Работа с учащимися демонстрирующими высокие учебные достижения Савин Владимир Николаевич ККИДППО 1

Использование олимпиад прошлых лет Сайт 2

Поиск задач на Решение Ответ: нет, не существуют. Предположим, что n 2 - m 2 = Если одно из чисел m и n чётно, а другое нечётно, то число n 2 - m 2 нечётно. Поэтому оба числа m и n либо чётны, либо нечётны. Легко проверить, что тогда число n 2 - m 2 делится на 4. А число 1954 на 4 не делится. 3

Развивающие задачи (организация перебора) Задача для 5 класса. Петя загадал натуральное число от 1 до 8. Витя хочет отгадать его, задавая Пете вопросы, на которые тот отвечает «да» либо «нет»1. Как должен действовать Витя, чтобы отгадать загаданное число за 3 вопроса? Несложная задача, допускает много различных решений. Например, первым вопросом можно спрашивать: «Верно ли, что загаданное тобой число чётно?» Если ученики предлагают решение с использованием неравенств, то полезно обратить их внимание на существенную разницу между строгими и нестрогими неравенствами. Например, один и тот же вопрос можно задать и как: «Верно ли, что твоё число не больше четырёх?», и как: «Верно ли, что твоё число меньше пяти?» Ещё один способ облегчить ученикам решение предложить им разбиться попарно и «поиграть» за Петю и Витю. 4

Решение задачи Решение. Будем оформлять ход угадывания в виде такой таблицы: Первым вопросом Витя спрашивает: «Верно ли, что твоё число больше четырёх?» Ответить «да» Петя может, если он задумал 5, 6, 7 или 8, а ответ «нет» означает, что задумано одно из чисел 1, 2, 3 или 4. Как после ответа «да», так и после ответа «нет» Вите останется угадать задуманное число из четырёх возможных вариантов, и второй вопрос Вити для этих вариантов различен. После второго ответа у Вити останется для задуманного числа два варианта, а после третьего только один, приведённый в столбце «Число». Задача 1.2. Сколько вопросов понадобится Вите, если Петя может загадать число от 1 до 32? Как правило, ученикам не нужно подсказывать, что 32, как и 8, степень двойки. Однако если задача зависла надолго, учитель может задать наводящие вопросы: как свести эту задачу к предыдущей? Сколько вопросов для этого потребуется Вите? 5

Задачи на взвешивания Задача 1. Самая классическая головоломка. Одна из девяти монет фальшивая, она весит легче настоящей. Как определить ФМ за 2 взвешивания? Задача 2. а) Одна из 27 монет фальшивая, она весит легче настоящей. Как определить ФМ за 3 взвешивания? б)Решите ту же задачу для 26 монет. в)*Придумайте, как обобщить решение на любое число монет от 10 до 27. 6

Задача на принцип Дирихле 7

8

Основные ошибки абитуриентов P.S. Ошибка 13. sin x = 2 x=(-1) n arcsin2+πn. 9

Общая структура заданий С6 Задачи вида С6 в новой форме сложились в 2010 году. Они приобрели достаточно явные черты. Во-первых, они имеют достаточно короткое и понятное решение. Во-вторых, это решение не шаблонно, то есть нельзя заранее спланировать ход решения, так как это делается в других видах задач (например, текстовые задачи на работу, движение). В-третьих, решение этих задач не требует знания формул старшей школы. С 2011 года условие задачи было разделено на 3 пункта, причём, ответ на первый пункт можно было легко найти перебором. Несмотря на кажущуюся простоту решения, необходимо иметь хорошую математическую культуру, которая складывается не за один день, а за весь период обучения. Однако, получить 1-2 балла за эти задачи представляется вполне возможным. Рассмотрим на примере следующей задачи (из пробного ЕГЭ 2012 года). В ряд записаны 14 единиц. Между ними можно ставить знаки сложения, умножения и скобки. а) Доказать, что таким образом можно получить число делящееся на 162. б) Единицы, стоящие на чётных местах, заменили на четвёрки. Доказать, что таким образом можно получить число делящееся на 162. в) Доказать, что для любых 14 натуральных чисел можно получить таким образом число делящееся на 162. Пункт а) решается достаточно просто, причём, не только одиннадцатиклассниками, но даже шестиклассниками. Главное, что учащийся должен понять, это разложение числа на множители и выписать явное это разложение: Такая простота решения немного отвлекает от решения пункта б. Сначала необходимо исправить ряд чисел: Далее часто присутствует заблуждение, что результат должен быть равен 162, однако, этого добиться не получится. После нескольких попыток многие сдаются. Но здесь также не очень сложно найти ответ, главное, чтобы среди делителей была одна двойка и четыре тройки, например: делится на 162, так как уже произведение первых трёх множителей делится на 162 (делители 6, 9, 6, а их произведение 324 делится на 162). Ещё один способ: Для решения пункта в требуется уже более глубокое понимание. Например, выделить два числа и четыре группы по 3 числа и доказать, что для любых двух натуральных чисел или является чётным числом. Затем доказать, что из любых трёх натуральных чисел с помощью сложения и умножения можно получить число, делящееся на 3. Перемножив полученные выражения, мы получим число делящееся на, то есть на 162. Эту задачу можно давать учащимся разного уровня подготовки, только ставить перед ними дифференцированные цели. При подготовке можно задавать наводящие вопросы. Это поможет лучше закрепить материал. Но важным моментом является и мотивация учащегося. Отсутствие интереса к задаче приводит к тому, что не найдя сразу решения, ученик быстро сдаётся и больше не пытается решить задачу. 10

Средние результаты выполнения заданий С6 в 2011 году Не приступали (в %) 87,7 0 баллов (в %) 7,94 1 балл (в %) 2,5 1 балл (числ. уч-ся) балла (в %) 1,2 2 балл (числ. уч-ся) балла (в %) 0,38 3 балла (числ. уч-ся) балла (в %) 0,28 4 балла (числ. уч-ся) 2045 Положит. рез-т (в %) 4,36 Положит. рез-т (числ. уч-ся) Низкий (0-30 тест.баллов 0-5 первич. баллов) Базовый (31-56 тест.б первич. б.) Повышенный (57-82 тест.б первич. б.) Высокий ( тест.б первич. б.) С6 1 балл 0415 уч-ся.6,519,7 С6 2 балла 03 уч-ся.3,421,6 С6 3 балла 00 уч-ся.0,814,6 С6 4 балла 00 уч-ся.0,415,2 Всего: 260 тыс. учащихся

Решение задачи С года Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто то из них мог сходить и в кино и в театр, известно что в театре мальчиков было не более 2/11 от общего числа учащихся в группе, посетивших театр, а в кино было мальчиков не более 2/5 от общего числа учащихся группы, посетивших театр. а) могло ли быть в группе 9 мальчиков если дополнительно известно что всего было в группе 20 учащихся? б) какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе если дополнительно известно что всего было в группе 20 учащихся? в) какую наименьшую долю могли составить девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия а) и б)? Решение: 12

Решение задачи С года Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто то из них мог сходить и в кино и в театр, известно что в театре мальчиков было не более 2/11 от общего числа учащихся в группе, посетивших театр, а в кино было мальчиков не более 2/5 от общего числа учащихся группы, посетивших театр. а) могло ли быть в группе 9 мальчиков если дополнительно известно что всего было в группе 20 учащихся? б) какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе если дополнительно известно что всего было в группе 20 учащихся? в) какую наименьшую долю могли составить девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия а) и б)? Решение: 13

Решение задачи С года Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто то из них мог сходить и в кино и в театр, известно что в театре мальчиков было не более 2/11 от общего числа учащихся в группе, посетивших театр, а в кино было мальчиков не более 2/5 от общего числа учащихся группы, посетивших театр. а) могло ли быть в группе 9 мальчиков если дополнительно известно что всего было в группе 20 учащихся? б) какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе если дополнительно известно что всего было в группе 20 учащихся? в) какую наименьшую долю могли составить девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия а) и б)? Решение: Ответ: а) да; б) 9; в) 14

Задача С года Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают. а)Может ли в результате получиться 0? б)Может ли в результате получиться 1? в)Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? 15

Задачи с сайта ALEXLARIN.NET Генератор вариантов ЕГЭ (Вариант генерируется из заданий Открытого Банка )ALEXLARIN.NEThttp://mathege.ru 16

Дополнительные задачи 1 ) Дана последовательность натуральных чисел, причем каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 7 раз. Сумма всех членов последовательности равна 163. а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности? б) Какое наибольшее число членов может быть в этой последовательности? 2) В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний а) может ли в последовательности быть три члена? б) может ли в последовательности быть четыре члена? в) может ли в последовательности быть меньше 2046 членов? Ответ: а) да; б) в) да. 17

Полезные ссылки К. А. Кноп Взвешивания и алгоритмы: от головоломок к задачам. - Издательство МЦНМО Москва, 2011 Костромина С.Н. - Учиться на пятерки по математике (для 6-10 лет) (интересные методики) Агаханов Н.X., Подлипский О.К. - Математика. Районные олимпиады. 611 классы ЕГЭ. Математика. Задание С6_Шевкин А.В, Пукас Ю.О_ с -форум материалы по ЕГЭ и ГИА, генератор вариантов генератор к/р из заданий ЕГЭ, создание д/з Московский центр непрерывного математического образования 18