К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Системы счисления Позиционные системы счисления Двоичная система счисления Восьмеричная система счисления Шестнадцатеричная система счисления Другие системы счисления

К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Системы счисления 2

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Что такое система счисления? 3 Система счисления это правила записи чисел с помощью специальных знаков цифр, а также соответствующие правила выполнения операций с этими числами. Счёт на пальцах: Унарная (лат. unus – один) – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …) только натуральные числа запись больших чисел – длинная ( ?)

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Египетская десятичная система 4 – 1 – 10 – 100 – 1000 – – – черта хомут верёвка лотос палец лягушка человек = ?= = ?

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Непозиционные системы счисления 5 Непозиционная система счисления: значение цифры не зависит от её места в записи числа. унарная египетская десятичная римская славянская и другие… «Пираты XX века»

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Римская система счисления 6 I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille), M – 1000 (Mille) Спасская башня Московского Кремля

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Римская система счисления 7 Правила: (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!) Примеры: MDCXLIV = – – = = M M C C C L X X X I X M CCCLXXXIX = 1644

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Римская система счисления 8 MCDLXVII = MMDCXLIV = MMMCCLXXII = CMXXVIII =

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Римская система счисления = 2983 = 1452 = 1999 =

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Римская система счисления 10 только натуральные числа (дробные? отрицательные?) для записи больших чисел нужно вводить новые цифры сложно выполнять вычисления Какое максимальное число можно записать? ?

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Славянская система счисления 11 алфавитная система счисления (непозиционная) Часы Суздальского Кремля

К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Системы счисления Позиционные системы счисления 12

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Определения 13 Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Алфавит системы счисления это используемый в ней набор цифр. Основание системы счисления это количество цифр в алфавите (мощность алфавита). Разряд это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево. Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Алфавит системы счисления это используемый в ней набор цифр. Основание системы счисления это количество цифр в алфавите (мощность алфавита). Разряд это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Формы записи чисел разряды = 6· · · · тысячи сотни десятки единицы развёрнутая форма записи числа Схема Горнера: = (( ) ) для вычислений не нужно использовать возведение в степень удобна при вводе чисел с клавиатуры, начиная с первой

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Перевод в десятичную систему 15 a 3 a 2 a 1 a 0 = a 3 p 3 + a 2 p 2 + a 1 p 1 + a 0 p 0 Через развёрнутую запись: Через схему Горнера: = = 194 =1 разряды : a 3 a 2 a 1 a 0 = (( a 3 p + a 2 ) p + a 1 ) p + a = (( ) 5 + 3) = 194 основание системы счисления

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Перевод из десятичной в любую = = (( ) 5 + 3) делится на 5 остаток от деления на 5 a 3 a 2 a 1 a 0 = (( a 3 p + a 2 ) p + a 1 ) p + a 0 остаток от деления на p a 3 a 2 a 1 = ( a 3 p + a 2 ) p + a 1 частное от деления на p Как найти a 1 ? ? Как по записи числа в системе с основанием p определить, что оно делится на p 2 ? ?

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Перевод из десятичной в любую = Делим число на p, отбрасывая остаток на каждом шаге, пока не получится 0. Затем надо выписать найденные остатки в обратном порядке. Делим число на p, отбрасывая остаток на каждом шаге, пока не получится 0. Затем надо выписать найденные остатки в обратном порядке. Как перевести в систему с основанием 8? ?

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, в записи есть цифра 6, поэтому X > 6 переводим правую часть в десятичную систему решаем уравнение Задачи 18 Задача: в некоторой системе счисления число 71 записывается как «56 x »? Определите основание системы счисления X. 71 = 56 X x56x = 5·X 1 + 6·X 0 = 5·X = 5·X + 6X = 13

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, в записи есть цифра 5, поэтому X > 5 переводим правую часть в десятичную систему решаем уравнение Задачи 19 Задача: в некоторой системе счисления число 71 записывается как «155 x »? Определите основание системы счисления X. 71 = 155 X x = 1·X 2 + 5·X 1 + 5·X 0 = X 2 + 5·X = X 2 + 5·X + 5X = 6 X = -11

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задачи 20 Задача: найдите все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа 24 оканчивается на = k·X = k·XX = 3, 7, 21

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задачи 21 Задача: найдите все десятичные числа, не превосходящие 40, запись которых в системе счисления с основанием 4 оканчивается на 11. N = k· ·4 + 1 = k· При k =0, 1, 2, 3, … получаем N = 5, 21, 37, 53, …

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задачи 22 Задача: Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О и У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка: 1. ААААА 2. ААААО 3. ААААУ 4. АААОА 5. … Найдите слово, которое стоит на 140-м месте от начала списка. А 0 O 1 У … в троичной системе! на 1-м месте: 0 на 140-м месте: = ОУАОО Сколько всего? ?

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Дробные числа 23 0,6375 = 6·0,1 + 3·0,01 + 7·0, ·0,0001 0, = 6· · · ·10 -4 Развёрнутая форма записи: разряды : Схема Горнера: 0, 6375 = ·( ·( ·( ·5))) 0, = 1· · · ·5 -4 0, = 5 -1 ·( ·( ·( ·4))) перевод в десятичную систему

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Дробные числа: из десятичной в любую 24 0, = 5 -1 ·( ·( ·( ·4))) 5·(0, )= ·( ·( ·4)) целая часть дробная часть 0,a 1 a 2 a 3 a 4 = p -1 ( a 1 + p -1 ( a 2 + p -1 ( a 1 + p -1 a 0 ))) p ( 0,a 1 a 2 a 3 a 4 ) = a 1 + p -1 ( a 2 + p -1 ( a 1 + p -1 a 0 )) Как найти a 2 ? ?

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Дробные числа: из десятичной в любую Вычисления Целая часть Дробная часть 0, = 4,688 40,688 0,688 5 = 3,44 30,44 0,44 5 = 2,2 20,2 0,2 5 = 110 0,9376 0,9376 = 0, ,3 Что делать? ?

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Дробные числа: из десятичной в любую ,375= ,375

К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Системы счисления Двоичная система счисления 27

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Двоичная система 28 Основание (количество цифр): 2 Алфавит: 0, = система счисления разряды = 1· · · · ·2 0 = = 19

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Метод подбора = Разложение по степеням двойки: 77 = …+ 4 + … = разряды наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу 77 =

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Перевод из двоичной в десятичную = разряды = = 77 Схема Горнера: Разряд ВычисленияРезультат

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Арифметические операции 31 сложение вычитание 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1= = =0 0+1=1 1+0=1 1+1= = =0 1-1=0 1-0= =1 0-0=0 1-1=0 1-0= =1 перенос заём –

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Арифметические операции

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Арифметические операции – – – –

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Арифметические операции 34 умножение деление – –

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Дробные числа Вычисления Целая часть Дробная часть 0, = 1,625 10,625 0,625 2 = 1,25 10,25 0,25 2 = 0,5 00,5 0,5 2 = 110 0,8125 0,8125 = 0, ,6 =0, … =0,(1001) 2 Бесконечное число разрядов! !

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Дробные числа 36 Большинство дробных чисел хранится в памяти с некоторой погрешностью. При выполнении вычислений с дробными числами погрешности накапливаются и могут существенно влиять на результат. Желательно обходиться без использования дробных чисел, если это возможно. если то... целые если то...

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Двоичная система счисления 37 длинная запись чисел: 1024 = запись однородна (только 0 и 1) нужны только устройства с двумя состояниями надёжность передачи данных при помехах компьютеру проще выполнять вычисления (умножение сводится сложению и т.п.)

К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Системы счисления Восьмеричная система счисления 38

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Восьмеричная система счисления 39 Основание: 8 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, = разряды = 1· · ·8 0 = = 100 PDP-11, ДВК, СМ ЭВМ, БЭСМ, БК

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Примеры =75 = = 75 8 =

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Восьмеричная система счисления 41 X 10 X8X8 X2X

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Перевод в двоичную систему счисления трудоёмко 2 действия трудоёмко 2 действия 8 = 2 3 Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных (триада)! ! = { {{{

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Примеры = = = =

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Перевод из двоичной в восьмеричную Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа: Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой: Ответ: =

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Примеры = = =

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Арифметические операции 46 сложение = 8 = = 12 = = 8 = в перенос

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Примеры

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Арифметические операции 48 вычитание – (6 + 8) – 7 = 7 (5 – 1 + 8) – 7 = 5 (4 – 1) – 2 = 1 заём

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Примеры – –

К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Системы счисления Шестнадцатеричная система счисления 50

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Шестнадцатеричная система счисления 51 Основание: 16 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, = 1BC 16 1BC разряды = 1· · ·16 0 = = 444 A, 10 B, 11 C, 12 D, 13 E, 14 F 15 С С B B C C B B

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Примеры = 206 = 1C5 16 = 22B 16 =

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Шестнадцатеричная система счисления 53 X 10 X 16 X2X2 X 10 X 16 X2X A B C D E F1111

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Перевод в двоичную систему трудоёмко 2 действия трудоёмко 2 действия 16 = 2 4 Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных (тетрада)! ! 7F1A 16 = 7 F 1 A 0111 {{ {{

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Примеры 55 C73B 16 = 2FE1 16 =

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Перевод из двоичной системы 56 Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа: Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой: E E F F Ответ: = 12EF

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Примеры = = =

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Перевод в восьмеричную и обратно 58 трудоёмко 3DEA 16 = Шаг 1. Перевести в двоичную систему: Шаг 2. Разбить на триады (справа): Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра: DEA 16 =

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Примеры 59 A35 16 = =

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Арифметические операции 60 сложение A 5 B 16 + C 7 E D =25= =13=D =22= в перенос 13961

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Примеры 61 С В А 16 + A F D В 16 + A B C 16

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Арифметические операции 62 вычитание С 5 B 16 – A 7 E 16 заём 1 D D – – (11+16) – 14=13=D 16 (5 – 1)+16 – 7=13=D 16 (12 – 1) – 10 = 1 заём 131

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Примеры 63 1 В А 16 – A

К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Системы счисления Другие системы счисления 64

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задача Баше о наборе гирь гиря на правой чашке 0 гиря снята – 1 гиря на левой чашке Как с помощью 4-х гирь взвесить от 0 до 40 кг? Троичная система! ! Веса гирь – степени числа 3: 1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг Пример: 27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Троичная уравновешенная система 66 ЭВМ «Сетунь» (1958), Н.П. Брусенцов Основание: 3 Алфавит: («-1»), 0, 1 Для N разрядов: всего 3 N значений: 0 + по [3 N /2] положительных и отрицательных чисел 1 уравновешенная система –4 = (–1) (–1) 3 0 –30 = (–1) –21 = (–1) –1 0 = (–1) = = = (–1) = = и положительные, и отрицательные числа для изменения знака нужно поменять знаки у всех цифр запись короче, чем в двоичной системе нужны элементы с тремя состояниями

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Двоично-десятичная система (ДДС) 67 Десятичные цифры, закодированные в двоичном коде. Вinary coded decimal (BCD). 9024,19 = , ДДС ,01111 ДДС = = , ДДС = 153,78 легко переводить в десятичную систему просто умножать и делить на 10 конечные десятичные дроби записываются точно (аналог ручных расчётов) длиннее, чем двоичная запись сложнее арифметические операции Использование – в калькуляторах.

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Конец фильма ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич д.т.н., учитель информатики ГБОУ СОШ 163, г. Санкт-Петербург ЕРЕМИН Евгений Александрович к.ф.-м.н., доцент кафедры мультимедийной дидактики и ИТО ПГГПУ, г. Пермь

Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Источники иллюстраций авторские материалы