Задачи турнира и их решения Турнир смекалистых

5 класс

Задача 1 Тройка лошадей пробежала 60 км. Сколько пробежала каждая лошадь? Ответ обоснуйте.

Решение: Лошади, запряженные в тройку, пробегают одинаковое расстояние. Ответ: 60 Обоснованно получен верный ответ 2 Получен верный ответ без обоснования 1 Нет решения 0

Задача 2 Сколько концов у четырех с половиной палок?

Решение: Четыре с половиной палки – это пять палок, так как половина палки – палка, у каждой палки два конца, 2*5=10. Ответ: 10 Обоснованно получен верный ответ 2 Получен верный ответ без обоснования 1 Нет решения 0

Задача 3 Летела стая гусей. А навстречу ей летит один гусь и говорит:"Нас не 100 гусей, а кабы было ещё столько, да полстолько, да четверть столько, да ты бы гусь с нами, то и было нас 100 гусей". Сколько было гусей в стае?

Решение: х – число гусей в стае, получаем уравнение х+х+х/2+х/4+1=100, решаем уравнение, получаем х=36. Ответ: 36. Обоснованно получен верный ответ 3 Рассуждения верны, но допущена арифметическая ошибка 2 Получен верный ответ без обоснования 1 Нет решения 0

Задача 4 У целого кубика Рубика 8 вершин. Представьте, что одна вершина отвалилась. Сколько вершин осталось у кубика Рубика?

Решение: Вместо одной вершины станет 7. Поэтому у кубика Рубика останется 8-1+7=14 вершин. Ответ: 14. Обоснованно получен верный ответ 3 Рассуждения верны, но допущена арифметическая ошибка 2 Получен верный ответ без обоснования 1 Нет решения 0

Задача 5 Все мои 17 коллег здороваются за руку с разным числом товарищей по работе. Скольким коллегам пожимаю руку я сам?

Решение: 17+1=18, 18/2=9. Ответ: 9. Обоснованно получен верный ответ 3 Рассуждения верны, но допущена арифметическая ошибка 2 Получен верный ответ без обоснования 1 Нет решения 0

Задача 6 Сколькими нулями заканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 100?

Решение: 20 чисел делятся на 5, из них 4 делятся на 25, значит 24 произведения 5*2 дадут 24 нуля. Ответ: 24 нуля. Обоснованно получен верный ответ 3 Рассуждения верны, но допущена арифметическая ошибка 2 Получен верный ответ без обоснования 1 Нет решения 0

Задача 7 Продавец для взвешивания товара пользуется чашечными весами и четырьмя гирями общим весом 40 кг. Причем, используя различные комбинации гирь, можно взвесить любой груз, масса которого выражается целым числом килограммов (от 1 до 40 кг). Сколько весит каждая гиря?

Решение: Гиря в 1 кг должна быть обязательно, т.к. без нее не взвесить 39 кг. Чтобы взвесить 2 кг, нужна гиря в 2 кг или лучше в 3 кг, которая дает больше возможностей получить другие массы: 2=3-1, 3=3, 4=3+1. Здесь и далее знак минус стоит перед массой той гири, которая на весах на той же чаше, что взвешиваемый продукт. Итак, первые гири: 1 кг и 3 кг. Следующая гиря тяжелее суммы масс этих на 5 кг, т.е. 9 кг, тогда 5=9-(1+3), 6=9-3, 7=9+1-3, 8=9-1 и т.д. до 13 кг. Т.к. вместе гири весят 40 кг, то последняя 27 кг, тогда 14=27-(9+3+1), 15=27-(9+3) и т.д. или 4 гири - a, b, c, d. b-a=a+1 / b=2a+1 c-(b+a)=b+a+1 / c=6a+3 d-(c+b+a)=c+b+a+1 / d=18a+9 a+b+c+d=40 a+2a+1+6a+3+18a+9=40 27a+13=40 27a=40-13 a=1 b=2a+1=3 c=6a+3=9 d=18a+9=27 Ответ: 1; 3; 9; 27 Обоснованно получен верный ответ 4 Рассуждения верны, но допущена арифметическая ошибка 3 Рассуждения верны, но решение не доведено до конца 2 Получен верный ответ без обоснования 1 Нет решения 0

6 класс

Задача 1 + Восстановите ребус: КОШКА СОБАКА Одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, а разным буквам – разные цифры.

Решение: Так как КА+КА+КА оканчивается на КА, КА=50, а значит, К=5, А=0. Так как Ш+Ш+Ш+1 оканчивается на 0, то Ш=3. Так как сумма трех чисел, начинающихся на 5, может начинаться лишь с 1, то С=1. Рассматривая варианты для О, получаем, что О=6, а значит Б=9. + Ответ: Получен верный обоснованный ответ 3 При верных рассуждениях допущена ошибка при вычислении 2 Получен верный ответ без обоснований 1 Нет решения 0

Как разрезать квадрат на: 1)6 квадратов; 2)7 квадратов; 3)8 квадратов? Задача 2

Решение: За каждый правильно разрезанный квадрат 1 Нет решения 0

В ряд выписано 13 девяток и одна пятерка Поставьте между ними знаки +, –, :, × и скобки так, чтобы получилось число 2014 Задача 3

2014 = (9 : 9) × (9 : 9) + 9 : Решение: Получен верный ответ 3 Нет решения 0

Задача 4 Мама купила яблок и сказала детям, чтобы они, вернувшись из школы, разделили их поровну. Первым пришел Андрей, взял треть яблок и ушел. Вторым пришел Владик, взял треть оставшихся яблок и ушел. Затем вернулась из школы Настя, она взяла 4 яблока – треть от числа яблок, которые она увидела на столе. Сколько яблок оставила мама на столе?

Решение: Получен верный обоснованный ответ 3 Допущена арифметическая ошибка при верных рассуждениях 2 Получен верный ответ без обоснований 1 Нет решения 0

Задача 5 На квадратном участке земли имеются четыре колодца: три рядом, близ края участка, и один в углу (см. рисунок). Участок перешел к четырем арендаторам, которые решили разделить его между собой, но так, чтобы у всех были участки совершенно одинаковой формы и чтобы на каждом из них находился колодец. Можно ли это сделать?

Решение: один из способов раздела земли между четырьмя арендаторами показан на рисунке и обозначен сплошными линиями. Участки получаются довольно причудливой формы, но зато у всех четырех арендаторов они совершенно одинаковые, и у каждого есть колодец. Найдено верное решение для всех 4-х арендаторов 3 Найдено верное решение для 3-х арендаторов 2 Найдено верное решение для 2-х арендаторов 1 Нет решения 0

Незнайка начертил три прямые линии. На каждой из них он отметил 3 точки. Всего Незнайка отметил 6 точек. Как он это сделал? Покажите на рисунке Задача

Решение: решение показано на рисунке Получено верное решение задачи 3 Нет решения 0

Во время акции при покупке бензина автолюбитель экономит 1 рубль на литре. Сколько должен стоить 1 литр бензина, чтобы можно было сэкономить 4 % от предполагаемой суммы? Задача 7

Решение: Пусть автолюбитель купил x литров бензина по цене y рублей за литр. Тогда он сэкономил x рублей. С другой стороны он сэкономил 0,04xy рублей. Значит, 0,04xy = x, откуда у = рублей. Ответ: 25 рублей. Обоснованно получен верный ответ 3 Получен неправильный ответ из-за арифметической ошибки 2 Рассмотрен частный случай 1 Нет решения 0

7 класс

Задача 1 (математика) Может ли дробь, в которой числитель меньше знаменателя, быть равной дроби, в которой числитель больше знаменателя?

Решение: Любые две равные отрицательные дроби, в числителе первой дроби и в знаменателе второй дроби – отрицательные числа. Ответ: например: -3/5 = 6/-10 Обоснованно получен верный ответ 3 Рассмотрен частный случай 2 Нет решения 0

Задача 2 (математика) Как сварить яйцо за 2 минуты, если в вашем распоряжении всего пара песочных весов – на 5 и 3 минуты?

Решение: Перевернуть сразу и первые, и вторые песочные часы; когда в трехминутных часах песок истечет, бросайте яйцо в кипяток и следите за вторыми часами. Они будут работать ровно 2 минуты. Ответ: в решении. Обоснованно получен верный ответ 2 Нет решения 0

Задача 3 (математика) В шесть часов утра в воскресенье гусеница начала всползать на дерево. В течение дня, т. е. до 18 часов, она всползала на высоту 5 м, а в течение ночи спускалась на 2 м. В какой день и час она будет на высоте 9 м

Решение: Часто при решении подобных задач рассуждают так: гусеница за сутки, т. е. за 24 часа вползает на 5 м - 2 м, т.е. на 3 м. Следовательно, высоты 9 м она достигнет по истечении трех суток, т. е. она будет на этой высоте в среду в 6 часов утра. Но такой ответ неверен: в конце вторых суток, т. е. во вторник в 6 часов утра, гусеница будет на высоте 6 м; но в этот же день, начиная с шести часов утра, она до 18 часов вползает на 5 м и проходит отметку в 9 м. Следовательно, на высоте 9 м, как легко рассчитать из пропорции 5 м – 12 ч, 3 м – ? ч, она окажется во вторник в 13 часов 12 минут. (Естественно, надо считать, что гусеница все время движется равномерно) Ответ: Вторник, 13 часов 12 минут. Обоснованно получен верный ответ 3 Обоснованно получен неверный ответ из- за арифметической ошибки 2 Получен верный ответ без обоснований 1 Нет решения 0

Задача 4 (математика) Циферблат часов надо разрезать на 6 частей любой формы, - так, чтобы сумма чисел, имеющихся на каждом участке, была одна и та же.

Решение (один из вариантов) : Циферблат часов разрезаем на 6 частей, так, чтобы в каждой части были числа: 12 и 1, 11 и 2, 10 и 3, 9 и 4, 8 и 5, 7 и 6. Ответ: Обоснованно получен верный ответ 3 Предложена геометрическая иллюстрация к задаче, но получен неверный ответ 1 Нет решения 0

Задача 5 (математика) Хвост рыбы весит 4 кг, голова весит столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище – столько, сколько голова и хвост. Сколько весит вся рыба?

Решение: Туловище = голова + хвост; туловище = 0,5 туловище + 2 хвоста; значит, 0,5 туловища = 2 хвоста = 2*4 = 8 кг. Вес туловища равен 16 кг, вес головы – 12 кг. Масса рыбы: = 32 кг. Ответ: 32 кг Обоснованно получен верный ответ 3 Обоснованно получен неверный ответ из- за арифметической ошибки 2 Получен верный ответ без обоснования 1 Нет решения 0

Задача 6 (физика) Если выстрелить в вареное яйцо, то в нем образуется отверстие, если же в сырое, то оно разлетается. Почему?

Ответ: При выстреле в вареное яйцо образуется отверстие, так как давление пули в этом яйце передаётся лишь по направлению её движения. Сырое яйцо разбивается пулей вдребезги, т.к. давление пули в жидкости по закону Паскаля передается одинаково по всем направлениям. Обоснованно получен верный ответ 4 Получен верный ответ без обоснования. 2 Нет решения 0

Задача 7 (экономика) 01 марта фермер купил двух петухов и десять куриц за рублей. 01 мая фермер получил выводок в 50 цыплят. До появления цыплят фермер тратил на прокорм птичника 30 руб. в день. После выводка птенцов фермер в день на прокорм всего птичника тратит 150 рублей. Фермер выращивает цыплят для продажи. Рассчитайте минимальную цену продажи цыплят через три месяца после их появления на свет, при условии, что фермер не получил убыток от этого выводка.

Решение: Затраты на приобретение птицы: руб. Затраты на корм: руб. 30 руб./день *( ) дней = руб. – в период до появления цыплят (март, апрель) 150 руб./день *( ) дней = руб. – в период содержания цыплят на весь птичник (с мая по июль включительно) Суммарные затраты на предприятие (приобретение + затраты на корм): руб. с продажи выводка фермер должен получить не менее руб. Значит, минимальная цена за цыпленка составляет: руб./50 шт. = 432 руб. 60 коп. за цыпленка. Обоснованно получен верный ответ 3 Получен верно обоснованный ответ с арифметической ошибкой 2 Логика ответа частично совпадает с правильной, но есть несущественные неточности в рассуждениях 1 Получен неверный ответ с неверным обоснованием 0

8 класс

Задача 1 (математика) У купца в кармане лежат две монеты на общую сумму 15 копеек, причем одна из них не пятак. Какие же это монеты? Ответ обоснуйте.

Решение: Эта задача основана на психологической особенности человеческого восприятия – запомнить основные факты из условия задачи. В этом случае внимание нацелено на факт: монета не пятак. Заострив на это внимание, дети начинают безуспешные попытки решения задачи. Ответ: 10 коп. и 5 коп., поскольку в условии задачи сказано, что лишь одна монета не пятак, а другая может быть пятаком. Обоснованно получен верный ответ 2 Получен верный ответ без обоснования 1 Нет решения 0

Задача 2 (математика, софизм) Мальчик, едущий в автобусе, захотел узнать, с какой скоростью едет автобус. Для этого он заметил по своим часам время, когда напротив окна показался телеграфный столб. Начиная от него, мальчик стал считать последующие столбы. Когда он насчитал 24 – й столб, то опять посмотрел на время. Оказалось, что прошло всего 2 мин. Мальчик знал, что расстояние между столбами 50 м, и сделал вывод: скорость автобуса равна 36 км/ч. В чем ошибка? Ответ обоснуйте.

Решение. Ошибка в том, что находя расстояние которое проехал автобус, мальчик ошибся, так как он 50 м умножил на количество столбов, а нужно было умножать на количество промежутков между столбами, то есть на 23. Ответ: ошибка в нахождении расстояния, которое проехал автобус. Обоснованно получен верный ответ 2 Получен верный ответ без обоснования 1 Нет решения 0

Задача 3 (математика) Две каменные лестницы имеют одинаковую высоту 5 м и одинаковое основание 4 м. Они покрыты ковровыми дорожками. Первая лестница имеет 6 ступенек, а вторая – 8. Хватит ли дорожки, покрывающей ступеньки первой лестницы, для покрытия второй? Ответ обоснуйте.

Решение: Так как длина ковровой дорожки складывается суммы из горизонтальных и вертикальных отрезков, а сумма горизонтальных и вертикальных отрезков в обоих случаях будет равна соответственно сумме длин основания и высоты лестницы, то дорожки хватит и для второй лестницы. Ответ: дорожки хватит для второй лестницы. Обоснованно получен верный ответ 3 Рассмотрен частный случай 2 Получен верный ответ без обоснования 1 Нет решения 0

Задача 4 (математика) От полного стакана кофе я отпил половину и долил столько же молока. Затем я отпил третью часть получившегося кофе с молоком и долил столько же молока. Затем я отпил шестую часть получившегося кофе с молоком, долил стакан молоком доверху и выпил все до конца. Чего в итоге я выпил больше: молока или черного кофе?

Решение: Количество выпитого черного кофе равно первоначальному его количеству и составляет 1 стакан. Молока долили сперва полстакана, затем треть стакана, и, наконец шестую часть стакана, т.е. в общей сложности 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 стакан. Следовательно, кофе и молоко выпито поровну. Ответ: кофе и молоко выпито поровну Обоснованно получен верный ответ 2 Получен верный ответ без обоснования 1 Нет решения 0

Задача 5 (математика) Бабушка прислала Ивану посылку с яблоками и грушами. Некоторые из этих плодов были большими, остальные – маленькими. По цвету, плоды тоже различались: часть плодов была жёлтого цвета, остальные – зелёного. Среди плодов не было ни маленьких груш, ни маленьких зелёных яблок. Яблок было 25, а груш – 17. Больших плодов было 32. Жёлтых плодов было 28. Зелёных яблок было на 2 больше, чем зелёных груш. Иван угостил этими плодами своих друзей. Больше всего ребятам понравились большие жёлтые яблоки. Сколько было таких яблок?

Решение: (продолжение следует)

1) Согласно условию задачи не было ни маленьких груш, ни маленьких зелёных яблок. 2) Так как маленьких груш не было, то все они были большие и их было 17. 3) Так как больших плодов было 32, то среди них было 15 больших яблок (32-17). Всего яблок было 25, значит, маленьких яблок 10, причём все они были жёлтого цвета. 4) Если жёлтых плодов 28, то зелёных – 14. А так зелёных яблок на 2 больше, чем зелёных груш, то из уравнения х+х+2=14 получаем, что зелёных яблок 8, а груш 6. 5) Больших жёлтых яблок было 7. Ответ: больших жёлтых яблок было 7 (продолжение) Обоснованно получен верный ответ 3 Рассуждения верны, но имеется арифметическая ошибка 2 Получен верный ответ без обоснования 1 Нет решения 0

Задача 6 (физика) 2 одинаковых сосуда наполнены до краев водой. В одном из них плавает кусок дерева. Какой из сосудов перетянет, если их поставить на весы?

Ответ: Оба имеют одинаковый вес, поскольку вес воды, вытесненной погруженной частью плавающего куска дерева, равен весу этого куска по закону Архимеда. Обоснованно получен верный ответ 4 Получен верный ответ без обоснования 2 Нет решения 0

Задача 7 (экономика) Общество с ограниченной ответственностью «Кот и Ко» планирует запуск нового проекта. Учредители могут вложить руб. собственного капитала. Для реализации проекта предполагается взять дополнительно кредит в размере руб. Планируемый доход с проекта за год составляет руб. Годовые затраты на реализацию проекта составят руб. Определите максимальный процент по кредиту (в процентах годовых), при условии, что учредители хотят получить 25% с каждого вложенного рубля.

Решение: Прибыль от реализации проекта до уплаты процентов по кредиту составит: руб. – руб. = руб. Учредители хотят получить за год прибыль в размере: руб. * 25/100 = руб. Сумма, которая остается для уплаты процентов по кредиту, составляет: руб. – руб. = руб. Поэтому максимальный процент по кредиту устанавливается в размере: ( руб./ руб.)* 100 % = 21 %. При превышении стоимости кредита 21 % учредители получат меньше требуемых ими 25 % с собственного капитала. При занижении ставки процента ниже 21 % «Кот и Ко» получат средства на реинвестирование бизнеса. Обоснованно получен верный ответ 3 Получен верно обоснованный ответ с арифметической ошибкой 2 Логика ответа частично совпадает с правильной, но есть несущественные неточности в рассуждениях 1 Получен неверный ответ с неверным обоснованием 0

9 класс

Задача 1 (математика) В школе зимой работали 3 спортивные секции – лыжная, хоккейная и конькобежная. В них занимались 38 человек. Известно, что в лыжной секции занимался 21 человек, среди которых 3 человека занимались еще в конькобежной секции, 6 человек – еще в хоккейной секции и 1 человек занимался одновременно во всех трех секциях. В конькобежной секции занимались 13 человек, среди которых 5 человек занимались одновременно в двух секциях. Сколько человек занималось в хоккейной секции?

Решение: Только коньками занимались: =8(человек); тогда только хоккеем занимались: =7 (человек); всего хоккеем занимались: =15(человек). Ответ: 15 человек. Обоснованно получен верный ответ 3 Получен неверный ответ, но рассуждения верны 2 Получен верный ответ без обоснований 1 Нет решения 0

Задача 2 (математика, пропорциональность величин) Башня Эйфеля в Париже, 300 метров высоты, сделана целиком из железа, которого пошло на нее около кг. Если заказать точную железную модель знаменитой башни, весящую всего 1 кг, какой она будет высоты? Выше стакана или ниже?

Решение: Масса прямо пропорциональна объему = 300 метров : 200 = 1,5 метра. Ответ. Выше стакана. Обоснованно получен верный ответ 3 Получен верный ответ без обоснования 1 Нет решения 0

Задача 3 (математика, софизм) Объясните, как такое может быть? В чем ошибка? 5 копеек =

Ответ: ошибка в переводе копеек в рубли. Решение: 5 копеек = Обоснованно получен верный ответ 3 Получен верный ответ без обоснования 1 Нет решения 0

Задача 4 (математика, соотношение величин) Часы показывают час дня. Найдите ближайший момент времени, когда часовая и минутная стрелки совпадут.

Решение: Обоснованно получен верный ответ 3 Получен неверный ответ, но рассуждения верны 2 Нет решения 0

Задача 5 (математика, признаки делимости) Имеются три груды камней: в первой – 1996 штук, во второй – 996, в третьей – 96 камней. Одним ходом разрешается либо убрать из каждой груды по одному камню, либо половину камней из какой-либо груды (если в ней четное число камней) переложить в любую другую. Можно ли добиться того, чтобы во всех трех грудах не осталось ни одного камня?

Решение: После каждого хода остаток от деления на 3 общего количества камней не меняется. Общее количество камней вначале было: = 3088 = 3* (штук). Это число не делится на 3, следовательно, нельзя добиться, чтобы во всех грудах не осталось камней. Ответ: Нет, нельзя. Обоснованно получен верный ответ 4 Получен верный ответ без обоснования 2 Нет решения 0

Задача 6 (физика, инерция) В какую сторону (по ходу движения или против движения поезда) надо из движущегося вагона выбросить бутылку, чтобы опасность разбить её при ударе о землю была наименьшей?

Ответ: Бутылку нужно бросать назад, против движения поезда, тогда скорость, сообщенная бутылке бросанием, будет отниматься от той, какую бутылка имеет вследствие инерции, в итоге бутылка упадет на землю с меньшей скоростью. При бросании вперед, скорости бы сложились и удар получился бы сильнее. Обоснованно получен верный ответ 4 Получен верный ответ без обоснования 2 Нет решения 0

Задача 7 (экономика) Гражданин получил в наследство рублей. Обрадованный такой новостью, он на всю сумму купил облигации номиналом 110 руб. каждая по рыночной цене 100 руб. за штуку. Облигация предполагает купонный квартальный доход 5% от номинала. В конце второго квартала гражданин прочитал в СМИ новость о неблагоприятном состоянии эмитента облигаций и решил продать половину имеющихся у него облигаций по цене их покупки. К концу четвертого квартала эмитент обанкротился и смог выплатить купонный доход и выкупить по номиналу только 75 % облигаций гражданина. Определите годовую доходность данной финансовой операции гражданина. Какую годовую доходность получил бы гражданин, если бы не знал о неблагоприятном состоянии эмитента? Какова бы была разница в доходах: увеличение или уменьшение?

Решение: Доходы гражданина можно свести в таблицу Период 1 квартал 2 квартал 3 квартал 4 квартал год Количество имеющихся облигаций, шт Доход купонный, выплачивае мый в квартал, руб = 0,05 *110 руб./шт. * шт = 0,05 * 110 руб. * 500 шт = 0,05 * 110 руб. *(500*0,75) – только по 75 % облигаций выплачен купон Доход от продажи (по рыночной цене) или выкупа (по номиналу) облигаций, руб = 100 руб. / шт. * 500 шт. (половина имеющихся облигаций) = 110 руб. * (500 * 0,75) только 75 % облигаций выкуплены по номиналу Всего доходов, руб (продолжение следует)

Значит, доходность финансовой операции равна ( – ) / * 100% = 7,06 %. Если бы гражданин не знал о неблагоприятном состоянии эмитента, то его доходы распределились бы так: (продолжение следует) Период 1 квартал 2 квартал 3 квартал 4 квартал год Количество имеющихся облигаций, шт Доход купонный, выплачивае мый в квартал, руб = 0,05 *110 руб./шт. * шт = 0,05 * 110 руб. * шт = 0,05 * 110 руб. *(1 000*0,75) – только по 75 % облигаций выплачен купон Доход выкупа (по номиналу) облигаций, руб = 110 руб. * (1 000 * 0,75) только 75 % облигаций выкуплены по номиналу Всего доходов, руб

Значит, доходность данной финансовой операции равна ( руб. – ) / * 100% = 3,125 %. Не читая СМИ, доход гражданина уменьшился бы на руб. – руб. = руб. (продолжение) Обоснованно получены три верный ответ 3 Получено верно обоснованных ответов: два или один 2 Получены верно обоснованные ответы с арифметической ошибкой 1 Получены неверные ответы с неверным обоснованием 0

Спасибо за внимание!