Тема : Познание мира на плоскости и в пространстве Тема : Познание мира на плоскости и в пространстве

1. Пространство и размерность. В природе существует связь абстрактных геометрических фигур с объектами окружающего мира. Геометрические объекты можно рассматривать как готовую форму и как результат некоторого движения. При первом подходе прямоугольный параллелепипед рассматривается после описания многоэтажного дома, имеющего три параметра: длину (количество подъездов), ширину (количество окон в торце дома), высоту (количество этажей). Вводится термин «три измерения». «Возвращаясь» в реальный мир, мы можем найти предметы, имеющие форму параллелепипеда. Параллелепипед можно считать символом трехмерного пространства, где многие предметы имеют три измерения. В эти предметы можно поместить условный параллелепипед, пусть небольшой, но имеющий длину, ширину и высоту. Изображение дома на листе бумаги (фотография) дает представление о предметах, имеющих только два измерения – длину и ширину (двухмерное пространство). Символом двухмерного пространства является плоскость, где «живут» фигуры, имеющие два измерения, - круг, квадрат, прямоугольник и др. Изображение дома на листе бумаги (фотография) дает представление о предметах, имеющих только два измерения – длину и ширину (двухмерное пространство). Символом двухмерного пространства является плоскость, где «живут» фигуры, имеющие два измерения, - круг, квадрат, прямоугольник и др.

Путешествие в мир геометрии продолжим рассмотрением одномерного пространства, пространства с одним измерением – длиной. Символом этого пространства является прямая, «жители» одномерного пространства – отрезки, лучи. Существует фигура, не имеющая измерений – это точка. Возможен и второй подход: от точки – к пространственному телу. Рассмотрим точку, как некое место в пространстве, не имеющее размеров. При движении точка описывает одномерную линию – траекторию движения точки (в частности прямую линию). Возможен и второй подход: от точки – к пространственному телу. Рассмотрим точку, как некое место в пространстве, не имеющее размеров. При движении точка описывает одномерную линию – траекторию движения точки (в частности прямую линию). В процессе движения самой линии получается двумерная поверхность ( в частности, плоскость, есть результат движения прямой). Пространственное же тело можно получить в результате движения поверхности. В процессе движения самой линии получается двумерная поверхность ( в частности, плоскость, есть результат движения прямой). Пространственное же тело можно получить в результате движения поверхности. В качестве примера рассмотрим Солнечную систему. Здесь планеты изображаются в виде точек, поскольку их размеры незначительны по сравнению с расстоянием между ними. В качестве примера рассмотрим Солнечную систему. Здесь планеты изображаются в виде точек, поскольку их размеры незначительны по сравнению с расстоянием между ними.

Простые линии Незамкнутая линия (без самопересечения) Замкнутая линия (без самопересечения) Линии не являющиеся простыми Линии с самопересечением Линии с ответвлением Примеры линий на картах – шоссейные дороги, железнодорожные магистрали. Примерами точек на этих линиях являются станции, посёлки, города. Примеры линий на картах – шоссейные дороги, железнодорожные магистрали. Примерами точек на этих линиях являются станции, посёлки, города. Хорошим тестом для самопроверки на восприятие таких понятий, как «линия», «поверхность», «тело», будут вопросы: «Чем является труба газопровода: а) для проектировщика (линия); б) для рабочего, наносящего слой изоляции (поверхность); в) для экскаваторщика (тело). «Чем является труба газопровода: а) для проектировщика (линия); б) для рабочего, наносящего слой изоляции (поверхность); в) для экскаваторщика (тело).

2. Простейшие геометрические фигуры. Этот вопрос предполагает введение простейших фигур (точки, прямой, отрезка, луча, угла), их обозначений и измерений. Мы предлагаем исследовать данную тему с рассмотрением моделей многогранников, где вершины есть образы точек, ребра 0 образы отрезков, грани – образы многоугольников. Мы предлагаем исследовать данную тему с рассмотрением моделей многогранников, где вершины есть образы точек, ребра 0 образы отрезков, грани – образы многоугольников. Данный материал можно рассмотреть со спичками (А спички – образы отрезков!). Данный материал можно рассмотреть со спичками (А спички – образы отрезков!). Почему бы, не поднять двумя третью за её кончик?! А ещё лучше – поднять 11 спичек на одной. И последнее: требуется соорудить из трёх ножей мосты, соединяющие стаканы, если расстояние между ними больше длины каждого ножа. Почему бы, не поднять двумя третью за её кончик?! А ещё лучше – поднять 11 спичек на одной. И последнее: требуется соорудить из трёх ножей мосты, соединяющие стаканы, если расстояние между ними больше длины каждого ножа. И этот перечень можно продолжить. Исследования показали простейшие геометрические фигуры, можно рассмотреть в обычных предметах. И этот перечень можно продолжить. Исследования показали простейшие геометрические фигуры, можно рассмотреть в обычных предметах.

Точки, прямые, отрезки 1. Занимательные размещения и перестановки. После введения простейших геометрических фигур. Мы предлагаем рассмотреть расстановку и перемещение объектов, которые условно считаются точками. После введения простейших геометрических фигур. Мы предлагаем рассмотреть расстановку и перемещение объектов, которые условно считаются точками. 1. Расположить 6 стульев в 3 ряда по 3 стула в каждом. Решение: 2. Расставьте 12 стульев по комнате так, чтобы у каждой стены было по 4 стула. Решение: 3. Разместите 3 стула в комнате так, чтобы у каждой стены было по одному стулу. Решение:

4. Расположите 4 точки на 6 отрезках так, чтобы на каждом отрезке было по 2 точки. Решение: 5. Разместите 10 точек на 5 отрезках так, чтобы на каждом отрезке было по 3 точки. Решение:

2. Точки и ломаные. Продолжая рассматривать геометрические фигуры, мы предлагаем взять квадратную доску из фанеры ли картона с закрепленными на ней тонкими стержнями 9 гвоздиками без шляпок) в узлах квадратной сетки. На доске при помощи эластичных шнурков можно осуществлять построение различных фигур и решать множество геометрических задач. Продолжая рассматривать геометрические фигуры, мы предлагаем взять квадратную доску из фанеры ли картона с закрепленными на ней тонкими стержнями 9 гвоздиками без шляпок) в узлах квадратной сетки. На доске при помощи эластичных шнурков можно осуществлять построение различных фигур и решать множество геометрических задач. Итак, изучение темы «Ломаная» можно воспользоваться следующими заданиями: Итак, изучение темы «Ломаная» можно воспользоваться следующими заданиями: 1. Проведите через 4 данные очки замкнутую ломанную, состоящую из трёх звеньев. 1. Проведите через 4 данные очки замкнутую ломанную, состоящую из трёх звеньев. Решение: Решение: 2. Проведите через данные 5 точек замкнутую ломаную, состоящую из 3 звеньев. Решение:

3. Соедините точки B и C ломаной, состоящей из 3 равных звеньев. Решение: 4. Постройте ломаную в виде буквы русского алфавита, состоящую: А) из двух звеньев; б) из трёх звеньев; в) из четырёх звеньев. Решение:

3. Параллельность и перпендикулярность прямых на плоскости и в пространстве. 3. Параллельность и перпендикулярность прямых на плоскости и в пространстве. Изучая данный вопрос, мы выделили следующие понятия: определения и свойства параллельных и перпендикулярных прямых; построение таких прямых. Исследования проводили на модели куба, так как примеры параллельных, пересекающихся и скрещивающихся прямых наглядно можно увидеть. Продолжая рассматривать этот вопрос, мы обратили внимание на количество перпендикулярных прямых к данной прямой из точки, лежащей на ней, на плоскости и в пространстве. Изучая данный вопрос, мы выделили следующие понятия: определения и свойства параллельных и перпендикулярных прямых; построение таких прямых. Исследования проводили на модели куба, так как примеры параллельных, пересекающихся и скрещивающихся прямых наглядно можно увидеть. Продолжая рассматривать этот вопрос, мы обратили внимание на количество перпендикулярных прямых к данной прямой из точки, лежащей на ней, на плоскости и в пространстве. При достаточно широком изучении этой темы, мы познакомились с особым явлением – оптическими иллюзиями, причины которых в анатомических и физических особенностях глаза человека. Мы предлагаем несколько примеров, где можно наблюдать это явление. (См. приложение). При достаточно широком изучении этой темы, мы познакомились с особым явлением – оптическими иллюзиями, причины которых в анатомических и физических особенностях глаза человека. Мы предлагаем несколько примеров, где можно наблюдать это явление. (См. приложение).

Квадрат. Куб. 1. Квадрат. 1. Квадрат. Данная тема является одной из центральных в курсе наглядной геометрии. Нам было интересно создавать фигуры из квадратов, составленные с помощью спичек. Систематизировав наши упражнения, мы получили ряд задач, которые нам показались наглядными при исследовании квадрата на плоскости. Данная тема является одной из центральных в курсе наглядной геометрии. Нам было интересно создавать фигуры из квадратов, составленные с помощью спичек. Систематизировав наши упражнения, мы получили ряд задач, которые нам показались наглядными при исследовании квадрата на плоскости. 1. Положить 12 спичек так, чтобы получилось 5 квадратов - рис. 1 (а). 1. Положить 12 спичек так, чтобы получилось 5 квадратов - рис. 1 (а). 2. Убрать 4 спички так, чтобы осталось 2 квадрата – рис. 1 (б). 2. Убрать 4 спички так, чтобы осталось 2 квадрата – рис. 1 (б). 3. У исходной фигуры убрать 2 спички, чтобы осталось 2 квадрата разного размера – рис. 1 (в). 3. У исходной фигуры убрать 2 спички, чтобы осталось 2 квадрата разного размера – рис. 1 (в). 4. У исходной фигуры переложить 3 спички, чтобы образовалось 3 равных квадрата – рис. 1 (г). 4. У исходной фигуры переложить 3 спички, чтобы образовалось 3 равных квадрата – рис. 1 (г). 5. У исходной фигуры переложить 4 спички, чтобы получилось 3 равных квадрата – рис. 1 (д). 5. У исходной фигуры переложить 4 спички, чтобы получилось 3 равных квадрата – рис. 1 (д).

А) А) Б) В) Г) Д) Рис. 1

2. Квадраты «край в край». 2. Квадраты «край в край». Решение вопроса. Сколько фигур и какой формы можно получить соединяя квадраты «край в край» - одно из исследований, которое мы проводили. Решение вопроса. Сколько фигур и какой формы можно получить соединяя квадраты «край в край» - одно из исследований, которое мы проводили. 1. Начать нужно с двух квадратов. Соединить их можно только так. 1. Начать нужно с двух квадратов. Соединить их можно только так. Получили домино. 2. Три одинаковых квадрата можно объединить уже двумя способами: Имеем две фигурки тримино. 3. Следующая задача – определение количества фигур, которые получаются из четырёх квадратов. Получим 5 фигур тетрамино ( не считая отражений ).

4. Сложнее выяснить, сколько фигур получится из 5 квадратов – их 12. Называют их пентамино.

5. Гексамино – это фигуры, квадратов «край в край». Построение этих фигур нужно начать с полоски, которая состоит из 6 квадратов. Затем нужно взять полоску из 5 квадратов и пробовать присоединять к ней 6 квадрат во всех возможных положениях. Затем нужно взять полоску из 5 квадратов и пробовать присоединять к ней 6 квадрат во всех возможных положениях. Вслед за этим шагом к полоске из 4 квадратов присоединяют 3 квадрата. Вслед за этим шагом к полоске из 4 квадратов присоединяют 3 квадрата.

Затем нужно взять полоску из 3 квадратов и присоединить к ней 3 квадрата различными способами. Получим ещё 9 фигур и т.д. Затем нужно взять полоску из 3 квадратов и присоединить к ней 3 квадрата различными способами. Получим ещё 9 фигур и т.д. Работая с фигурами, состоящими из квадратов, мы обратили внимание. Что при последовательном перемещении любого квадрата фигуры её форма не меняется. Работая с фигурами, состоящими из квадратов, мы обратили внимание. Что при последовательном перемещении любого квадрата фигуры её форма не меняется. Итак, фигура – «животное». Т.к. все её квадраты перемещаются, не изменяя формы фигуры. Итак, фигура – «животное». Т.к. все её квадраты перемещаются, не изменяя формы фигуры. Фигура – «цветок», т.к. 3 из 4 квадратов могут перемещаться, не изменяя формы фигуры. Фигура – «цветок», т.к. 3 из 4 квадратов могут перемещаться, не изменяя формы фигуры.

Фигура – «камень», если фигуру вообще нельзя «сдвинуть». Среди фигур тетрамино: Фигура – «камень», если фигуру вообще нельзя «сдвинуть». Среди фигур тетрамино: 1 «камень» 3 «животных» 1 «камень» 3 «животных» 2 «цветок» Продолжая присоединять и закрашивать в различные цвета все новые квадраты, касающихся других одной стороной, можно получить красивые узоры. Например, математическая «снежинка», составленная из 15 шагов. Изменяя правило составления «снежинки», можно получить фигурки различных форм. Продолжая присоединять и закрашивать в различные цвета все новые квадраты, касающихся других одной стороной, можно получить красивые узоры. Например, математическая «снежинка», составленная из 15 шагов. Изменяя правило составления «снежинки», можно получить фигурки различных форм. Тему квадратов, расположенных «край в край», продолжает тема паркетов. Тему квадратов, расположенных «край в край», продолжает тема паркетов.

Наиболее известной является "снежинка Коха" - один из первых, исследованных учеными фракталов. Снежинка Коха является классическим примером непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Она обладает целым рядом удивительных свойств, и впервые была описана в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году: Интересные фракталы, по форме еще более напоминающие снежинки, можно строить на основе многих геометрических фигур, обладающих симметрией. Так, если взять за основу правильный 5-угольник и 6-угольник то получается следующее: Интересные фракталы, по форме еще более напоминающие снежинки, можно строить на основе многих геометрических фигур, обладающих симметрией. Так, если взять за основу правильный 5-угольник и 6-угольник то получается следующее:

3. Конструирование из «Т» 3. Конструирование из «Т» Продолжая исследовать материал о паркетах, мы выделили фигуры формы буквы «Т». Занимаясь конструкторской деятельностью, а именно разрезав фигуры на части формы буквы «Т», мы получили следующие фигуры. Продолжая исследовать материал о паркетах, мы выделили фигуры формы буквы «Т». Занимаясь конструкторской деятельностью, а именно разрезав фигуры на части формы буквы «Т», мы получили следующие фигуры.

4. Оригами. 4. Оригами. Познакомившись с древним японским искусством, мы узнали историю о девочке Садако из Хиросимы, погибшей от последствий атомного взрыва. По преданию журавль обладает бессмертием; он, как истинный мудрец, презирает суетные дела и приносит счастье. Садако решила сделать из бумаги 1000 журавликов, но не успела… Познакомившись с древним японским искусством, мы узнали историю о девочке Садако из Хиросимы, погибшей от последствий атомного взрыва. По преданию журавль обладает бессмертием; он, как истинный мудрец, презирает суетные дела и приносит счастье. Садако решила сделать из бумаги 1000 журавликов, но не успела… И всё-таки японцы верят в светлую символику этих чудесных птиц – символа свободы. Древнее искусство создания разного рода фигур из бумаги пришло из Китая, откуда Япония столетия черпала духовные богатства. И всё-таки японцы верят в светлую символику этих чудесных птиц – символа свободы. Древнее искусство создания разного рода фигур из бумаги пришло из Китая, откуда Япония столетия черпала духовные богатства. Японцы считают, что «великий квадрат не имеет предела». И действительно, квадрат в оригами выступает как оригинальный конструктор; его можно трансформировать бесконечно. Бывают проделки из пунктов сборки. Японцы считают, что «великий квадрат не имеет предела». И действительно, квадрат в оригами выступает как оригинальный конструктор; его можно трансформировать бесконечно. Бывают проделки из пунктов сборки. Мы предлагаем самые простые фигуры. Мы предлагаем самые простые фигуры.

5. Куб и его свойства. 5. Куб и его свойства. В результате исследовательской работы, мы пришли к выводу, что к изучению куба можно подойти по разному. В результате исследовательской работы, мы пришли к выводу, что к изучению куба можно подойти по разному. 1. Можно изготовить куб по методу оригами из квадратного листа бумаги. 2. Куб можно сплести из 3 цветных полосок бумаги, разделённых на 5 квадратов. 3. Куб может быть получен в результате сложения прямоугольной полоски бумаги 1 х И конечно, каркас куба можно составить из 12 спичек. С помощью линейки, угольника и ножниц мы обнаружили свойства куба: 6 граней - равные квадраты; 12 рёбер – равные отрезки; 8 вершин, причём в каждой вершине сходятся одно и то же число граней и рёбер. Любая грань куба соседствует со всеми гранями кроме противоположной. «Кубик Рубика» первоначально был известен как «Магический кубик», механическая головоломка, изобретённая в 1974 году (и запатентованная в 1975 году) венгерским скульптором и преподавателем архитектуры Эрнё Рубиком. С помощью линейки, угольника и ножниц мы обнаружили свойства куба: 6 граней - равные квадраты; 12 рёбер – равные отрезки; 8 вершин, причём в каждой вершине сходятся одно и то же число граней и рёбер. Любая грань куба соседствует со всеми гранями кроме противоположной. «Кубик Рубика» первоначально был известен как «Магический кубик», механическая головоломка, изобретённая в 1974 году (и запатентованная в 1975 году) венгерским скульптором и преподавателем архитектуры Эрнё Рубиком.

6. Развёртка куба. Модель куба. 6. Развёртка куба. Модель куба. Разрезав куб по рёбрам, мы увидели, что его поверхность разворачивается в плоскую фигуру, разделённую на 6 равных квадратов. Термин «развёртка» напомнил нам, что такие фигуры носят ещё название «гексамино». Мы мысленно выделили те квадраты, которые являются боковыми гранями куба (т.е. «обернули» его сбоку), затем, перегибая оставшиеся квадраты, пометили «дно» и «крышку» куба. Многим из нас такая работа вызывала трудность. Чтобы легче справиться с такой задачей, мы предварительно начертили и вырезали из бумаги 9 фигур гексамино. Разрезав куб по рёбрам, мы увидели, что его поверхность разворачивается в плоскую фигуру, разделённую на 6 равных квадратов. Термин «развёртка» напомнил нам, что такие фигуры носят ещё название «гексамино». Мы мысленно выделили те квадраты, которые являются боковыми гранями куба (т.е. «обернули» его сбоку), затем, перегибая оставшиеся квадраты, пометили «дно» и «крышку» куба. Многим из нас такая работа вызывала трудность. Чтобы легче справиться с такой задачей, мы предварительно начертили и вырезали из бумаги 9 фигур гексамино.

Треугольник и тетраэдр. Треугольник и тетраэдр. 1. Построение треугольников. 1. Построение треугольников. Продолжая исследование и изучение фигур на плоскости и в пространстве, мы в едином блоке рассмотрим темы «Треугольник» и «Тетраэдр». В процессе работы мы выделим основные моменты, на которые будем в дальнейшем опираться. Продолжая исследование и изучение фигур на плоскости и в пространстве, мы в едином блоке рассмотрим темы «Треугольник» и «Тетраэдр». В процессе работы мы выделим основные моменты, на которые будем в дальнейшем опираться. 1. Треугольник – простейшая фигура, ограниченная замкнутой ломанной, звенья которой есть стороны, а их концы – вершины треугольника. 1. Треугольник – простейшая фигура, ограниченная замкнутой ломанной, звенья которой есть стороны, а их концы – вершины треугольника. Наиболее удачно это можно продемонстрировать со спичками. Например: из 9 спичек сложена фигура. Переложите 4 спички так, чтобы получить 5 равносторонних треугольников. Наиболее удачно это можно продемонстрировать со спичками. Например: из 9 спичек сложена фигура. Переложите 4 спички так, чтобы получить 5 равносторонних треугольников. Решение: Решение:

2. После введения треугольника мы рассмотрели их классификацию по наличию равных сторон и по величинам углов. Например: треугольник, классифицированный как равнобедренный, может быть и остроугольным, и тупоугольным, и прямоугольным. 2. После введения треугольника мы рассмотрели их классификацию по наличию равных сторон и по величинам углов. Например: треугольник, классифицированный как равнобедренный, может быть и остроугольным, и тупоугольным, и прямоугольным. 3. В построении треугольников рассматриваются три основные задачи: построение треугольника по стороне и двум углам прилежащим к ней, по двум сторонам и углу между ними, по трем сторонам. Мы обратили внимание на то, что при построении треугольника по трем углам треугольники получаются одной формы, но разных размеров. Отсюда мы сделали вывод, что хотя треугольник определяется тремя своими элементами, не любые три элемента однозначно определяют треугольник. 3. В построении треугольников рассматриваются три основные задачи: построение треугольника по стороне и двум углам прилежащим к ней, по двум сторонам и углу между ними, по трем сторонам. Мы обратили внимание на то, что при построении треугольника по трем углам треугольники получаются одной формы, но разных размеров. Отсюда мы сделали вывод, что хотя треугольник определяется тремя своими элементами, не любые три элемента однозначно определяют треугольник. 4. Треугольник – плоская фигура, которая изображается на плоскости без искажений. Рисунок пространственной фигуры часто таит в себе подвох. Такой фигуры, представляющий невозможный объект, является треугольник Пенроуза. 4. Треугольник – плоская фигура, которая изображается на плоскости без искажений. Рисунок пространственной фигуры часто таит в себе подвох. Такой фигуры, представляющий невозможный объект, является треугольник Пенроуза. 5. Продолжая исследование, мы представим в виде таблицы, в которой указали количество различных фигур, полученных при объединении равносторонних треугольников. 5. Продолжая исследование, мы представим в виде таблицы, в которой указали количество различных фигур, полученных при объединении равносторонних треугольников.

Число треугольников Число треугольников Число фигур Рисунки фигур

Это увлекательное занятие методом объединения равносторонних треугольников приводит к созданию изображений различных предметов окружающие нас и развитию воображения. Это увлекательное занятие методом объединения равносторонних треугольников приводит к созданию изображений различных предметов окружающие нас и развитию воображения.

2. Тетраэдр и его элементы. 2. Тетраэдр и его элементы. Тетраэдр - правильный многогранник, составленный из 4 равносторонних треугольников. Из определения правильного многогранника следует, что все ребра тетраэдра имеют равную длину, а грани - равную площадь. Элементами тетраэдра являются грани, рёбра, вершины. Грани – это треугольники, рёбра – это стороны этих треугольников, а вершины – это 4 точки не лежащие на одной плоскости. Тетраэдр - правильный многогранник, составленный из 4 равносторонних треугольников. Из определения правильного многогранника следует, что все ребра тетраэдра имеют равную длину, а грани - равную площадь. Элементами тетраэдра являются грани, рёбра, вершины. Грани – это треугольники, рёбра – это стороны этих треугольников, а вершины – это 4 точки не лежащие на одной плоскости. Одно из удивительных свойств тетраэдра – это то, что даже перекатываясь с грани на грань, фигура возвращается в исходное положение.

Многоугольники и многогранники. Многоугольники и многогранники. Среди множества различных фигур на плоскости можно выделить семейство многоугольников, к которому относятся и треугольники, и квадраты и многие другие. Среди множества различных фигур на плоскости можно выделить семейство многоугольников, к которому относятся и треугольники, и квадраты и многие другие. Многоугольник. Плоская фигура, образованная замкнутой цепочкой отрезков, называется многоугольником. В зависимости от количества углов многоугольник может быть треугольником, четырёхугольником, пятиугольником, шестиугольником и т.д. Многогранник. Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников. Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне.

При исследовании темы «Многоугольники и многогранники» рассмотрели вопрос о возможности покрытия плоскости фигурами без зазоров и наложений. Если это можно сделать, то значит, что фигурами можно вымостить или выложить плоскость, а плоскость выложенную фигурами называют мозаикой или паркетом. При исследовании темы «Многоугольники и многогранники» рассмотрели вопрос о возможности покрытия плоскости фигурами без зазоров и наложений. Если это можно сделать, то значит, что фигурами можно вымостить или выложить плоскость, а плоскость выложенную фигурами называют мозаикой или паркетом.

Паркеты.

Многогранные формы мы видим ежедневно: спичечные коробки, книга, комната, многоэтажные дома – прямоугольные параллелепипеды; молочные пакеты – тетраэдра или тоже параллелепипеды; граненный карандаш, гайка дают представление о призмах. Многие архитектурные сооружения или их детали представляют собой пирамиды. В ходе изучения правильные многогранники, мы обнаружили удивительную закономерность: если из числа вершин вычесть число рёбер и к разности прибавить число граней, то в результате для каждого из тел получится число 2. В ходе изучения правильные многогранники, мы обнаружили удивительную закономерность: если из числа вершин вычесть число рёбер и к разности прибавить число граней, то в результате для каждого из тел получится число 2. В – Р + Г = 2 В – Р + Г = 2 Правильные многогранни ки Вершины ( В ) Рёбра ( Р ) Грани ( Г ) Тетраэдр 464 Куб 8126 Октаэдр 6128 Додекаэдр Икосаэдр

Оптическая иллюзия Художник Рамон Брюин (Ramon Bruin). Для создания картины, Bruin использует технику анаморфоза. Она представляет собой рисование подробного, но искаженного изображения, которое выглядит как трехмерная сцена, если смотреть под определенным углом.

Длина отрезков AB и CD, проложенных по двум сторонам улицы, довольно сложно поддается оцениванию. Отрезок AB представляется в разы больше, чем CD. Так как на заднем плане изображены рельсы в перспективе, то параллельные отрезки кажутся разной длины, однако они равны.

Анаморфная картина "Tiger over the precipice" от известного мастера 3D-иллюзий Николая Арндта. Работа выполнена на одном из этажей торгового комплекса "Невский Центр" (г.Санкт- Петербург, Невский пр., 71), где с 25 мая по 23 июня 2013 года проходила выставка 3D рисунка. Николай Арндт русский художник, который переехал в Германию в 2000-х годах. В его портфолио не только картины 3D, но также портреты, пейзажи и другие работы. Именно благодаря 3D картинам он стал известен как в России, так и в Европе, где более 4 х столетий назад зародилось 3D искусство Николай Арндт русский художник, который переехал в Германию в 2000-х годах. В его портфолио не только картины 3D, но также портреты, пейзажи и другие работы. Именно благодаря 3D картинам он стал известен как в России, так и в Европе, где более 4 х столетий назад зародилось 3D искусство.

Заключение. Заключение. Геометрия – это раздел математики, являющийся носителем собственного метода познания мира. Изучение нового курса, предусматривающее параллельное изучение фигур на плоскости и в пространстве, позволило нам сделать для себя много открытий. Геометрия – это раздел математики, являющийся носителем собственного метода познания мира. Изучение нового курса, предусматривающее параллельное изучение фигур на плоскости и в пространстве, позволило нам сделать для себя много открытий. В результате исследовательской работы, каждый из нас развил в себе «геометрическую зоркость». Геометрический метод познания мира позволил нам получить определенный объем геометрических знаний и умений, необходимых для нормального восприятия окружающей действительности. В результате исследовательской работы, каждый из нас развил в себе «геометрическую зоркость». Геометрический метод познания мира позволил нам получить определенный объем геометрических знаний и умений, необходимых для нормального восприятия окружающей действительности.