ЛЕКЦИЯ 1 Тема 1: Введение: Рождение и зарождение синергетики. Тема 2: Системы, динамические системы. Дисциплина: Синергетика для инженеров Преподаватель: профессор каф. общей физики Н.Н. Никитенков

Дата рождения синергетики и ее основатель 1973 г. состоялась первая конференция по проблемам само- организации, на которой профессор Штутгартского университетта Герман Хакен сделал доклад о новой науке – синергетике. Хакен Герман (родился 12 июля 1927 г.) – немецкий физик-теоретик Изучал физику и математику в университеттах Галле (1946– 1948) и Эрлангена (1948–1950), получив степени доктора философии и доктора естественных наук. С 1960 г. является профессором теоретической физики университетта Штутгарта. До ноября 1997 г. был директором Института теоретической физики и синергетики университетта Штутгарта. С декабря 1997 г. является почетным профессором и возглавляет Центр синергетики в этом институте, а также ведет исследования в Центре по изучению сложных систем в университет Флориды (Бока Рэтон, США). Является основателем шпрингеровской серии книг по синергетике.

К 1973 году были известны процессы самоорганизации в следующих областях: -В гидродинамике, -в лазерах, -атмосферных вихрях, -поведении сообществ диких животных, -при образовании сложных молекул в химических реакциях, -галактик, -в ряде социальных явлений. При этом в процессе перехода от менее упорядоченного состояния к более упорядоченному во всех этих системах имеют место коллективные, согласованные процессы, все они ведут себя сходным образом и подчиняются общим математическим закономерностям.

Ячейки Бенара – классический пример самоорганизации. В 1900 году – эксперимент Х. Бенара (открытие ряда удивительных свойств открытых систем). Наблюдаемые в различных вариантах этого эксперимента структуры, названы ячейками Бенара. Объект эксперимента - вязкая жидкость налитая тонким слоем в сосуд круглой или прямоугольной формы. Латеральные размеры сосуда много больше толщины слоя жидкости. В начале эксперимента жидкость находится в состоянии термодинамического равновесия. Затем нижний слой жидкости равномерно нагревают а ее верхняя поверхность поддерживается при постоянной температуре Т 1 < Т 2 – температура нагревателя. Т=Т 2 –Т 1 - градиент температуры. При T T с - макроскопическое движение жидкости – формирование структур.

Фото ячеек Бенара в тонком слое силиконового масла. Вид сверху. Мелкая выемка на дне сосуда

Возникновение шестигранных ячеек Бенара в тонком слое жидкости. Сверху – линии тока жидкости в режиме конвекции Бенара. Снизу – снимок конвекции Бенара. Видны шестигранные конвективные ячейки в слое силиконового масла толщиной 1 мм с добавлением алюминиевых опилок. Слой равномерно нагрет снизу. Освещенные алюминиевые опилки позволяют визуально проследить подъем жидкости в центре каждой ячейки и ее опускание на краях

Упрощенное объяснение Вследствие теплового расширения жидкость расслаивается, причем часть жидкости, находящаяся ближе к нижней плоскости, характеризуется пониженной плотностью по сравнению с верхними слоями. Это приводит к градиенту плотности, направленному против силы тяжести. То есть, система становится неустойчивой. Далее начинается борьба между Архимедовой силой и силой тяжести, которая и приводит к образованию структуры.

К объяснению природы тепловой конвекции На одних участках нагретая жидкость поднимается вверх, охлаждается у верхней поверхности и опускается вниз на других участках.

Картины (фотографии) конвективной неустойчивости (конвективные валы) в силиконовом масле в прямоугольном ящике с относительными размерами сторон 10:4:1, подогреваемом снизу. Верхний ряд – равномерный нагрев; нижний – неравномерный (амплитуды движения изменяются в направлении справа налево).

Методы синергетики формировались, главным образом, в процессе развития: нелинейной физики (в частности, нелинейной динамики), теории корпоративных процессов, неравновесной термодинамики. Понятия и термины синергетики так или иначе связаны с теорией систем и с исследованием динамических систем.

Кое-что из теории систем Определение системы (30-е гг. ХХ века Л. фон Берталанфи): Объект может рассматриваться как система в том случае, если он: состоит из подсистем, т.е. разделяется на части; части должны составлять единое целое, которое обладает новыми свойствами, не сводимыми к сумме свойств частей; должна существовать такая взаимосвязь элементов в системе, которую можно описать математически; сама система должна быть подсистемой большей системы. Главное, что определяет систему – это взаимодействие и взаимосвязь частей в рамках единого целого

Подсистемы – это наибольшие части системы, которые обладают определенной автономностью, но в то же время подчинены системе и управляются ею. Обычно подсистемы являются особым образом организованные системы, которые называют иерархическими. В иерархических системах каждый уровень организации подсистем подчинен последующему, более высокому уровню организации, но при этом обладает определенной степенью автономии. Элементы системы – это наименьшие составные части системы. Но в принципе, любую составную часть системы можно рассматривать в виде элемента, если отвлечься от ее размеров. Структура системы – это совокупность тех отношений (связей и взаимодействий) между образующими ее элементами и подсистемами, благодаря которым система сохраняет свою целостность и качественную определенность.

Иерархичность, многоуровневость, структурность – это свойства не только строения любой системы, но и ее поведения. Функционирование системы является результатом взаимодействия всех ее элементов и уровней организации, как между собой, так и с окружающей средой. Все системы можно разделить на материальные и идеальные (абстрактные). Материальные системы, в свою очередь, можно разделить по формам движения материи на физические, химические, геологические, биологические и социальные. По характеру взаимодействия с окружающей средой все системы делят на открытые и замкнутые (изолированные). динамические и статические. Среди динамических систем обычно выделяют детерминистские и стохастические (вероятностные).

Динамические системы Динамическая система - математический объект, моделирующий реальную систему (физические, химические, биологические и др.), эволюция которых однозначно определяется начальным состоянием. Динамическая система определяется системой уравнений (дифференциальных, разностных, интегральных и т.д.), допускающих существование на бесконечном интервале времени единственность решения для каждого начального условия. Описывают набором переменных, выбираемых из соображений естественности их интерпретации, простоты в описании, симметрии и т. п.

Множество состояний динамической системы образует фазовое пространство, каждому состоянию отвечает точка в нём, а эволюция состояний изображается фазовыми траекториями. Совокупность состояний в фиксированный момент времени характеризуется фазовым объёмом. Динамические системы делят на классы: конечномерные и бесконечномерные (с распределенными параметрами) конечномерное и бесконечномерное фазовое пространство. Выделяют динамические системы с непрерывным временем – потоки, и с дискретным временем – каскады. Грубые и негрубые динамические системы. Понятие грубость характеризует качество неизменности типа движения системы при малом изменении её параметров (структурную устойчивость системы).

Фазовое пространство (поток, траектория, объем, портрет) Состояние динамической системы (механической, химической, термодинамической и т.д.) задается точкой (q,р) в фазовом пространстве с N-мерными вектора- ми q=(q 1,..., q N ) и p=(p 1,..., p N ). Это обобщенные координаты и обобщенные импульсы. Число N в этом случае называют числом степеней свободы, а фазовое пространство 2N-мерным. Изменение состояния системы со временем t приводит к перемещению точки (q,p) в фазовом пространстве. Это перемещение образует фазовую траекторию точки (q(t), p(t)).

Фазовым потоком называют оператор переводящий систему из одного состояния в момент времени t=0 в другое состояние в момент времени t: (q(0), p(0))=(q(t), p(t)), Фазовый поток определяется с помощью дифференциальных уравнений движения: (*) Q и P – функции координат фазового пространства и времени. Решение (*) - фазовая траектория системы:

зависит от начальных условий: q 0 =q(0), p 0 =p(0) называется, также фазовой кривой. Состоянию равновесия отвечает вырожденная траектория – точка в фазовом пространстве, периодическому движению – замкнутая траектория. Фазовые кривые (траектории) не пересекаются, за исключением некоторые кривых, составляющих так называемое множество нулевой меры.

Схемы инфинитного (а) и финитного (б) движения в фазовом пространстве Если фазовая кривая для t=(–, + ) размещается в неограниченной области фазового пространства, движение называется инфинитным, если в конечной области – финитным. Отражением этих свойств движения являются физические инварианты движения, то есть величины, не изменяющиеся со временем.

Схема перемещения фазового объема Фазовый объем (конечная область в фазовом пространстве и множество всех точек этой области) – инвариант движения Г 0 можно рассматривать как совокупность начальных точек некоторого набора фазовых траекторий – капля «фазовой жидкости». С течением времени фазовая жидкость перемещается вследствие фазового потока и к моменту времени t занимает фазовый объем Г t Если фазовый объем в результате движения сохраняется, то Г 0 = Г t или: Г t = constinv. ** что имеет простой физический смысл: если каждой фазовой точке, входящей в объем Г t, сопоставить некоторую частицу. Тогда величина Г t определяет число частиц в фазовом объеме Г t а формула ** выражает закон сохранения числа частиц.

Гамильтоновы системы Динамические системы, для которых имеет место сохранение фазового объема, называют гамильтоновыми. Для них уравнения движения задаются с помощью некоторой функции Н=Н(р, q, t), называемой гамильтонианом или функцией Гамильтона. Уравнения имеют следующий вид: то есть, функции Q и Р в уравнениях фазового потока (выше) обладают свойством: ** где J= – вектор тока фазовой жидкости. Уравнение ** выражает свойство несжимаемости фазовой жидкости. Теорема Лиувилля: Если для функций Q и Р имеет место соотношение **, то: Теорема Лиувилля определяет главный инвариант фазового пространства – фазовый объем – и связывает с ним гамильтоновскийхарактер системы.

Существуют и негамильтоновы динамические системы, сохраняющие фазовый объем, например система, описываемая одним уравнением. В таких системах нет структурных элементов, обладающих свойством асимптотической устойчивости при t (либо аналогичным свойством при t– ). Устойчивость – это способность систем слабо менять своё состояние под действием возмущений.

Уравнение непрерывности Выражает закон сохранения числа частиц в фазовом пространстве. Если рассматривать временную эволюцию не точки в фазовом пространстве, а элемента фазового объема, то по характеру деформации границы фазового объема можно судить об устойчивости или неустойчивости движения Схема изменения элемента фазового объема при устойчивом (а) и неустойчивом (б) движении.

используется функция распределения частиц (точек, состояний системы) в фазовом пространстве f(р,q,t) – аналог функции распределения Максвелла для идеального газа, которая удовлетворяет условию нормировки: Уравнение непрерывности связывает функцию распределения f(р, q, t) с вектором тока фазовой жидкости путем соотношения: Очевидно, что это соотношение не что иное, как дифференциальная форма закона сохранения числа частиц в фазовом пространстве. Для Гамильтоновых систем ранее получено уравнение несжимаемости: Объединяя 2 последних уравнения, получим ур-е Лиувилля