ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИЙ Проблема предсказуемости Александр Б. Медвинский Институт теоретической и экспериментальной биофизики РАН Пущино, Московская область, Россия

КОЛЕБАНИЯ ЧИСЛЕННОСТИ ПОПУЛЯЦИИ РЫСИ В КАНАДЕ А. Число шкур, добывавшихся ежегодно по данным компании залива Гудзона. В. Спектр Фурье для отрезка временного ряда: 1821 – 1913 годы, когда амплитуда колебаний (А) была особенно велика Scheffer, W.M. Stretching and folding in lynx fur returns: Evidence for a strange attractor in nature? The American Naturalist 124, 798 – 820, 1984

ХАОТИЧЕСКИЙ АТТРАКТОР? Оси: x(t), x(t + T), X(t + 2T), где Т = 3 г. Scheffer, W.M. Stretching and folding in lynx fur returns: Evidence for a strange attractor in nature? The American Naturalist 124, 798 – 820, 1984 If the motion is chaotic, we expect λ positive; otherwise λ will be negative… Unfortunately, this requires more data than is available for the lynx cycle.

ВАЖНОЕ СВОЙСТВО ХАОТИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА Х(n+1)=3.99[X(n)][1-X(n)] Детерминистические временные ряды, слегка отличающиеся по начальным условиям, практически совпадают на протяжении 24 итераций, но затем быстро расходятся. Хаотические процессы чувствительны к начальным условиям. Обратное верно не всегда! Расхождение хаотических временных рядов возрастает по экспоненте: mod[x 1 (n)-x 2 (n)] ~ exp(λn). Здесь λ – доминантный ляпуновский показатель. Для хаоса λ > 0. Горизонт предсказуемости ~ 1/λ.

Для диссипативных систем полезно ввести понятие притягивающего множества: АТТРАКТОРА старт Траектории притягиваются к аттрактору из точек вне его Траектории внутри аттрактора постепенно расходятся друг от друга. Горизонт предсказуемости – это то время, в течение которого фазовые траектории остаются близкими. старт

НЕЛИНЕЙНОЕ ПРЕДСКАЗАНИЕ: АЛГОРИТМ Для временного ряда u(t), где 0 t T, этот алгоритм предполагает следующие шаги: где d – размерность пространства вложения. Этот вектор характеризует поведение временного ряда при t = T/2; (1)разделение временного ряда на два участка: например, от 0 до Т/2 и от T/2 до Т; (2) построение вектора : (3) поиск на интервале от 0 до Т/2 d-размерных векторов таких, что (4) предсказание численного значения u(t) при t = T/2 +1:

(продолжение) (5) построение вектора (6) следующая итерация на интервале от 0 до Т/2 +1, а затем – последующие итерации вплоть до достижения точки t = T; (7) вычисление ошибки предсказания: Очевидно, что чем меньше величина ошибки Е(n), тем лучше предсказание. в соответствии с пунктом (1) на предыдущем слайде и учёт того, что величина теперь известна; НЕЛИНЕЙНОЕ ПРЕДСКАЗАНИЕ: АЛГОРИТМ Kaplan, D. & Glass, L. Understanding Nonlinear Dynamics. New York: Springer, Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика структурно простого социума. Проблема (не)предсказуемости. Проблемы экономической истории: теория и практика. Екатеринбург: УМЦ- УПИ, 2011, с Медвинский А.Б., Нефёдов С.А., Русаков А.В. Предсказуемость социодинамики (на примере математической модели крестьянской общины). Нелинейный мир 10, , 2012.

ПРИМЕР: ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИЙ ПРОМЫСЛОВЫХ РЫБ ПСКОВСКО-ЧУДСКОГО ОЗЕРА По оси абсцисс – годы, по оси ординат – биомасса (в тоннах): (1)лещ, (2) ряпушка, (3) плотва, (4) судак, (5) ёрш, (6) налим, (7) щука, (8) сиг, (9) окунь. НАСКОЛЬКО ПРЕДСКАЗУЕМА ТАКАЯ ДИНАМИКА? Бобырев А.Е., Бурменский В.А., Криксунов Е.А., Медвинский А.Б., Мельник М.М., Нуриева Н.И., Русаков А.В. Анализ колебаний численности популяций промысловых рыб Псковско-Чудского озера. Биофизика 57, , 2012.

РЕКУРРЕНТНОСТЬ КАК ПРОЯВЛЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОСТИ Наряду с дивергентностью, характеризуемой показателем Ляпунова, важной характеристикой, позволяющей выявить механизм и оценить предсказуемость динамики, является рекуррентность, т.е. повторяемость фазовой траектории исследуемой динамической системы. Для визуализации рекуррентности траекторий используются рекуррентные диаграммы. Eckmann, J.-P., Kamphorst, S.O. & Ruelle, D Recurrence plots of dynamical systems. Europhysics Letters 4, , 1987.

ПОСТРОЕНИЕ РЕКУРРЕНТНОЙ ДИАГРАММЫ Вначале задаётся вектор N(t)=(N(t),N(t-h),…,N(t-(d-1)h), где N(t) – текущее значение временного ряда в момент времени t, h – временной лаг, d – размерность пространства вложения, в котором вектору N(t) соответствует некоторая точка. Эта точка характеризует изменение состояния исследуемой системы на некотором временном интервале вплоть до момента времени t. На следующем шаге вычисляется расстояние (Δ) между векторами N(i) и N(j), где i и j – некоторые моменты времени: Δ = mod [N(i) - N(j)]. В случае периодических временных рядов расстояние Δ = 0 для таких моментов времени i и j, для которых mod (i – j) = nT, где T – период, а n = 0, 1, 2, 3, …. При построении рекуррентной диаграммы на горизонтальную ось наносятся численные значения i, а на вертикальную ось – численные значения j. Затем в пространстве координат (i, j) отмечаются только те точки, для которых векторы N(i) и N(j) близки, т.е. точки, для которых Δ < ε, где ε

(1) Периодический процесс (2) Хаос (3) Случайный процесс РЕГУЛЯРНОСТЬ ХАОСА Павел Борисенко Масло/холст, 2002 Бобырев А.Е., Бурменский В.А., Криксунов Е.А., Медвинский А.Б., Мельник М.М., Нуриева Н.И., Русаков А.В. Анализ колебаний численности популяций промысловых рыб Псковско-Чудского озера. Биофизика 57, , 2012.

(1) лещ, (2) ряпушка, (3) плотва, (4) судак, (5) ёрш, (6) налим, (7) щука, (8) сиг, (9) окунь ПСКОВСКО-ЧУДСКОЕ ОЗЕРО: РЕКУРРЕНТНЫЕ ДИАГРАММЫ Бобырев А.Е., Бурменский В.А., Криксунов Е.А., Медвинский А.Б., Мельник М.М., Нуриева Н.И., Русаков А.В. Анализ колебаний численности популяций промысловых рыб Псковско-Чудского озера. Биофизика 57, , 2012.

ОЦЕНКА ПРЕДСКАЗУЕМОСТИ ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ МОЖЕТ ЗАВИСЕТЬ, В ЧАСТНОСТИ, ОТ ДЛИНЫ ВРЕМЕННОГО РЯДА, ПОЛУЧЕННОГО В ХОДЕ ПОЛЕВЫХ НАБЛЮДЕНИЙ ИЛИ В ЭКСПЕРИМЕНТЕ ОТ ЗНАКА И ВЕЛИЧИНЫ ДОМИНАНТНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА, ПОЛУЧЕННОГО В ХОДЕ АНАЛИЗА ВРЕМЕННОГО РЯДА ОТ ВИДА И ХАРАКТЕРИСТИК РЕКУРРЕНТНОЙ ДИАГРАММЫ

ПРИМЕР: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТРУКТУРНО ПРОСТОГО СОЦИУМА

ПРЕДЕЛЬНО ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО СООБЩЕСТВА КРЕСТЬЯНЕ Переменные модели: t – время N(t) – размер популяции (численность) p(t) – per capita потребление сельскохозяйственной продукции Z(t) – per capita ресурсы (запасы зерна) Предположение: Скорость роста популяции зависит от p(t) Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика структурно простого социума. Проблема (не)предсказуемости. Проблемы экономической истории: теория и практика. Екатеринбург: УМЦ- УПИ, 2011, с Медвинский А.Б., Нефёдов С.А., Русаков А.В. Предсказуемость социодинамики (на примере математической модели крестьянской общины). Нелинейный мир 10, , 2012.

НЕРЕГУЛЯРНАЯ ДИНАМИКА = 7.9 N(t) – размер популяции (численность) p(t) – per capita потребление сельскохозяйственной продукции Z(t) – per capita ресурсы (запасы зерна) Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика структурно простого социума. Проблема (не)предсказуемости. Проблемы экономической истории: теория и практика. Екатеринбург: УМЦ-УПИ, 2011, с Медвинский А.Б., Нефёдов С.А., Русаков А.В. Предсказуемость социодинамики (на примере математической модели крестьянской общины). Нелинейный мир 10, , 2012.

ПРЕДСКАЗУЕМОСТЬ ДИНАМИКИ ПОПУЛЯЦИИ = 7.9 λ = Т ~ 1/λ ~ 4? Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика структурно простого социума. Проблема (не)предсказуемости. Проблемы экономической истории: теория и практика. Екатеринбург: УМЦ-УПИ, 2011, с Медвинский А.Б., Нефёдов С.А., Русаков А.В. Предсказуемость социодинамики (на примере математической модели крестьянской общины). Нелинейный мир 10, , 2012.

НЕРЕГУЛЯРНАЯ ПОПУЛЯЦИОННАЯ ДИНАМИКА = 8.7 N(t) – размер популяции (численность) p(t) – per capita потребление сельскохозяйственной продукции Z(t) – per capita ресурсы (запасы зерна) Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика структурно простого социума. Проблема (не)предсказуемости. Проблемы экономической истории: теория и практика. Екатеринбург: УМЦ- УПИ, 2011, с Медвинский А.Б., Нефёдов С.А., Русаков А.В. Предсказуемость социодинамики (на примере математической модели крестьянской общины). Нелинейный мир 10, , 2012.

= 8.7 λ = Т ~ 1/λ ~ 4! ПРЕДСКАЗУЕМОСТЬ ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика структурно простого социума. Проблема (не)предсказуемости. Проблемы экономической истории: теория и практика. Екатеринбург: УМЦ- УПИ, 2011, с Медвинский А.Б., Нефёдов С.А., Русаков А.В. Предсказуемость социодинамики (на примере математической модели крестьянской общины). Нелинейный мир 10, , 2012.

ГОРИЗОНТ ПРЕДСКАЗУЕМОСТИ T ~ 4 = 8.7 Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика структурно простого социума. Проблема (не)предсказуемости. Проблемы экономической истории: теория и практика. Екатеринбург: УМЦ- УПИ, 2011, с Медвинский А.Б., Нефёдов С.А., Русаков А.В. Предсказуемость социодинамики (на примере математической модели крестьянской общины). Нелинейный мир 10, , 2012.

ПРЕДСКАЗУЕМЫЙ ХАОС = 7.9 Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика структурно простого социума. Проблема (не)предсказуемости. Проблемы экономической истории: теория и практика. Екатеринбург: УМЦ- УПИ, 2011, с Медвинский А.Б., Нефёдов С.А., Русаков А.В. Предсказуемость социодинамики (на примере математической модели крестьянской общины). Нелинейный мир 10, , 2012.

ДВЕ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ОБЩИНЫ КРЕСТЬЯНЕ РЕМЕСЛЕННИКИ КРЕСТЬЯНЕ РЕМЕСЛЕННИКИ БАРТЕР = 1 = 5

МОДЕЛЬНОЕ СООБЩЕСТВО: БАРТЕР Предположение 1: рост популяции зависит от уровня потребления p(t) Предположение 2: межобщинный бартер отсутствует в тех случаях, если обе общины обеспечены сельскохозяйственным инвентарём в равной степени Переменные модели: t – время N(t) – размер популяции (численность) p(t) – per capita потребление сельскохозяйственного продукта Z(t) – per capita ресурсы (запасы зерна) R(t) – сельскохозяйственный инвентарь, производимый ремесленниками Medvinsky, A.B. & Rusakov, A.V. Chaos and order in stateless societies: Intercommunity exchange as a factor impacting the population dynamical patterns, Chaos, Solitons & Fractals 44, , Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика структурно простого социума. Проблема (не)предсказуемости. Проблемы экономической истории: теория и практика. Екатеринбург: УМЦ-УПИ, 2011, с

= 1 = 5 Peter Turchin (2009) Long-term population cycles in human societies. Annals of the New York Academy of Sciences, 1162, 1-17: Mathematical analysis of the model indicates that its dynamics are characterized by a single equilibrium that is stable for all values of the parameters. Medvinsky, A.B. & Rusakov, A.V. Chaos and order in stateless societies: Intercommunity exchange as a factor impacting the population dynamical patterns, Chaos, Solitons & Fractals 44, , Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика структурно простого социума. Проблема (не)предсказуемости. Проблемы экономической истории: теория и практика. Екатеринбург:УМЦ-УПИ, 2011, с

ФРАКТАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ДИНАМИКИ N(t), ОБУСЛОВЛЕННАЯ БАРТЕРОМ Осцилляции (периодические) отмечены чёрным цветом Неизменность численности во времени отмечена белым цветом ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ Medvinsky, A.B. & Rusakov, A.V. Chaos and order in stateless societies: Intercommunity exchange as a factor impacting the population dynamical patterns, Chaos, Solitons & Fractals 44, , Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика структурно простого социума. Проблема (не)предсказуемости. Проблемы экономической истории: теория и практика. Екатеринбург:УМЦ-УПИ, 2011, с

ВЛИЯНИЕ БАРТЕРА НА БИФУРКАЦИОННЫЕ ДИАГРАММЫ = 1 = 5 ХАОС Medvinsky, A.B. & Rusakov, A.V. Chaos and order in stateless societies: Intercommunity exchange as a factor impacting the population dynamical patterns, Chaos, Solitons & Fractals 44, , Медвинский А.Б., Русаков А.В. Сложная динамика структурно простого социума. Проблема (не)предсказуемости. Проблемы экономической истории: теория и практика. Екатеринбург:УМЦ-УПИ, 2011, с

ОЦЕНКА ПРЕДСКАЗУЕМОСТИ ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ МОЖЕТ ЗАВИСЕТЬ ТАКЖЕ ОТ ХАРАКТЕРНОГО РАЗМЕРА ХАОТИЧЕСКОГО АТТРАКТОРА ОТ НАЛИЧИЯ ИЛИ ОТСУТСТВИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

ПРИМЕР: ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИЙ ПЛАНКТОНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТРОФИЧЕСКИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В ВОДНОМ СООБЩЕСТВЕ p - фитопланктон, h - зоопланктон, f – скорость потребления зоопланктона рыбой Диаграмма Окубо демонстрирует факт зависимости турбулентной диффузии от пространственного масштаба. Medvinsky, A.B., Tikhonova, I.A., Aliev, R.R., Li, B.-L., Lin, Z.-S., Malchow, H. Patchy environment as a factor of complex plankton dynamics. Physical Review E 64, (7 pages), 2001.

ЗАВИСИМОСТЬ ДИНАМИКИ ПЛАНКТОНА ОТ СКОРОСТИ ПОТРЕБЛЕНИЯ ПЛАНКТОНА РЫБОЙ Биотоп, богатый рыбой Биотоп, где f = 0. Medvinsky, A.B., Tikhonova, I.A., Aliev, R.R., Li, B.-L., Lin, Z.-S., Malchow, H. Patchy environment as a factor of complex plankton dynamics. Physical Review E 64, (7 pages), 2001.

РЕГУЛЯРНОСТЬ И ХАОС В ДИНАМИКЕ ПЛАНКТОНА Бифуркационные диаграммы: (a) биотоп, богатый рыбой; (b) биотоп, где f = 0. Зависимость численного значения показателя Ляпунова от скорости потребления зоопланктона рыбой: (c) биотоп, богатый рыбой; (d) биотоп, где f = 0. Medvinsky, A.B., Tikhonova, I.A., Aliev, R.R., Li, B.-L., Lin, Z.-S., Malchow, H. Patchy environment as a factor of complex plankton dynamics. Physical Review E 64, (7 pages), 2001.

ДВА ТИПА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДИНАМИКИ К НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ Начальные значения отличаются на Динамический хаос. Устойчивый предельный цикл, (a), и хаотический аттрактор (b). Начальные значения отличаются на Конкуренция двух динамических режимов. Medvinsky, A.B., Tikhonova, I.A., Aliev, R.R., Li, B.-L., Lin, Z.-S., Malchow, H. Patchy environment as a factor of complex plankton dynamics. Physical Review E 64, (7 pages), 2001.

ФРАКТАЛЬНАЯ СТРУКТУРА БАССЕЙНОВ ПРИТЯЖЕНИЯ К КАЖДОМУ ИЗ ДВУХ АТТРАКТОРОВ Хаос (белые полосы) и регулярные колебания (чёрные полосы). Medvinsky, A.B., Tikhonova, I.A., Aliev, R.R., Li, B.-L., Lin, Z.-S., Malchow, H. Patchy environment as a factor of complex plankton dynamics. Physical Review E 64, (7 pages), 2001.

ОЦЕНКА ПРЕДСКАЗУЕМОСТИ ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ МОЖЕТ ЗАВИСЕТЬ ТАКЖЕ ОТ КОНКУРЕНЦИИ МЕЖДУ ХАОТИЧЕСКИХ И РЕГУРНЫМ ХАРАКТЕРОМ ИЗМЕНЕНИЙ ЧИСЛЕННОСТИ ПОПУЛЯЦИИ ОТ СТРУКТУРЫ БАССЕЙНОВ ПРИТЯЖЕНИЯ К КАЖДОМУ ИЗ КОНКУРИРУЮЩИХ АТТРАКТОРОВ

ПРИМЕР: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОПУЛЯЦИИ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ОТДЕЛЬНЫХ ОСОБЕЙ

Популяции состоят из отдельных особей. Дискретность популяций может существенно влиять на характер их динамики. Jackson, E.A. Perspectives of Nonlinear Dynamics, v.1. Cambridge: Cambridge University, Henson, S.M., Costantino, R.F., Cushing, J.M., Desharnais, R.A., Dennis, B. & King, A.A. Lattice effects observed in chaotic dynamics of experimental populations. Science 294, , Coulson, T., Rohani, P. & Pascual, M. Skeletons, noise and population growth: the end of an old debate? Trends in Ecology and Evolution 19, , 2004.

ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ АНАЛОГИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ Дискретная во времени логистическая модель широко применяется для анализа популяционной динамики. May, R.M. Biological populations with non-overlapping generations: stable points, stable cycles, and chaos. Science 186, б May, R.M. Simple mathematical models with very complicated dynamics. Nature 261, , Модель Риккера используется для описания пополнения рыбных популяций. Ricker, W.E. Stock and recruitment. Journal of the Fisheries Research Board of Canada 11, , Модель Гомперца предполагает, что сопротивляемость организма экспоненциально падает с возрастом. Эта модель используется при исследовании экологических последствий рыболовного промысла. Gompertz, B. On the nature of the function expressive of the low of mortality, and on a new method of determining the value of life contingencies. Philosophical Transactions of the Royal Society 27, , Fox, W.W. An exponential surplus yield model for optimizing in exploited fish populations. Transactions of the American Fisheries Society 99, 80–88, 1970.

ПОПУЛЯЦИОННАЯ ДИНАМИКА: БИФУРКАЦИОННЫЕ ДИАГРАММЫ Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V. & Nurieva, N.I. Integer-based modeling of population dynamics: Competition between attractors limits predictability. Ecological Complexity 14, 108 – 116, 2013.

ФУРЬЕ-СПЕКТРЫ ЛОГИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ (а) И ЕЁ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ВАРИАНТА (б) Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V. & Nurieva, N.I. Integer-based modeling of population dynamics: Competition between attractors limits predictability. Ecological Complexity 14, 108 – 116, 2013.

РЕКУРРЕНТНЫЕ ДИАГРАММЫ ЛОГИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ (а) И ЕЁ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ВАРИАНТА (б) Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V. & Nurieva, N.I. Integer-based modeling of population dynamics: Competition between attractors limits predictability. Ecological Complexity 14, 108 – 116, 2013.

СОСУЩЕСТВОВАНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ АТТРАКТОРОВ В ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ МОДЕЛИ РИККЕРА Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V. & Nurieva, N.I. Integer-based modeling of population dynamics: Competition between attractors limits predictability. Ecological Complexity 14, 108 – 116, 2013.

ХАОТИЧЕСКИЕ УЧАСТКИ РЕГУЛЯРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ПРИ ВЫСОКОЙ ЁМКОСТИ СРЕДЫ ОБИТАНИЯ Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V. & Nurieva, N.I. Integer-based modeling of population dynamics: Competition between attractors limits predictability. Ecological Complexity 14, 108 – 116, 2013.

РЕКУРРЕНТНАЯ ДИАГРАММА ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ ЛОГИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРИ ВЫСОКОЙ ЁМКОСТИ СРЕДЫ ОБИТАНИЯ Medvinsky, A.B., Rusakov, A.V. & Nurieva, N.I. Integer-based modeling of population dynamics: Competition between attractors limits predictability. Ecological Complexity 14, 108 – 116, 2013.

СУММИРУЕМ: СУЩЕСТВЕННЫЕ ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ОЦЕНКУ ПРЕДСКАЗУЕМОСТИ ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ Качество (например, длина) временных рядов, полученных в ходе экспериментов или полевых наблюдений Хаотичность Характерный размер хаотического аттрактора Параметрическая неустойчивость Зависимость горизонта предсказуемости от временного масштаба Конкуренция между отдельными аттракторами Структура бассейнов притяжения к конкурирующим аттракторам

Ce qui est simple est toujours faux. Ce qui ne lest pas est inutilisable. Paul Valéry, Mauvaises Pensées et Autres (1942) Что просто, то всегда неверно. А что непросто, то – бесполезно. Поль Валери, «Дурные мысли и прочее» (1942)

PS ЧТО ДЕЛАТЬ?

Реконструкция эндогенной динамики популяций на основе наблюдений N t = F(N t-1, N t-2, …, N t-p, ε t ). N t = F(N t-1, N t-2, ε t ). N t = N t-1 f(N t-1, N t-2, ε t ). Предполагается, что Задача состоит в том, чтобы, подобрав численные значения θ 1 и θ 2, определить вид функции f = N t /N t-1 наиболее соответствующий данным, полученным в ходе наблюдений. Это позволяет построить фазовый портрет N t (N t-1 ) и в результате выявить тип и оценить предсказуемость динамики исследуемой популяции. Turchin, P., Taylor, A.D. Complex dynamics in ecological time series. Ecology 73, , 1992.

Единственный случай хаотической динамики, идентифицированный во временных рядах, характеризующих динамику насекомых Во временных рядах, характеризующих популяционную динамику позвоночных, не было найдено ни одного случая возникновения динамического хаоса. Turchin, P., Taylor, A.D. Complex dynamics in ecological time series. Ecology 73, , 1992.

Динамика планктона, зарегистрированная на континентальном шельфе у берегов Мэриленда The purpose of the analysis was to detect deterministic chaos in the plankton records… The significance of chaos would be that much, if not all, of the variability in the data can be explained in terms of deterministically determined trophic interactions. Our analysis indicates that it is not possible to support such a hypothesis from the substantial, although arguably too short, time series that was available to us. Ascioti, F.A., Beltrami, E., Caroll, T.O., Wirick, C. Is there chaos in plankton dynamics? Journal of Plankton Research 15, , 1993

ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И РЕКУРРЕНТНЫЕ ДИАГРАММЫ Близость двух фазовых векторов соответствует чёрной точке на рекуррентной диаграмме Marwan, N., Romano, M.C., Thiel, M., Kurths, J. Recurrence plots for the analysis of complex systems. Physics Reports 438, , 2007.

ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ДИАГОНАЛИ РЕКУРРЕНТНЫХ ДИАГРАММ Диагонали рекуррентных диаграмм соответствуют длительности двух близких участков фазовой траектории. Матрица, на основе которой строится рекуррентная диаграмма: Здесь 1 соответствует чёрным точкам на рекуррентной диаграмме. Более строго: Θ – функция Хевисайда: Θ(x) = 1 при x > 0; Θ(x) = 0 при x < 0; IIII – норма. Определение диагональной линии длины l:

Для оценки горизонта предсказуемости временного ряда u(t) вычисляется средняя длина диагональных линий (при условии: l > l min ). Эта средняя длина соответствует тому интервалу времени, в течение которого дивергенция близких участков фазовой траектории ещё незначительна. ОЦЕНКА ГОРИЗОНТА ПРЕДСКАЗУЕМОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕКУРРЕНТНОЙ ДИАГРАММЫ Marwan, N., Romano, M.C., Thiel, M., Kurths, J. Recurrence plots for the analysis of complex systems. Physics Reports 438, , 2007.

ОЦЕНКА ХАОТИЧНОСТИ ПРОЦЕССА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕКУРРЕНТНЫХ ДИАГРАММ Для численной оценки хаотичности временных рядов, полученных в ходе исследования природных процессов, может быть использовано вычисление энтропии Реньи II порядка. Энтропия Реньи является обобщением энтропии Шеннона и позволяет оценивать меру сложности исследуемого процесса. Rényi, A. On measures of information and entropy. Proceedings of the 4th Berkeley Symposium on Mathematics, Statistics and Probability 1960, 547–561, Ещё одна полезная ссылка:

ОЦЕНКА ХАОТИЧНОСТИ ПРОЦЕССА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕКУРРЕНТНЫХ ДИАГРАММ (продолжение) В терминах рекуррентных диаграмм оценка численного значения энтропия Реньи II порядка может быть представлена следующим образом: где p c (ε,l) – вероятность найти на рекуррентной диаграмме диагональ с длиной l. Если отложить зависимость p с (ε,l) от l в логарифмической шкале, то в идеале получится прямая с наклоном, равным –K 2 (ε)Δt для достаточно больших значений l. Теперь, определив численное значение K 2, можно оценить нижний предел суммы положительных ляпуновских экспонент:. Marwan, N., Romano, M.C., Thiel, M., Kurths, J. Recurrence plots for the analysis of сomplex systems. Physics Reports 438, , 2007.

ДИНАМИКА ФИТОПЛАНКТОНА В НАРОЧАНСКИХ ОЗЁРАХ

ФИТОПЛАНКТОН ХЛОРОФИЛЛ РЕКУРРЕНТНЫЕ ДИАГРАММЫ ДЛЯ НАРОЧАНСКИХ ОЗЁР 1993 – 2012 годы

T pr K2K2 Нарочь 3,90,3 Мястро 5,50,5 Баторино 5,50,3 L min (Нарочь) = 2 L min (Мястро) = 4 L min (Баторино) = 4 ХЛОРОФИЛЛ

T pr K2K2 Нарочь 5,05,00,4 Мястро 4,34,30,3 Баторино 5,50,6 L min (Нарочь) = 4 L min (Мястро) = 2 L min (Баторино) = 4 ФИТОПЛАНКТОН

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ...