Математические основы обработки информации Введение. Элементы теории множеств.

Наука о моделях Виллард Гибс : «Математика – тоже язык» (язык научного естествознания). Математические модели – описание объектов и процессов природы или техники на математическом языке. Модель – система, способная заменить реальную систему так, чтобы её изучение давало информацию об оригинале. Модель может полностью или частично воспроизводить структуру моделируемой системы и её функции. Моделирование – процесс построения, реализации и исследования модели, который способен заменить реальную систему и дать информацию о ней.

Окружающий мир ПК За минуту глаз фиксирует лишь конечное число точек. По увиденным точкам мозг восполняет (интерполирует) то, что глаз не успел увидеть Задача восстановления сильно некорректна- решение не единственно и неустойчиво Используя опыт (априорную информацию) мозг быстро выдает правильное решение образ

Математика в естествознании Экспериментальное Наблюдение, эксперимент Экспериментальные данные Математическая обработка результатов эксперимента Определение истинных значений измеряемых величин Определение вида функциональной зависимости исследуемых величин – построение эмпирических зависимостей. Определение количественных характеристик функциональных зависимостей. Теоретическое Выдвижение гипотезы и построение модели Исследование модели (решение математической задачи) Экспериментальная проверка, модификация модели Вычислительное Разработка численного алгоритма решения математической задачи Проведение вычислений Анализ результатов

t – время, g=10 м/с 2. Примеры математических моделей Движение снаряда Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью V 0 =30 м/с под углом a=45 0 к её поверхности, требуется найти траекторию его движения и дальность полета. Вводится система координат Oxy, начало совмещается с исходной точкой, из которой пущен снаряд, ось Ох – горизонтальная, ось Оу – вертикальная. Движение снаряда описывается формулами: Выразим t через x из первого уравнения и подставим во второе. Получим уравнение траектории движения снаряда: График-парабола. Пересекает ось Ox в двух точках x=0 и

Моделирование живых систем Живая система - открытая система состоящая из органических веществ и их компонентов, основными из которых являются белки и нуклеиновые кислоты, обладающая единым метаболизмом, который обеспечивает её саморегуляцию и самовоспроизведение. Моделированием живых систем занимается математическая биология. Предмет исследований - математические (компьютерные) модели биологических процессов. Изучение математических моделей дает возможность предсказания биологических явлений и сценариев поведения биосистемы в определенных условиях и их теоретического обоснования до (или вместо) проведения соответствующих биологических экспериментов.

Модель хищник - жертва Пусть в некотором замкнутом районе живут хищники и жертвы (например, зайцы и волки). Зайцы питаются растительной пищей (имеется в достаточном количестве). Волки питаются зайцами. Обозначим число жертв (жертв) – x, число хищников (волков) – y. У зайцев пища не ограничена, будем считать, что они размножаются со скоростью, пропорциональной их числу. Убыль зайцев пропорциональна вероятности встречи зайца с волком, т.е. пропорциональна произведению численностей xy. Количество волков также пропорциональна произведению численностей xy. Процесс естественной смертности популяции пропорционален количеству особей. Из этих рассуждений получим систему уравнений для изменения численности жертв и хищников: x, y – скорость размножения, xy, yx – параметры, отражающие влияние хищника и жертвы на скорость изменения численности хищников и жертв

Аксиоматический подход в математике В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод. В основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, все остальные положения теории получаются, как логические следствия аксиом. Основными методами в математических исследованиях являются доказательства. Структура теории, построенной аксиоматическим методом: Перечисление основных неопределяемых понятий Изложения определений определяемых понятий Изложение аксиом Изложение теорем Доказательства теорем Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательств. Теорема – утверждение, вытекающее из аксиом. Доказательство – составная часть дедуктивной системы, это есть рассуждение, которое показывает, что истинность утверждения вытекает логически из истинности предыдущих теорем или аксиом.

Математический язык (структура) Математическая операционная система Идеализированные объекты: Числа, фигуры, векторы, функции… Абстрактные структуры (множества) Действия (операции): Сложение, вычитание, умножение, деление, дифференцирование, интегрирование… Аксиомы, теоремы, определения

Элементы теории множеств Множество – первичное понятие, неопределяемое. Множество описывается: 1. Объединение в одно целое объектов, хорошо различимых интуицией. 2. Совокупность каких-либо объектов, объединенных некоторым свойством. Объекты, входящие в множество – элементы множества. Множества конечные бесконечные Обозначения: Множества обозначаются заглавными буквами: A,B,X,M…. Элементы множества – строчными : a, b, x, m… Запись означает: «элемент a принадлежит множеству A», «элемент x принадлежит множеству M». Множества называют равными, если они состоят из одинаковых элементов.

«Взаимоотношения» множеств можно изображать на кругах Эйлера и записывать при помощи сет-операций (аналог алгебраических операций). Множество B содержится в A, если все элементы множества B принадлежат множеству A: Множества A и B не пересекаются: - пустое множество Объединение множеств (аналог суммы): Множества A и B пересекаются Разность множеств:

Упражнения Какие из следующих множеств геометрических фигур на плоскости равны между собой, пересекаются, не пересекаются, включены друг в друга? A – множество всех квадратов В – множество всех прямоугольников С – множество всех четырехугольников с прямыми углами D – множество всех прямоугольников с равными сторонами E – множество всех окружностей на плоскости F – множество всех ромбов с прямыми углами

Упражнения Для каждого из слов : сосна, осколок, насос, колос составьте множество его различных букв. Имеются ли среди них равные? Найдите объединение, пересечение, разность множеств A и B: A={1,3,5,6,8}, B={13,6,8,9} Определить, пересечением, объединением или разностью является множество C по отношению к множествам A и B. С={1,2,4,6}, A={0,1,2,3,4,5,6}, B={0,5} C={z,y,x,c,v,m,n,f}, A={z,y,c,x,v}, B={v,m,n,f} C={ } A={ } B={ }

Численность множества Пусть A и B – конечные множества. Число элементов множества A обозначим m(A) и будем называть численностью (мощностью) множества A. Число элементов объединения и разности двух конечных множеств: Если множества A и B не пересекаются, то m(A B)=m(A)+m(B) Если множества A и B пересекаются, то в сумме m(A)+m(B) число элементов пересечения A B содержится дважды: один раз в m(A), а другой – в m(B). Поэтому, чтобы найти численность объединения m(A B), нужно из указанной суммы вычесть m(A B), то есть: m(A B)=m(A)+m(B) – m(A B) A B Если множества A и B не пересекаются, то A\B=A, и поэтому m(A\B)=m(A). Если множества A и B пересекаются, то m(A\B)=m(A)- m(A B). Если B A, то A B=B, и, следовательно, m(A\B)=m(A)-m(B).

Пример В группе 40 студентов. Из них 23 любят болтать на занятиях, 13 – решать задачи, 11 любят спать на занятиях. Среди тех, кто болтает на занятиях, постоянно засыпают – 7, среди тех, кто решает задачи, засыпают только 3. Болтать и решать задачи умеют 8 человек; а 2 человека успевают на одной паре все три дела. Сколько студентов вообще ничего не любят?

Элементы дискретной математики. Комбинаторика. Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иных условиям, можно составить из заданных объектов. Основные правила комбинаторики: Правило сложения: Если элемент A можно выбрать n способами, а элемент B можно выбрать m способами, то выбрать A или B можно n+m способами. Пример: Из пункта A в пункт B можно добраться: самолетом (2 авиамаршрута), поездом (1 маршрут), автобусом (3 маршрута). Общее число маршрутов: 2+1+3=6 Правило умножения: Если элемент A можно выбрать n способами, и, при любом выборе A (то есть независимо), элемент B можно выбрать m способами, то пару A и B можно выбрать n m способами. Пример: Сколько существует двузначных чисел? Решение. Поскольку в двузначном числе цифра, обозначающая число десятков, должна быть отлична от нуля, то A= {1, 2,..., 9}, B= {0, 1, 2,..., 9} и A B=90.

Размещения Размещением из n элементов k элементов называется упорядоченное подмножество, содержащее k различных элементов данного множества. Эти подмножества могут отличаться друг от друга составом элементов или порядком элементов. Количество возможных размещений вычисляется по формуле: - факториал числа n, 0!=1 Пример размещения четырех шаров по двум ячейкам.

Перестановки Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов. Различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов. Количество всех возможных перестановок вычисляются по формуле: Пример. Сколько существует перестановок из четырех элементов?

Сочетания Сочетанием из n элементов по k элементов называется любое подмножество, которое содержит k различных элементов данного множества. Различные сочетания отличаются друг от друга только составом элементов. Количество всех возможных сочетаний можно вычислить по формуле: Сколькими способами можно выбрать 2 шара из 4 х?