СКОРОСТЬ ТОЧКИ Скорость характеризует быстроту движения точки. Самую примитивную характеристику быстроты движения можно получить, разде- лив расстояние на время, за которое точка прошла это расстояние. Это, так называемая, средняя по модулю скорость. Такая характе- ристика может устроить пассажира, но абсо- лютно не годится для водителя транспортно- го средства

Пункт А Пункт Б s s t V ср =

Пункт А Пункт Б s s t V ср =

Пункт А Пункт Б s s t V ср =

Как видно, в этих трёх примерах расстояние между начальным и конечным пунктами фиксировано, время движения одинаково, а само движение различно.

Очевидно, средняя скорость тем точнее харак- теризует существо вопроса, чем меньше про- межуток времени, на котором она измеряется. Точный результат будет получен в пределе при величине промежутка времени, стремя- щейся к нулю. Заметим, что именно необхо- димость иметь математический аппарат для описания движения тел вызвала появление дифференциального исчисления

Пусть в момент времени t точка находится в положении М, которое задаётся радиусом-вектором r, а в момент t 1 = t + t переходит в поло- жение М 1, радиус-вектор которого r 1 = r + r

O r M M 1 D r r 1 = r + D r

DtDt O r M DrDr r 1 = r + D r DrDr V cp = - средняя за время D t скорость V cp

O r M M 1 DrDr r 1 = r + D r V cp Касательная к траектории в точке М Переходим к пределу при D t 0

O r M M 1 V cp Касательная к траектории в точке М

O r M M 1 V cp Касательная к траектории в точке М

O r M M 1 V cp Касательная к траектории в точке М

O r M M 1 V cp Касательная к траектории в точке М

O r M M 1 V cp Касательная к траектории в точке М

O r M V Скорость направлена по касательной к траектории в данной точке Касательная к траектории в точке М

Таким образом, скорость точки равна первой производной по времени от радиуса-вектора точки Учитывая, что единичные векторы не зависят от времени получаем проекции вектора скорости на оси координат: DtDt V = lim D t 0 DrDr = dr dt V = dr dt d = ( x i + y j + z k ),

V x = dx dt = x V y = dy dt = y V z = dz dt = z Таким образом, проекции вектора скорости на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки