Автор : Преподаватель математики СПб ГБПОУ КИТ Патреева Я. Т. Многогранники 3D и 4D: двойственность САНКТ - ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ « КОЛЛЕДЖ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ »

Определение многогранника Многогранником в n- мерном пространстве называется ограниченная замкнутая часть этого пространства, имеющая грани всех размерностей от 0 до n-1. Пример 1. Трехмерный многогранник имеет грани размерностей 0, 1, 2, которые мы называем вершинами, ребрами и плоскими гранями. Пример 2. Четырехмерный многогранник имеет грани размерностей 0, 1, 2, 3 – вершины, ребра, грани, плоские грани и трехмерные грани.

Правильный многогранник Правильным назовем многогранник, грани всех размерностей которого являются также правильными. Пример 1. У правильного трехмерного многогранника равны между собой все ребра и плоские грани соответственно. Пример 2. У правильного четырехмерного многогранника равны между собой все ребра, плоские грани и трехмерные грани соответственно.

Правильные многогранники 3D Тетраэдр Куб Октаэдр Икосаэдр Додекаэдр

Правильные многогранники 4D Гипертетраэдр Гиперкуб Гиперокаэдр Полиоктаэдр Гиперикосаэдр Гипердодекаэдр

« Звезда » многогранника Звездой многогранника назовем многогранник размерности на 1 меньше, полученный при « отрезании » вершины. Пример. « Звезда » куба - треугольник

Символ Шлефли Символом Шлефли для правильного многогранника назовем множество { k; m; n;…}, где k – число ребер каждой плоской грани, а остальное множество m; n; … - « звезда » многогранника. Пример 1. Символ Шлефли для куба {4; 3} Пример 2. Символ Шлефли для полиоктаэдра {3;4;3}

Таблица взаимосвязи граней (3D) Вершин Ребер Граней Название Тетраэдр 464{3;3} Куб 8126{4; 3} Октаэдр 6128{3; 4} Икосаэдр {3; 5} Додекаэдр {5; 3}

Таблица взаимосвязи граней (4D) Название Верш ин Ребер Гра ней 3d- граней Символ Шлефли Гипертетраэдр 510 5{3;3;3} Гиперкуб {4;3;3} Гипероктаэдр {3;3;4} Полиоктаэдр {3;4;3} Гиперикосаэдр {3;3;5} Гипердодекаедр {5;3;3}

Двойственность Двойственными назовем многогранники, у которых количество граней всех размерностей расположено в обратном порядке. Иначе говоря, символы Шлефли которых записаны « наоборот » {4; 3; 3} {3; 3; 4}

Сделаем выводы о двойственности многогранников : 3D4D Тетраэдр – тетраэдр Куб – Октаэдр Икосаэдр - Додекаэдр Гипертетраэдр – гипертетраэдр Гиперкуб – Гипероктаэдр Полиоктаэдр – полиоктаэдр Гиперикосаэдр - гипердодекаэдр

Источники : ссылки на изображения Тетраэдр fw-1023-fh-448-pd- 1&p=1&text=%D1%82%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%8D%D0%B4%D1%80&noreask=1&p os=54&rpt=simage&lr=2&img_url=http%3A%2F%2Fdiesel.elcat.kg%2Fuploads%2Fmonthly_07_2011 %2Fpost jpg fw-1023-fh-448-pd- 1&p=1&text=%D1%82%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%8D%D0%B4%D1%80&noreask=1&p os=54&rpt=simage&lr=2&img_url=http%3A%2F%2Fdiesel.elcat.kg%2Fuploads%2Fmonthly_07_2011 %2Fpost jpg Куб wh-625-fw-1039-fh-448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fwww.lapinbook.ru%2Fbook2%2Fmistakes%2Fimg%2F540. jpg wh-625-fw-1039-fh-448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fwww.lapinbook.ru%2Fbook2%2Fmistakes%2Fimg%2F540. jpg Икосаэдр %D0%B4%D1%80&fp=0&pos=16&uinfo=ww-1264-wh-625-fw-1039-fh-448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fgraph.power.nstu.ru%2Fwolchin%2Fumm%2FGraphbook %2Fbook%2F001%2F027%2F74%2F74. gif %D0%B4%D1%80&fp=0&pos=16&uinfo=ww-1264-wh-625-fw-1039-fh-448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fgraph.power.nstu.ru%2Fwolchin%2Fumm%2FGraphbook %2Fbook%2F001%2F027%2F74%2F74. gif Додекаэдр %D1%8D%D0%B4%D1%80&fp=0&pos=3&uinfo=ww-1264-wh-625-fw-1039-fh-448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommons%2F7% 2F73%2FDodecahedron.gif %D1%8D%D0%B4%D1%80&fp=0&pos=3&uinfo=ww-1264-wh-625-fw-1039-fh-448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommons%2F7% 2F73%2FDodecahedron.gif

Источники : ссылки на изображения Гипертетраэдр %80%D0%B5%D1%85%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D 0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0 %BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8&fp=0&pos=1&uinfo=ww-1264-wh-625-fw-1039-fh- 448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fco mmons%2Fthumb%2Ff%2Ff5%2FStereographic_polytope_5cell.png%2F105px- Stereographic_polytope_5cell.png %80%D0%B5%D1%85%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D 0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0 %BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8&fp=0&pos=1&uinfo=ww-1264-wh-625-fw-1039-fh- 448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fco mmons%2Fthumb%2Ff%2Ff5%2FStereographic_polytope_5cell.png%2F105px- Stereographic_polytope_5cell.png Гиперкуб %D1%85%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BC%D0%BD%D0%BE% D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8&fp=0& pos=1&uinfo=ww-1264-wh-625-fw-1039-fh-448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommons%2Fth umb%2F0%2F05%2FStereographic_polytope_8cell.png%2F150px-Stereographic_polytope_8cell.png %D1%85%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BC%D0%BD%D0%BE% D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8&fp=0& pos=1&uinfo=ww-1264-wh-625-fw-1039-fh-448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommons%2Fth umb%2F0%2F05%2FStereographic_polytope_8cell.png%2F150px-Stereographic_polytope_8cell.png Гипероктаэдр D0%B5%D1%85%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BC%D0% BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0 %BA%D0%B8&fp=0&pos=1&uinfo=ww-1264-wh-625-fw-1039-fh-448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommon s%2Fthumb%2F2%2F2d%2FStereographic_polytope_16cell.png%2F105px- Stereographic_polytope_16cell.png D0%B5%D1%85%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BC%D0% BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0 %BA%D0%B8&fp=0&pos=1&uinfo=ww-1264-wh-625-fw-1039-fh-448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommon s%2Fthumb%2F2%2F2d%2FStereographic_polytope_16cell.png%2F105px- Stereographic_polytope_16cell.png

Источники : ссылки на изображения Полиоктаэдр %D1%85%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BC%D0%BD%D0%BE% D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8&fp=0& pos=1&uinfo=ww-1264-wh-625-fw-1039-fh-448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommons%2Fth umb%2F1%2F16%2FStereographic_polytope_24cell.png%2F105px- Stereographic_polytope_24cell.png %D1%85%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BC%D0%BD%D0%BE% D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8&fp=0& pos=1&uinfo=ww-1264-wh-625-fw-1039-fh-448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommons%2Fth umb%2F1%2F16%2FStereographic_polytope_24cell.png%2F105px- Stereographic_polytope_24cell.png Гиперикосаэдр %80%D0%B5%D1%85%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D 0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0 %BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8&fp=0&pos=1&uinfo=ww-1264-wh-625-fw-1039-fh- 448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fco mmons%2Fthumb%2F4%2F43%2FStereographic_polytope_600cell.png%2F105px- Stereographic_polytope_600cell.png %80%D0%B5%D1%85%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D 0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0 %BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8&fp=0&pos=1&uinfo=ww-1264-wh-625-fw-1039-fh- 448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fco mmons%2Fthumb%2F4%2F43%2FStereographic_polytope_600cell.png%2F105px- Stereographic_polytope_600cell.png Гипердодекаэдр D0%B5%D1%85%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BC%D0% BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0 %BA%D0%B8&fp=0&pos=1&uinfo=ww-1264-wh-625-fw-1039-fh-448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommon s%2Fthumb%2Fd%2Fdb%2FStereographic_polytope_120cell.png%2F105px- Stereographic_polytope_120cell.png D0%B5%D1%85%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%BC%D0% BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0 %BA%D0%B8&fp=0&pos=1&uinfo=ww-1264-wh-625-fw-1039-fh-448-pd- 1&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommon s%2Fthumb%2Fd%2Fdb%2FStereographic_polytope_120cell.png%2F105px- Stereographic_polytope_120cell.png

Источники : печатные Стрингхем П. Г. Правильные фигуры в n- мерном пространстве. Под ред. Фаге, Успехи математических наук, вып. 10 – М., М. Берже, Геометрия, издательство « Мир », 1984 год М. Бюргер, Сферландия, издательство Амфора, 2001 Пухальская Я. Т. Курсовая работа по теме « Правильный многогранник в n – мерном пространстве » г.

Источники : ссылки на интернет - ресурсы Википедия, правильные многогранники D0%9 F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB% D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5 _%D0%BC%D 0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80% D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B 8 D0%9 F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB% D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5 _%D0%BC%D 0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80% D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B 8 Сайт « Математические этюды »