО (учебного) ПОЗНАНИЯ (А. Жохов) Конкретное переживаемое EE S S' S'' IV. Воплощение в конкретном материале: погружение в систему известных понятий, правил и утверждений, в алгоритмы и действия, вытекающие из системы исходных постулатов и др. E - совокупность данных собственного опыта, непосредственно переживаемого: результатов действий, ощущений, представлений, воображения, интуитивных усмотрений и т.п. Рис. 1, (А) – система исходных постулатов: понятий, аксиом, конструкций, принципов I.I. III. Фрагмент знаний о мире II. Этапы познания: I – возникает умственный образ (УО): «это интересно: что это?!»; II – материализация и перекодирование, эмпирическое познание, проблемные ситуации; III – «есть идея! эврика!»: зарождение понятия как результат интеграции всевозможных кодов и устранения привязки к конкретному образу; IV – воплощение в конкретном материале (погружение в систему S, S', S'' - известных или новых понятий, формул, действий, деятельностей…) – коды записи и переработки информации (средства, инструменты, механизмы познания): 1 – код конкретных переживаний (восприятий, представлений, «движений» чувств, интуиции, действий, т.п.) 2 – словесный (описание на общепринятом языке, словесное творчество); 3 – изобразительный (рисунки, схемы, картины, графы и т.п.); 4 – предметно-практический (природные объекты, овеществленные модели, алгоритмы, технологии и др.); 5 – язык движений и действий, в т.ч. – жестов, манипуляций, наложений, отображений, преобразований; 6 – символический (словесно-символический: символы, их пояснения, преобразования и т.п.); другие коды. – возможные моменты «примысливания» (Р. Декарт): зарождения новых умственных образов в процессе перекодирования – при переходах от одного кода к другому, при встрече с проблемами, при сравнении результатов познания разными средствами, при использовании разных методов…

Мотивация к познанию мира: мировые константы круговая или сферическая константа = 3, , константа золотого сечения: Φ=1, … (цветочек сирени, цветок лотоса и мн. др.); правильная пятиконечная звезда с углом золотого сечения С φ = 31 о, , φ (tgС φ ) = 0, , атомная масса водорода m н = 1, , неперово число е = 2, константа квантового перехода С е3 = 0, , эволюционная константа С e = 0, , энергия полумассы атома водорода минус 0, её часть, квантовая константа Р q = 1, Почему записи чисел заканчиваются многоточием? i – мнимая единица, известная формула Эйлера: е i = -1, Сведения взяты из различных источников, значимыми из которых, особенно при рассмотрении генома мира и мировых констант, являются: [3], [27], [32] из работы Жохов, А.Л. Формирование начал… ЯГПУ – 2011,

МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ, ВИСЯЧИЕ СИСТЕМЫ (висячие покрытия В.Г. Шухова: завод Бари в Москве, 1893г.; выставочные павильоны в Нижнем Новгороде, 1896г.

ГАРМОНИЯ: ФУНКЦИОНАЛЬНОСТЬ + КРАСОТА Очертание тюльпана (рис. слева) и очертание лилии (рис. справа) каждое передаётся одной ветвью кривой3-го порядка. Структурные особенности: динамичность венчика, жесткость его формы, принцип организации лепестков (кручение), их направляющие и др.

МАТЕМАТИКА В ПРИРОДЕ: СТЕБЕЛИ ЗЛАКОВ Рис. 57. В функциональном отношении внутреннее построение стебля в значительной степени определено пространственной организацией несущей (опорной) ткани. Она в сочетании с сокопроводящими тяжами, расположенными по внешнему контуру междоузлий, образует систему пространственных несущих оболочек и клеток, обеспечивающих вертикальные и горизонтальные связи клеточных пространств. Основной принцип структурной организации – «золотое сечение», в котором находятся внешний и внутренний диаметры несущего стебля Φ 1,618 – число Фидия. Рис. 57

ФРАКТАЛЫ: ГАРМОНИЯ И ХАОС Множество Мандельброта (показано черным) – множество точек комплексной плоскости, для которых последовательность итераций f 1 (0) = f(0), f 2 (0) = f(f(0)), … (где f(z) = z 2 + c) не стремится к бесконечности. Оно целиком содержит некоторый круг, а потому имеет топологическую размерность 2. В то же время хаусдорфова размерность его границы тоже 2, а топологическая равна 1. Может служить моделью морских приливов. Кадры (x = Rec, y=Im c) a: - 2,1x0,6; -1,2y 1,2; б: -1,3x-1,2; 0,12y0,22; в: - 0,83x-0,73; 0y 0,2; г: 0x0,1; 0,6y 0,7.

Интрига 1: хорошо ли мы понимаем услышанное и прочитанное? Движение Движенья нет, сказал мудрец брадатый. Другой смолчал и стал пред ним ходить. Сильнее бы не мог он возразить; Хвалили все ответ замысловатый. - Обратите внимание на наклонение глаголов в этих частях стихотворения и на слово "замысловатый". Почему именно их использовал поэт и именно в двух последних строчках? Что хотел он этим сказать, подчеркнуть?.. С большими затруднениями и только после прямой подсказки учителя учащиеся начинают понимать, что поэт не так-то прост: он использует разные наклонения глаголов и ироническое «замысловатый»). Что он с иронией принимает? Уместна ли ирония? Почему? - Как вы считаете, хороший способ опровержения первого утверждения "движенья нет" выбрал другой мудрец?.. Может ли демонстрация движения служить опровержением утверждения? Голословное ли, пустяшное ли было это утверждение, как бы вы поступили?.. - Кто знает, кто написал это стихотворение и по какому поводу? что это были за мудрецы и о чём на самом деле спор?.. Послушайте окончание стихотворения… Но, господа, забавный случай сей Другой пример на память мне приводит: Ведь каждый день пред нами солнце ходит, Однако ж прав упрямый Галилей. - Задания с/р. 1. Про что, про какое это говорит поэт и почему? Воспринимал ли поэт математику, физику? Какие желания у вас возникли? Что будете делать и как? Запишите эти желания в тетрадь для с/р. 2. Установите, в чём суть спора мудрецов, почему этот спор возник и чем он полезен для нас. 3. Подготовьте сообщение на тему: "Апории Зенона" с подробным их изложением и современным разъяснением этого вопроса. 4. Найдите информацию и ответьте на вопросы: Под влиянием чего написал поэт стихотворение, насколько оно было актуально в ту пору? В какое время католическая церковь осудила работы Галилея и почему? Как обстоит дело с осуждением Галилея сейчас – снято ли оно? - Сравните стиль двух первых и последних строк первого четверостишия? Заметили различие? какое?.. (Увы! – довольно часто ни учащиеся, ни студенты ничего не подмечают…). – В чём причина?

I УО. Фрагменты знаний о мире Конкретное переживаемое - совокупность данных собственного опыта, непосредственно пережитого (это как?) E Психические формы E: любопытство, желание узнать: ощущения, восприятия, «движения» чувств, воспоминания, воображение, интуиция, умственный образ, опыт действий, результаты… ПЕРВЫЙ ЭТАП – возникновение умственного образа (УО) "Образ – структурированное и формализованное сознанием представление ощущений или восприятий … это их синтез, интенция, организованные сознанием " (Сило – Марио Л.Р. Кобос) Цель этапа I: включить себя в процессы любознания: конструирования, осознания и применения УО, его коррекции, дальнейшего познания и создания условий для перехода на второй этап. Задачи: учить-ся любознанию: 1) чувствовать, воспринимать и понимать свой УО и сообщать об этом Другому; 2) использовать различные коды записи информации для "материализации" УО, улавливать оттенки различных материализаций, ставить вопросы про это, 3) понимать себя и УО, свои познавательные действия, как мы ими пользуемся; 4) выделять общее и отличительное, аналогичное и несходное… Внутреннее побуждение к познанию – действие,воля: А. Что это? С чем ассоциируется, с чем пережитым мной связано? Какой образ порождает? Опишите это… В. Каковы связи с другими это? Вспомните. Расскажите С. как возникло или возникает это, где применяется? При каких обстоятельствах это полезно, в т.ч. мне? D. Как, когда и какими средствами познавать это? Как я буду это познавать дальше? Дайте свои предложения… Пример задания: конкретизируйте эти вопросы по отношению к известным терминам число, площадь, предел, функция… С чем связывается у меня, например, слово предел? Приведите примеры (стрельба в цель, эстафета, движение к намеченной цели…). Что мне в этом не ясно? Какие вопросы возникают, остаются?..

ВТОРОЙ ЭТАП – МАТЕРИАЛИЗАЦИЯ УО в кодах записи информации: Р.Декарт: "Образ должен умереть!" На самом деле: "умереть" должна привязка УО к источнику возникновения УО Моменты пограничных ситуаций, примысливание нового, обобщение К этапу III понятийного осмысления, к теории Цель этапа II: овладеть различными необходимыми культурными знаками (кодами записи и переработки информации и переходами от одного к другому в любом порядке), создать условия для перехода на третий этап Задачи: учим себя (учим-ся): 1) фиксировать и передавать в примерах, различных кодах записи информации своё понимание УО; 2) для разных задач подбирать наиболее информативные коды "материализации", пользоваться; 3) уточнять средства и понимание УО (что это?), улавливать проблемы при переходах от одного кода к другому, ставить вопросы, 4) осознавать недостаточность только материализованных моделей, необходимость перехода к теории (так ли это? Почему, на каком основании так? Как это доказать? Как по-другому это проверить?). Как же познавать себя, мир? Пример. Что же такое предел, предел чего, как описать его достижимость? Две зависимые переменные. Расстояние! Как вычислять пределы? Что такое предел функции, при каких условиях он существует? Как доказывать существование или отсутствие предела? Есть ли какие-то особенные пределы? Арифметика пределов. Построение начал теории пределов, пределы замечательные, техника вычисления, применения…

Чему целесообразно обучать с помощью математики Самостоятельно настраивать внимание на целостное восприятие ситуации и объекта познания, на выявление его структуры (анализ через синтез); «схватывать» и обыгрывать «внутренние формы» сложных объектов, их продуктивно преобразовывать с использованием знаковых средств; варьировать знаковые формы, анализировать их, выбирать наиболее продуктивные для постижения ОП как целостности (системы); переходить от частей к целому и обратно, преобразовывать целое, выявлять средства деятельности и использовать их на новом материале, осуществлять переходы от одного средства к другому (синтез через анализ); выявлять и преобразовывать логические стороны объекта и деятельности, преобразовывать их в модель (стратегию) деятельности; находить, формировать или выбирать из известных знаковые формы, более «работоспособные», продуктивные абстракции; представлять цель деятельности как модель возможного её результата, искать пути, средства и методы её достижения вместе с их осознанием; осознавать целесообразность введения нового инструмента и новых средств познания и стремиться к этому; устанавливать границы знакового моделирования; осознавать роль целостного представления объектов познания; перестраивать тактики внимания с объекта на образцы деятельности с ним и его знаковыми моделями; выявлять, строить и опробовать образцы; продуктивно связывать и использовать общее и особенное, развивать процедуры содержательного обобщения вплоть до синтеза…

Преодоление психолого-гноселогических барьеров в МО как цель барьер нежелания и неумения упорно и настойчиво учить-ся – учить самих себя, непонимание того, что учение – это упорный и постоянный, приносящий радость труд; барьер иждивенчества: "…если дитя спрашивает, то учитель должен ответить на все вопросы ясно и … беспристрастно" ( из письма группы служащих Максиму Горькому ); барьер абсолютизации отдельных научных фактов, воспринимаемых вне их системы, в отрыве от источника и условий их возникновения, барьер псевдообъективности: научные факты не зависят от человека, создающего научные идеализации, от средств, которые он использует и даже часто не осознает этого; математические факты не зависят от практики их применения в рамках познания математики, в её приложениях; преувеличение доверия опыту, в том числе и книжному, когда единственным аргументом "знания" становится не желание понять и исследовать, а опора на то, что так «нас научили», «так в книге», а в пользу или в опровержение чего-либо приводится утверждение: «так показывали, объясняли…», при этом требование использовать теорию учащимся и студентами часто воспринимается как насилие; натурфилософского и жёстко детерминистского подхода к познанию мира, перерастающего в барьер прагматизма: противостояние объекта и субъекта познания, отрицание или не учет вероятностных характеристик и закономерностей, механистичность вместо диалектики, неправомерные классификации, т.п.; барьер эклектизма и беспринципности – прежде всего, как предрасположенность и стремление человека к некритическому использованию положений из по существу различных концепций или теорий. Проявляется при стремлении любыми путями и средствами отстоять свою и раскритиковать иную точку зрения; недостаточного понимания и учета фактора личности (в познании известного, в обучении, в саморазвитии) и другие.

Действия в составе деятельности по преобразованию познаваемого объекта настрой внимания на целостное восприятие и понимание ситуации и объекта познания, выявление и преобразование его знаковых форм и структуры; осознание условий зарождения объекта познания [4, 5, 6]; преобразование цели изучения объекта познания как внешне задаваемой для ученика в цель его деятельности как агента познания [7, с.79]; анализ через синтез (С.Л.Рубинштейн) – выявление, вычленение в целостности её структурных компонентов; преобразование внешних и внутренних форм математических объектов, «схватывание» и обыгрывание «внутренних форм» сложных объектов, их продуктивное преобразование с использованием знаковых средств; выражение в знаковых средствах содержания своих представлений о познаваемом объекте как представление для другого; их критика как «нахождение возможностей усовершенствования…» [1, с.193]; слушать и слышать: осознание того, что мы говорим, думаем и как это происходит: «познавая это, познавать многое» [8, с.56]; контролируемые сознанием переходы от одного кода записи и переработки информации к другим [3, 4, 9]; осознание целесообразности введения нового инструмента – понятия, погружение его в систему понятий, в том числе ранее освоенных, осознание его характеристик и логических связей как новых средств познания [3,5,6]; поиск, «формирование» и выбор более «работоспособной», информативной знаковой модели, восхождение к продуктивной абстракции [6]; выявление и преобразование логической структуры объекта и деятельности, преобразование её в стратегию деятельности [4, 6]; освоение теоретического понятия в системе понятий; осознание полезности и недостаточности техники (без теории); формирование опыта применения и построения теоретических знаний…

Кёнигсбергские мосты, ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР ( ) и др. Кёнигсберг (ныне Калининград) расположен на реке Прегель. В пределах города река омывает два острова. С берегов на острова перекинуты мосты. Жители предлагали приезжим следующую задачу: Можно ли пройти из начального пункта по всем мостам и вернуться в начальный пункт, побывав на каждом мосту только один раз? Основы теории графов как математической науки заложил в 1736г. Леонард Эйлер, рассматривая задачу о кенигсбергских мостах. Из решения Эйлером этой задачи (а точнее из доказательства о невозможности её решения) родилась новый раздел математики – теория графов. – Что это? Уникурсальная кривая. Узлы и фокусы. Лист Мёбиуса. Топология, компакты и мн. др. Шутка: "Тополог – это человек, который чашку не отличает от бублика"

Основные и обратные арифметические операции Прямое действие (операция) (I) Сложение a + b = b + а = c (II) Умножение a · b = b · a = c (III) Возведение а в b-ю степень a b = c. Для этой операции можно использовать и такой символ: а b = с. (IV, V) Как найти неизвестное? – Решить уравнения x + b = c (a + x = c) x · b = c (a x = c) Два различных типа уравнений! x b = c – найти неизвестное основание a x = c – найти показатель степени Обратное действие (операция) Вычитание : x = c – b, (x = c – a) Что значит вычесть? Деление: x = c : b ( x = c : a) Что значит разделить? Извлечение корня b-й степени из с: Нахождение показателя (логарифма) по известным a и c (?) Новое понятие – неизвестный компонент Разность из c числа b (из с числа а) Частное от деления с на b (с на а) Корень b-й степени из числа с (радикал ) Логарифм числа с по основанию а: x = log a c Условия выполнения операции и существования результата Для любых действительных чисел c, b, a Для любых действительных чисел, кроме b=0 (a = 0) Почему? b = 1 (возможно?), с –? b N – возможны ли другие значения? а - ? с - ? Почему а > 0 и почему полезен запрет: а 1? Переход к функциям: формула, область определения, свойства... Будем в уравнениях постепенно изменять по нашему выбору х, что происходит? – Каждому х будет соответствовать одно с: с = f(х) – функция (!) Что в этих случаях зависит только от нашего выбора? Что принять за аргумент х, за значения функции у?

Теорема Пифагора – что мы знаем о Пифагоре? Кто открыл «теорему невесты», "нимфы", которая известна большинству как теорема Пифагора («Технология обучения в глобальных информационных сетях» (ТОГИС) Журнал «Директор школы», 8, 2001 г. ) «Пифагоровы штаны» А B S = S 1 + S 2 Z a x X a z ayay a a 2 = a x 2 +a y 2 +a z 2 O Рис.1. X a ayay axax Y d b a d a c 2 = a 2 + b 2 c b S1S1 S2S2 S = S 1 + S 2 S2S2 С S1S1 S2S2 Верёвка с 12-ю узлами

Пример 2. ЗАДАЧА ПРО АВТОБУС (СЛОВЕСНЫЙ КОД) По прямолинейному шоссе едет экскурсионный автобус. В стороне от шоссе, под некоторым углом к нему, расположен храм (дворец). В каком месте на шоссе нужно остановить автобус, чтобы с этого места экскурсанты могли лучше всего рассмотреть фасад здания? КОД «ПЕРЕЖИВАНИЙ», ОПЫТА + ИЗОБРАЗИТЕЛЬНЫЙ КОД (1 - рисунок). ИЗОБРАЗИТЕЛЬНЫЙ КОД(2 – геометрический рис.) + СЛОВЕСНО-СИМВОЛИЧЕСКИЙ Математическая модель 1 (задача): На плоскости дана прямая l и не пересекающий её отрезок АB. Найти на прямой l такую точку Р, чтобы угол АРВ имел наибольшую величину. - Одна такая точка? – Не знаем. Множество Н. СИМВОЛИЧЕСКИЙ КОД (модель 2): H = {P l| APB – max: APB > AP B} = {М l| AМB – max} (*) ПОИСК ОПОР И ИДЕИ – уточнение УО (аналогия?!) (1) Преобразование моделей: от чего можно отказаться в моделях (2) или (*)? Гипотеза: откажемся (пока!) от: а) принадлежности т. М прямой l и б) MAX угла AМB: пусть М и AМB = – фиксированный (!).Тогда, сохраняя главное, мы строим Н = {М | AМB = } – модель 3. (2) Поиск знаний-средств: уточнения слов, идеи, зарисовки, измерения, гипотезы... Изучим, как зависит величина угла AMВ от положения точки М на всей плоск. (а не только на l). Множеством точек М плоскости, для которых угол AMВ имеет заданную величину, является пара симметричных дуг с концами в точках А и В (одна идея!). На рис. изображено несколько таких дуг, и на каждой написано, какому она соответствует. Задача сводится к выбору из всех дуг, задевающих прямую l (рис. 2) той, которая соответствует наибольшему значению АМВ (восстанавливаем а и б), и М l. Подмечаем по рис. 2 (верхний), что такой точкой будет точка Р 1, в которой окружность с 1 будет касаться прямой l (это вторая идея!). Видимо (а это доказуемо?), также дело обстоит и для дуг, симметричных относительно АВ. (3) Объединяя обе идеи, приходим к рис. 2 (внизу). Остается построить и доказать! l A B P P M Рис. 1 Рис. 2

Пример 3. Учебная ситуация 4 (прикладная задача). Ситуация 4 (10-11 кл., 1 курс ФМФ). При застройке некоторого жилого массива общей жилой площадью, например, кв. м, строительная фирма встала перед необходимостью определения наименьших затрат на строительство. Какую сумму затрат планировать? Как помочь правильно ответить на вопрос? Для разрешения ситуации строим её модели как ряд задач: 1) на нахождение аналитического выражения для функциональной зависимости с использованием а) дополнительных данных и б) промежуточной модели; 2) математическую задачу исследования составленной функции на наименьшее значение. Дополнительные данные находим, например, из следующих условий: 1. Затраты на постройку одного дома некоторой жилой площадью s кв. м складываются из двух существенно различных: 1) стоимости фундамента, пропорциональной s, и 2) стоимости наземной части, пропорциональной s (как видим, нужно знать коэффициенты пропорциональности - k, и k 2 ). 2. При строительстве дома жилой площадью 1600 кв. м было израсходовано рублей, причем стоимость наземной части составила 32% стоимости фундамента. По этим данным находим соответствующие коэффициенты пропорциональности k, и k 2 в процессе решения промежуточной математической модели задачи, которой на данном этапе выступает система уравнений (*), учитывая при этом соотношения: с = с 1 + с 2 ; с 1 = k 1 s; c 2 = k 2 s s; c 2 = 32%с 1. Из нее нетрудно найти: k 1 = 3500; k 2 = 0,7. И для искомой функции окончательно получаем: С(n) = (c1 + c2)n = (n + 8) n. Замечаем, что n – пока любое натуральное число (!). Именно эта функция позволяет сформулировать математическую задачу как модель ситуации: «Найти наименьшее значение функции-стоимости на каком-то промежутке (на каком ?)». Далее – ступеньки познания: идеализация: n – произвольное действительное число (зачем?); аппарат производной для отыскания наименьшего значения функции на промежутке. Для функции С(х) на промежутке |1, ) получим окончательно: функция принимает наименьшее значение С = (с точностью до целых) при х=8. Это – искомое математической задачи. Еще один шаг познания – перейти к исходной ситуации, к прототипу, реальному аналогу математической модели, «проверив» выводы теории «на практике», по возможности, скорректировать как саму задачу, так и ее результаты.

Пример 3. Учебная ситуация 5 (золотое сечение; учебный проект) Ситуация 5 (по материалам книг: [8] и – С.14-18). Известно высказывание Д.И.Менделеева: «Природа стремится к максимуму разнообразия через минимум форм». Именно этим принципом руководствовался наш знаменитый соотечественник при открытии им закономерностей таблицы химических элементов. Проявляется эта закономерность и в природных объектах, что было подмечено ещё Фидием – древнегреческим скульптором, создавшим образцы скульптур человека. Закономерность может быть выражена на языке математических пропорций: на половине единичного отрезка [0,5; 1] выбрать точку х так, чтобы из трёх соотношений по меньшей мере два были равными. Решение задачи сводится к следующему: Если приравнять последние две дроби, то получается вырожденный случай: х = 1. Если равны крайние дроби, то приходим к уравнению: х 2 + х = 1. Его корнями являются числа Фидия: = и –Φ =. – малое число Фидия, или золотое сечение как отношение меньшего отрезка к большему. Именно в этом отношении находятся части пятиконечной звезды, внутренний диаметр злакового стебля к его внешнему диаметру, некоторые соотношения частей тела человека и многое другое [8, с. 157]. Учёт этого соотношения позволяет, например, сделать удачный (в смысле наиболее подходящий по красоте – пропорциональности длины ноги к высоте) выбор величины каблука своих туфель. Закончите начатое исследование, в том числе постарайтесь определить высоту каблука своих туфель, более всего отвечающую принципу золотого сечения. Где ещё мы встречаемся с золотой пропорцией?

ЧТО я хочу преодолеть в себе? a) привычка к поверхностному восприятию и кратковременному запоминанию отдельных единиц информации (чтобы ответить, сдать…); b) отсутствие побуждения и неумение самостоятельно и кропотливо работать с источниками знаний, их переосмысливать; стремление к их «дословному» и простому воспроизведению (не возникает вопросов типа: "почему так? Как можно по-другому?"); c) нежелание и, как следствие, неумение сопоставлять разные сведения об объекте познания (ОП), почти безоговорочная вера в их достоверность («так написано, сказано в учебнике»), отождествление информации и знаний; d) неумение использовать различные коды записи и переработки информации (материализованные модели ОП), самостоятельно и без существенного искажения информации переходить от одной из них к другим; e) привычка искать в текстах и запоминать готовые и, как правило, однозначные ответы на поставленные вопросы; f) некритическая опора лишь на шаблоны, на примеры (формулировок, рассуждений, решений задач, рисунков и др.), представленные в пособиях; g) склонность к отвлечению от начатой деятельности, неспособность волей, своим участием её поддержать, склонность к простому созерцанию; h) неспособность к критическому и обосновывающему обсуждению информации (коммуникации), к работе в парах, группах по этому поводу; i) слабая гибкость мышления (неумение ставить вопросы к прочитанному, услышанному или увиденному); j) другие… (назовите) КАК ПРЕОДОЛЕТЬ ЭТИ И ДРУГИЕ НЕДОСТАТКИ? Наше предложение – опора на ОМП..

ЧТО я хочу развить и воспитать в себе? Как? Я хочу научиться познавать себя и мир: собирать отдельную информацию об изучаемом объекте, соединять её в систему (искать ответы на вопросы: "что это? с чем ранее мне известным, изученным это связано? Как? Почему? На что похоже? От чего и чем отличается? Как может быть использовано?.."); самостоятельно использовать различные коды записи и переработки информации (материализованные модели УО ОП), переходить от одной из них к другим в поисках дополнительной информации (какая новая мысль об этом у меня возникает, какие новые примеры или решения я могу придумать?); самостоятельно и кропотливо работать с источниками знаний, умение их переосмысливать: фиксировать возникающие вопросы и найденные ответы (задавать и искать ответы на вопросы: "почему это так? Как можно по- другому? Что я могу?"); заставлять себя по нескольку раз возвращаться к ранее изученному, в новых обстоятельствах, на другом материале (использовалось ли это раньше, как?); доказывать это, что при этом использовать, на что опираться? (Что лежит в основе этого?) Нельзя ли составить похожую задачу, придумать другое доказательство, рассмотреть другие примеры? доводить начатое до логического и(или) практического завершения: нет ли упущений в условии, в решении, в доказательстве, можно ли придумать примеры, есть ли контрпримеры? изменять объект познания (это), переформулировать для него задания; продолжить и распространить начатое. Как дальше развивать свои умения и знания, на какие случаи можно распространить? Где ещё можно (или нельзя) применить это? Почему?

О логике познания согласно ОМП выбор объектов познания (ОП) и определение личного отношения к ним; возникновение умственного образа (УО); любознание, осмысление-переживание: "Что это?! Чем интересно мне, другому? Что с этим можно делать?" опытное познание: акт воли, материализация УО ОП в культурных знаках, перекодирование, преобразование; создание проблемных ситуаций, воспроизводство "новых" знаний как средств разрешения ситуаций; ответственность (согласование с известным, обоснование, публикация, критика, презентация); воплощение в ином материале, перенос в новые ситуации (погружение в систему S, S', S'' - известных или новых понятий, примеров, формул, действий, новых средств…).

ЦИТАТЫ ("Картезианские размышления" М.: "Прогресс"; "Культура", – 352 с.) Вся трудность заключается в извлечении мысли из словесной оболочки языка (Ю.П.Сенокосов)...если жив Декарт, если я мысленно держу Декарта или Канта живыми, то жив и я (М.Мамардашвили) …не искать никакой науки кроме той, которую можно найти в себе самом или в громадной книге света… (Рене Декарт) Суть философии Декарта: мир, во-первых, всегда нов, во-вторых, в нём есть место дл меня, и, в- третьих, если я забуду то, что от меня, то не будет и ничего другого, будет хаос… …спать нельзя. Заснёшь – и порядка (непрерывности, перманентности творения) не будет, истины не будет, чисел не будет, совершенных предметов, так как совершенные предметы держатся на вершине волны усилия. Не спим – держится. Истина не установилась, а всё время устанавливается. COGITO –это зазор: "двинулся, и потом возникли": необходимость, истина, красота, закономерность… - метафизика апостериори: (не априори). АКТ COGITO: "надо осмелиться и верить", следовательно, нужна воля к движению мысли, к действию… Рене Декарт (1993 – г.) Он исключил из бытия Всё то, что сам не понял: Не совершил, не полюбил, Не сделал своей болью… В чем нет участья моего – Проходит быстро мимо, Лишь обдувая ветерком, Слегка коснувшись милых… Но сделал шаг, помыслил волей – Тогда ты точно в мире есть: Ведь миру твоей болью Бог посылает весть. Я есть – пока в движенье я, Пока участник я событий, Пока участвую в тебе любя, Не называя своей милой. Пока не равнодушен я – И в мире злу нет места, Пока я в бытии твоем, – Я жив. Надеюсь – вместе, вместе… И только то, что «из меня», Что отзовется во мне болью – То мысль моя, судьба моя И действо «быть», и воля. И вдруг понятны стали мне Биномы, кубы, экспоненты: Они живут теперь во мне – Поэзии моменты. Я понял вдруг, что в XXI-м Быть слабым духом – не к лицу, Что не пристало молодцу Забыть Декарта инструменты: Вселенная – она во мне, Не Бог я, но Ему подобен: Лишь захочу – могу творить, И мир познать трудом Любови.

МАТЕМАТИКА В ПРИРОДЕ: УЛИТКА Вызывает удивление соответствие ширины витков раковины Turrintella dublicata (рис. слева) закону геометрической прогрессии. На рис. справа показана раковина Nautilus, образованная на основе логарифмической спирали.

МАТЕМАТИКА В ПРИРОДЕ: ВИДЫ СИММЕТРИИ Циклическая симметрия 5-го порядка наблюдается у многих цветов: у шиповника, едкого остреца и др. Яблоко в поперечном разрезе – также образец этой симметрии (рис. 1). В животном мире этот вид симметрии встречается только у низкоорганизованных животных, например, у морской звезды (рис. 2). На рис. 3 – цветок ириса: симметрия 3-го порядка. Выводы: 1) геометрия природных форм математически упорядочена; 2) через природу – к математике и созданию природоподобных средств для человека. рис. 1 рис. 2 рис. 3

МАТЕМАТИКА В ПРИРОДЕ: ЦВЕТОК ЛОТОСА Комментарий:. Цветы – символ красоты и изящества. Не теряя устойчивости, они опускаются и поднимаются, поворачиваются к солнцу, открываются и закрываются… В чём причина прочности? Цветок лотоса пример динамической конструкции в природе, развивающейся в пространстве.

МАТЕМАТИКА В ПРИРОДЕ: ПРИРОДНЫЕ ОБОЛОЧКИ Поверхности биоформ- оболочек характеризуются положительной гауссовой кривизной (по типу сферы, эллипсоида), отрицательной (седлообразная форма) и реже нулевой (цилиндр или конус). Индекс формы – это отношение max поперечного диаметра к его длине, умноженному на 100, колеблется в широких пределах (поисследуем?). Рис. 26. Различные формы птичьих яиц:а удода, = 0,57; б перепелятника, = 0,84; в травника, = 0,63 (вращение частей окружности и параболы) Рис. 27. Очертание формы яйца семейства куриных по овалу Мюнгера - кривая 6- го порядка с уравнением

МАТЕМАТИКА В ПРИРОДЕ: МОРСКОЙ ГРЕБЕШОК Рис. 28. Морской гребешок пример двустворчатой волнистой оболочки. Ее динамическая форма, мягкий пастельный цвет, лёгкая и надёжная конструкция испытаны тяжестью толщи воды, она является готовым природным пространственным покрытием. Активно используется в архитектуре в качестве прототипа рациональных и прочных конструктивных форм.

ЗОЛОТАЯ ПРОПОРЦИЯ У ЧЕЛОВЕКА: рисунок Леонардо да Винчи «Если ты раздвинешь ноги настолько, что убавишься в росте на 1/14, и если ты разведешь руки и поднимешь их так, что коснёшься средними пальцами линии макушки головы, то должен знать, что центром круга, описанного концами вытянутых членов, будет пупок и что пространство между ногами образует равносторонний треугольник. А пролёт распростёртых рук человека равен его росту». Кроме того: отношение расстояния от макушки до кончика носа к расстоянию от него до подбородка, или: от макушки до пупка к расстоянию от пупка до плоскости, на которой стоишь, равно приближённо 0,618 – малому числу Фидия.