МАОУ «СОШ 1» с углублённым изучением отдельных предметов имени И. А. Куратова г.Сыктывкара. Исполнитель: Лукина Серафима Руководитель: Карпова Людмила Александровна 2011 год.

Эпиграф Через математические знания, полученные в школе, лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий. Через математические знания, полученные в школе, лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий. Маркушевич А. И. Маркушевич А. И.

Доказать одно из свойств арифметических прогрессий и воспользоваться им на практике. Доказать одно из свойств арифметических прогрессий и воспользоваться им на практике. Цель исследовательской работы:

Арифметическая прогрессия - это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Арифметическая прогрессия - это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. а n = a 1 + d(n – 1) а n = a 1 + d(n – 1) d = a n + 1 – а n d = a n + 1 – а n а 1 + а n а 1 + а n S n = x n 2 2 а 1 + d(n – 1) 2 а 1 + d(n – 1) S n = x n 2

) Найдите сумму первых 20 совпадающих членов двух арифметических прогрессий: 1) Найдите сумму первых 20 совпадающих членов двух арифметических прогрессий: 3, 8, 13, … и 4, 11, 18, …. 3, 8, 13, … и 4, 11, 18, …. 2)Найдите сумму первых 10 совпадающих членов двух арифметических прогрессий: 3, 7, 11, … и 1, 10, 19, …. 3, 7, 11, … и 1, 10, 19, ….

Первый совпадающий член двух данных прогрессий можно найти, непосредственно выписав несколько последовательных членов каждой из них. Первый совпадающий член двух данных прогрессий можно найти, непосредственно выписав несколько последовательных членов каждой из них. d = НОК(d 1 ; d 2 ) d = НОК(d 1 ; d 2 ) d 1 – разность первой прогрессии d 1 – разность первой прогрессии d 2 – разность второй прогрессии d 2 – разность второй прогрессии « Действительно ли это так и можно ли это доказать?» « Действительно ли это так и можно ли это доказать?»

1) НОК(Наименьшим общим кратным) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и а, и b. 1) НОК(Наименьшим общим кратным) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и а, и b. Пример: НОК(6; 8) = 24 Пример: НОК(6; 8) = 24 2)Если НОД(а; b) = 1, т. е. числа а и b взаимно простые, то НОК(а; b) = a x b 2)Если НОД(а; b) = 1, т. е. числа а и b взаимно простые, то НОК(а; b) = a x b Пример: а = 3; b = 4 Пример: а = 3; b = 4 НОД(3; 4) = 1 НОД(3; 4) = 1 НОК(3; 4) = 3 x 4 = 12 НОК(3; 4) = 3 x 4 = 12

Если а : b и а : c a : b x c Если а : b и а : c a : b x c НОК( R a; R b) = R НОК(а; b), где НОК( R a; R b) = R НОК(а; b), где НОД(а; b) = 1 НОД(а; b) = 1

Дано: (а n ) и (b n ) – арифметические прогрессии, соответственно с разностями d 1 и d 2, НОД(d 1 ;d 2 ) = 1; Дано: (а n ) и (b n ) – арифметические прогрессии, соответственно с разностями d 1 и d 2, НОД(d 1 ;d 2 ) = 1; (с n ) содержит совпадающие члены данных последовательностей, d – разность прогрессии (с n ) содержит совпадающие члены данных последовательностей, d – разность прогрессии Доказать: d = НОК(d 1 ; d 2 ) = d 1 x d 2 Доказать: d = НОК(d 1 ; d 2 ) = d 1 x d 2 Доказательство: Доказательство: 1) см (с n ) и (а n ) 1) см (с n ) и (а n ) с 1 = а R = а 1 + d 1 ( R – 1) с 1 = а R = а 1 + d 1 ( R – 1) c 2 = a l = a 1 + d 1 (l – 1) c 2 = a l = a 1 + d 1 (l – 1)

См d = c 2 – c 1 = a l – a R = a 1 – a 1 + d 1 (l – R ) = = d 1 (l – R ) d : d 1 2) см (с n ) и (b n ) 2) см (с n ) и (b n ) с 1 = b m = b 1 + d 2 (m – 1) с 1 = b m = b 1 + d 2 (m – 1) c 2 = b p = b 1 + d 2 (p – 1) c 2 = b p = b 1 + d 2 (p – 1) см d = c 2 – c 1 = d 2 (m – p) d : d 2 см d = c 2 – c 1 = d 2 (m – p) d : d 2 Вывод: Вывод: 1) d : d 1 1) d : d 1 d : d 1 x d 2 d = НОК(d 1 ; d 2 ) d : d 1 x d 2 d = НОК(d 1 ; d 2 ) d : d 2 НОД(d 1 ;d 2 ) = 1 d : d 2 НОД(d 1 ;d 2 ) = 1

См примеры: См примеры: 1) 12 : 4 1) 12 : 4 12 = НОК(4; 3);см НОД(4;3) = 1 12 = НОК(4; 3);см НОД(4;3) = 1 12 : 3 12 : 3 Получено 12 = НОК(4; 3) = 4 x 3 Получено 12 = НОК(4; 3) = 4 x 3 2) см 24 : 6 2) см 24 : 6 24 = НОК(6; 8); см НОД(6; 8)=1 24 = НОК(6; 8); см НОД(6; 8)=1 24 : 8 24 : 8 24 = НОК(6;8) = 6 x 8 24 = НОК(6;8) = 6 x 8 Значит: если НОД(d 1 ; d 2 ) = 1, Значит: если НОД(d 1 ; d 2 ) = 1, то d = НОК(d 1 ;d 2 ) = d 1 x d 2 то d = НОК(d 1 ;d 2 ) = d 1 x d 2

Примечание: Примечание: Свойство НОК: Свойство НОК: Если а и b – не взаимно простые числа, НОК( R a; R b) = R НОК(а; b), НОД(а; b) = 1 См пример: НОК(6;8) = НОК(2 x 3; 2 x 4) = 2НОК(3; 4) = = 2 x 12 = 24 = 2 x 12 = 24

)Найдите сумму первых 20 совпадающих членов двух арифметических прогрессий: 1)Найдите сумму первых 20 совпадающих членов двух арифметических прогрессий: 3, 8, 13, … 4, 11, 18, …. 3, 8, 13, … 4, 11, 18, ….Решение: 1) S 20 - ? 1) S 20 - ? 2) (а n ): 3, 8, 13, 18, … 2) (а n ): 3, 8, 13, 18, … (b n ): 4, 11, 18, … (b n ): 4, 11, 18, … (с n ): 18, … (с n ): 18, …

3) d 1 = a 2 – a 1 = 8 – 3 = 5 d 2 = b 2 – b 1 = 11 – 4 = 7 d 2 = b 2 – b 1 = 11 – 4 = 7 4) см НОД(5; 7) = 1 d = НОК(d 1 ; d 2 ) = НОК(5; 7) = 7 x 5 = 35 d = НОК(d 1 ; d 2 ) = НОК(5; 7) = 7 x 5 = 35 2a 1 + d(n -1) 2a 1 + d(n -1) 5) S n = x n 2

2 x (20 – 1) 2 x (20 – 1) S 20 = x 20 = x x = x 20 = x 20 = 7010 = x 20 = x 20 = Ответ: S 20 = 7010 Ответ: S 20 = 7010

2) Найдите сумму первых 10 совпадающих членов двух арифметических прогрессий: 2) Найдите сумму первых 10 совпадающих членов двух арифметических прогрессий: 3, 7, 11, … и 1, 10, 19, … 3, 7, 11, … и 1, 10, 19, … Решение: Решение: 1) S 10 - ? 1) S 10 - ? 2) (a n ): 3, 7, 11, 15, 19, … 2) (a n ): 3, 7, 11, 15, 19, … (b n ): 1, 10, 19, … (b n ): 1, 10, 19, … (с n ): 19, … (с n ): 19, …

3) d 1 = a 2 – a 1 = 7 – 3 = 4 3) d 1 = a 2 – a 1 = 7 – 3 = 4 d 2 = b 2 – b 1 = 10 – 1 = 9 d 2 = b 2 – b 1 = 10 – 1 = 9 4) см НОД(4; 9) = 1 d = НОК(d 1 ; d 2 ) = 4 x 9 = 36 d = НОК(d 1 ; d 2 ) = 4 x 9 = 36 2a 1 + d(n – 1) 2a 1 + d(n – 1) 5) S n = x n 5) S n = x n 2

2 x (10 – 1) 2 x (10 – 1) S 10 = x 10 = x x = x 10 = x 10 = Ответ: S 10 = 1810 Ответ: S 10 = 1810

В арифметической прогрессии 3; 6; 9; … содержится 463 члена, в арифметической прогрессии 2; 6; 10; … содержится 351 член. Сколько одинаковых членов содержится в этих прогрессиях. В арифметической прогрессии 3; 6; 9; … содержится 463 члена, в арифметической прогрессии 2; 6; 10; … содержится 351 член. Сколько одинаковых членов содержится в этих прогрессиях. Решение: Решение: 1) n - ? 1) n - ? (а n ): 3, 6, 9, … (463 члена) (а n ): 3, 6, 9, … (463 члена) (b n ): 2, 6, 10, … (351 член) (b n ): 2, 6, 10, … (351 член) (с n ): 6, … (с n ): 6, …

2) d 1 = a 2 – a 1 = 6 – 3 = 3 2) d 1 = a 2 – a 1 = 6 – 3 = 3 d 2 = b 2 – b 1 = 6 – 2 = 4 d 2 = b 2 – b 1 = 6 – 2 = 4 3) см НОД(3; 4) = 1 3) см НОД(3; 4) = 1 d = НОК(d 1 ; d 2 ) = НОК(3; 4) = 3 x 4 = 12 d = НОК(d 1 ; d 2 ) = НОК(3; 4) = 3 x 4 = 12 4) см а n = а 1 + d(n – 1) 4) см а n = а 1 + d(n – 1) а 463 = 3 + 3(463 – 1) = 1389 а 463 = 3 + 3(463 – 1) = 1389 b 351 = 2 + 4(351 – 1) = 1402 b 351 = 2 + 4(351 – 1) = 1402

5) с n = c 1 + d(n – 1); n - ? 5) с n = c 1 + d(n – 1); n - ? (n – 1) (n – 1) (n – 1) (n – 1) n – n – n – n – n n n n 1408 n 116, 25 n 116, 25 n 117, 33 n 117, 33 n = 116 n = 116 Ответ: 116 одинаковых членов содержится в этих прогрессиях.

В заключении строки из романа А. С. Пушкина «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «…Не мог он ямба от хорея, как мы не бились, отличить».Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. В заключении строки из романа А. С. Пушкина «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «…Не мог он ямба от хорея, как мы не бились, отличить».Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб – стихотворный размер с ударениями на чётных слогах стиха (н: Мой дядя самых честных правил), т. е. ударными являются второй, четвёртый, шестой, восьмой и т. д. слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной двум: 2, 4, 6, 8…. Ямб – стихотворный размер с ударениями на чётных слогах стиха (н: Мой дядя самых честных правил), т. е. ударными являются второй, четвёртый, шестой, восьмой и т. д. слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной двум: 2, 4, 6, 8….

Хорей – стихотворный размер с ударением на нечётных слогах (н: Буря мглою небо кроет). Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но её первый член равен единице, а разность по-прежнему равна двум: 1; 3; 5; 7, …. Хорей – стихотворный размер с ударением на нечётных слогах (н: Буря мглою небо кроет). Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но её первый член равен единице, а разность по-прежнему равна двум: 1; 3; 5; 7, ….

Практическая значимость 1)Моя работа может использоваться на уроках алгебры при изучении темы «Арифметические прогрессии». 1)Моя работа может использоваться на уроках алгебры при изучении темы «Арифметические прогрессии». 2)Данное исследование поможет учащимся при написании ГИА и ЕГЭ. 2)Данное исследование поможет учащимся при написании ГИА и ЕГЭ.

Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе; Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе; Сборник задач по алгебре(8-9 класс) М.Л. Галицкого, А. М. Гольдмана, Л. И. Звавича; Сборник задач по алгебре(8-9 класс) М.Л. Галицкого, А. М. Гольдмана, Л. И. Звавича; Учебник для 9 класса с углублённым изучением математики Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюка, К. И. Нешкова; Учебник для 9 класса с углублённым изучением математики Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюка, К. И. Нешкова; Пособие для учителя «Делимость целых чисел» В. Д. Яковлева; Пособие для учителя «Делимость целых чисел» В. Д. Яковлева; Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики(для 9 класса) под редакцией Н. Я. Виленкина. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики(для 9 класса) под редакцией Н. Я. Виленкина. Источники: