Г.И. Баренблатт, А.Дж. Корин, В.М. Простокишин Турбулентные течения при очень больших числах Рейнольдса (lnRe>>1): уроки новых исследований 1

Течение в гладких трубах lnRe >> 1 Течение в пограничном слоеПристеночная струя Универсальный логарифмический закон

U - «средняя» скорость (поток, деленный на площадь сечения ) - динамическая скорость - плотность жидкости - напряжение трения на стенке - вязкость жидкости lnRe >> Универсальные, не зависящие от числа Re константы Фиксировано Растет должно быть так

4 x x+r u uLuL Продольная структурная функция, определяющая все компоненты тензора вторых моментов Универсальная константа Удельная скорость диссипации энергии в тепло lnRe >> 1 Закон Колмогорова-Обухова

5 На основе этих хорошо установленных экспериментальных фактов мы делаем предположение, что вне близкой окрестности стенки распределение скорости не зависит от вязкости Wir gründen auf diese experimentell festgestellten Tatsachen die Annahme, dass, abgesehen von der Wandnähe, die Geschwindigkeitsverteilung der mittleren Strömung von der Zähigkeit unabhängig ist. von Kármán ( ):

Herr Prandtl ( ): Новые расчеты Кармана обозначают вдохновляющий прогресс в проблеме турбулентного трения. До сих пор получалось так, что при продвижении к более высоким числам Рейнольдса предыдущие интерполяционные формулы оказывались неудовлетворительными при экстраполяции во вновь исследуемую область и их надо было заменять новыми. Исследовательские лаборатории предпринимали большие усилия для достижения более высоких чисел Рейнольдса, но стоимость больших экспериментальных установок имеет некоторую границу, которую нельзя существенно перейти. Благодаря формулам Кармана дальнейшие усилия в этом направлении становятся ненужными. Формулы настолько хорошо согласуются для течений в трубах с опытами Никурадзе, а также Шиллера и Германна, и с экспериментами по определению сопротивления пластин, выполненными Кемпфом, что им можно оказать полное доверие при приложении к как угодно большим числам Рейнольдса. 6

lnRe >> 1 von Kármán-Prandtl universal (Reynolds-number-independent) logarithmic law 7

- безразмерный градиент скорости lnRe >> 1 8 Безразмерный градиент скорости может зависеть только от двух безразмерных параметров: Основные безразмерны параметры U, d, y, Идея вывода Ландау (1944)

- безразмерный градиент скорости lnRe >> 1 9 Казалось бы естественно предположить, что при η функция ΦConst ( =1/κ) Безразмерный градиент скорости может зависеть только от двух безразмерных параметров: Основные безразмерны параметры U, d, y, Безразмерная функция viscosity Универсальная константа Идея вывода Ландау (1944)

- безразмерный градиент скорости lnRe >> 1 10 Казалось бы естественно предположить, что при η функция ΦConst ( =1/κ) Безразмерный градиент скорости может зависеть только от двух безразмерных параметров: Основные безразмерны параметры U, d, y, Безразмерная функция viscosity Интегрирование дает: Универсальные константы Идея вывода Ландау (1944)

Должно быть так 11 Обозначения могут быть разными, но универсальные константы должны быть константами

Закон Кармана-Прандтля с (??) универсальными константами Должно быть так 12 Обозначения могут быть разными, но универсальные константы должны быть константами

13 «универсальная» константа Кармана «универсальная» аддитивная константа

U - «средняя» скорость (поток, деленный на площадь сечения ) - динамическая скорость - плотность жидкости - напряжение трения на стенке - вязкость жидкости lnRe >> Универсальные, не зависящие от числа Re константы ФиксированоРастет должно быть так

15 (1)Эксперименты показали, что по первому аргументу (Re) – нет никакой автомодельности, a по второму аргументу (η) – автомодельность неполная,

16 (2) Гипотеза исчезающей вязкости (А.Дж.Корин) (1)Эксперименты показали, что по первому аргументу (Re) – нет никакой автомодельности, a по второму аргументу (η) – автомодельность неполная,

17 Неуниверсальный степенной закон Распределение скорости

18 Неуниверсальный степенной закон Распределение скорости Соответствующий закон сопротивления

Семейство кривых с «прямолинейными участками» выше огибающей (опыты Zagarola) 19

20 огибающая близка к u/u * =2.5ln( u * y/v) ln(u * y/v) 2.5ln(u*y/v)+5.5 огибающая прямолинейный участок прямолинейные участки

21 огибающая близка к u/u * =2.5ln( u * y/v) ln(u * y/v) 2.5ln(u*y/v)+5.5 огибающая прямолинейный участок прямолинейные участки

Приведенная скорость 22 Степенной закон в новых переменных должно быть так

23 Загарола (Superpipe)Никурадзе Опытное подтверждение соотношения для приведенной скорости

24 Загарола (Superpipe)Никурадзе Опытное подтверждение соотношения для приведенной скорости Опытное подтверждение нового закона сопротивления

25 Течение в пограничном слое Вязкость, плотность, масштаб скорости – есть, но характерного линейного масштаба нет

26 Течение в пограничном слое Присутствуют два автомодельных участка в распределении средней скорости

27

28

29 Экспериментальные данные I подслоя (нижняя часть «шеврона») в «новых координатах»

- безразмерный градиент скорости lnRe >> 1 30 Несомненно: безразмерный градиент скорости может зависеть только от двух безразмерных параметров: Несомненно безразмерная функция Влияние вязкости остается Re – константа для каждого опыта h- безразмерный параметр, изменяющийся от ~ 30 до десятков тысяч

- безразмерный градиент скорости lnRe >> 1 31 Математическая тонкость - в том, что не существует конечного предела функции Φ приh Несомненно безразмерный градиент скорости может зависеть только от двух безразмерных параметров: Несомненно безразмерная функция вязкость Re – константа для каждого опыта h- безразмерный параметр, изменяющийся от ~ 30 до десятков тысяч Имеется промежуточная асимптотика (а именно она и важна) степенного вида

32 (1) Автомодельность по второму аргументу (η) - неполная, а по первому аргументу (Re) – нет никакой автомодельности (2) Гипотеза исчезающей вязкости (А.Дж.Корин)

33 x x+r u uLuL

34 x x+r u uLuL

35 x x+r u uLuL Неполная автомодельность + гипотеза исчезающей вязкости

36 x x+r u uLuL Неполная автомодельность + гипотеза исчезающей вязкости

Спасибо за внимание! 37

THANKS! 38

Karman-Prandtl law with universal (?) constants Straight line segments with splitting by Reynolds number It should be like this 39 Обозначения могут быть разными, но универсальные константы должны быть константами

Power law in new coordinates 40 Степенной закон в новых переменных

41 Экспериментальные данные I подслоя (нижняя часть «шеврона») в «новых координатах»

Zagarolas data: SUPERPIPE (Princeton University) ? 42 Каждый экспериментатор подбирает «свои» коэффициенты для универсального логарифмического закона Кармана-Прандтля, а затем их же и «стесняется» It should be like this

The SUPERPIPE data (by Zagarola) in «new» coordinates 43 + Re= X

Straight line segments in the Superpipe experiments (Zagarola) 44

45 envelope close to u/u * =2.5ln( u * y/v) ln(u * y/v) 2.5ln(u*y/v)+5.5

Straight line segments in the Superpipe experiments (Zagarola) splitting on Re 46

47

48 SHEAR FLOW Boundary Layer Течение в пограничном слое

Экспериментальные данные по пограничному слою (shear flow) в «стандартных координатах», шевроно-подобное распределение скорости 49 Shear flow data in standard coordinates, chevron-like velocity distribution

50 Recommended Scaling Re-Dependent Law Recommended Drag Re-Dependent Law

von Kármán ( ): Our experimental knowledge of the internal structure of turbulent flows is insufficient for delivering a reliable foundation for a rational theoretical calculation of the velocity distribution and drag in the so-called hydraulic flow state. Numerous semi-empirical formulae, for instance, the attempt to introduce turbulent drag coefficients, are unable to satisfy either the theoretical or the practitioner. The investigations which will be presented below also do not claim to achieve genuine ultimate theory of turbulence. I will restrict myself rather to clarifying what can be achieved on the basic of pure fluid dynamics if definite hypotheses are introduced concerning definite basic questions. 51 Наше экспериментальное знание внутренней структуры турбулентных течений недостаточно для получения надежной основы рационального теоретического расчета распределения скорости и сопротивления в так называемом гидравлическом режиме потока. Многочисленные эмпирические формулы, к примеру в попытках ввести коэффициенты турбулентного сопротивления, не могут удовлетворить ни теоретика, ни практика. В исследованиях, которые будут изложены ниже, тоже не утверждается, что достигнута окончательная теория турбулентности. Я ограничусь здесь выяснением того, что может быть получено на основе чистой гидродинамики, если принять определенные гипотезы относительно определенных основных вопросов.

52

Nikuradze and Zagarola data in «new» coordinates: ( and ) 53 The region where asymptotics not valid + Re= X