Колебания

Колебания Периодическая величина: функция f(t) есть периодическая функция (величина) с периодом Т если f(t)=f(t+T) Колебаниями называются процессы, при которых какая-либо величина (физическая, географическая или любая другая) многократно принимает через равные последовательные промежутки времени одни и те же значения (или приблизительно одни и те же). Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник

Свободные, собственные и вынужденные колебания Если система каким-либо образом выведена из равновесия и затем предоставлена самой себе (источник устранен), то в ней происходят колебания, которые называются свободными. Например, маятник или боксерская груша, выведенная из положения равновесия однократным ударом. Если свободные колебания происходят без потерь энергии, то они называются собственными, то есть, это- частный случай свободных колебаний Если система колеблется под воздействием периодически изменяющейся внешней силы, то такие колебания называются вынужденными. Например, мост под воздействием периодически повторяющейся внешней силы (проход строевым шагом колонны солдат).

Гармонические колебания Во многих случаях разнообразные периодические процессы могут быть представлены как суперпозиция гармонических колебаний. Гармоническими называются колебания с постоянной амплитудой А, происходящие по закону синуса или косинуса, то есть когда изменение физической величины x(t) выражается формулой: круговая или циклическая частота колебаний.

Квазиупругие силы Силы любого происхождения, пропорциональные величине отклонения системы от положения равновесия и направленные к положению равновесия называются квазиупругими силами. Колебания под действием квазиупругих сил будут гармоническими. Т.е принципиальное отличие квазиупругих (- F=kх) от постоянных (не зависящих от расстояния и направления перемещения) сил в том, что воздействие постоянной силы приводит лишь к смещению положения равновесия, ничего не меняя в характере самого движения.

Амплитуда, фаза, начальная фаза Частота v число колебаний в единицу времени, T период колебаний, то есть время, через которое значения колеблющейся величины начинают повторяться. Если период равен 1 с, то частота равна 1Гц Фазой колебаний называется величина 0 начальная фаза колебаний, то есть фаза при t = 0. Фаза характеризует отклонение величины х от нулевого значения в данный момент времени и определяется с точность до произвольного слагаемого кратного 2 Амплитуда – максимальное отклонение от положения равновесия

Период и частота колебаний Частота v - число колебаний в единицу времени (за 1 секунду), Период колебаний T, - время, за которое фаза увеличивается 2, то есть, значения колеблющейся величины начинают повторяться. Круговая (циклическая) частота ω - число колебаний за 2 секунд,

Гармонический осциллятор Тело массы m, колеблющееся горизонтально под действием силы упругости пружины F=-kx (k коэффициент упругости, x смещение тела относительно положения равновесия, знак минус означает, что упругая сила направлена противоположно направлению смещения x) согласно 2-му закону Ньютона запишем: Решением является: Частота 0 называется собственной частотой данного гармонического осциллятора. уравнение гармонического осциллятора Обозначим: или

Скорость и ускорение в гармоническом колебательном движении точки определяются соответствующими производными по времени: - Скорость изменяется по гармоническому закону, но ее амплитуда больше амплитуды х в раз и опережает х на /2 -Ускорение изменяется по гармоническому закону, но его амплитуда больше в 2 раз и опережает х на -(т.е. в противофазе с х)

Способы представления гармонических колебаний а) аналитический: х =аsin( t+ ) б) графический:

Кинетическая и потенциальная энергия колебаний Если проходим через положение равновесия, то вся энергия переходит в кинетическую (потенциальная =0) и, наоборот, в крайнем положении вся энергия переходит в потенциальную. Сравнивая графики sin 2 и sin можно видеть, что T и U изменяются с частотой 2 0. Т.е. энергия от T к U и наоборот в процессе колебаний перекачивается в два раза быстрее.

Физический маятник. x P F 0 в R c α Физическим маятником называется твердое тело, которое может колебаться вокруг горизонтальной оси (возможно только при условии, что центр масс тела не лежит на этой оси). Т.е. нужен ненулевой момент сил. Движение такого маятника можно описать основным уравнением динамики для вращательного движения тела: где I – момент инерции маятника относительно горизонтальной оси вращения через точку О. Внешних сил здесь две: сила F упругого происхождения (изгибает ось), действующая на маятник со стороны оси в точке 0 и сила тяжести P, приложенная в центре масс. Величина и направление силы F нам неизвестны, но это неважно, так как она проходит через ось вращения и поэтому ее момент равен нулю (плечо равно нулю).

Физический маятник. x P F 0 в R c α Момент силы тяжести: = - Rmgsing = –Pв где в = Rsing - плечо силы тяжести. Знак «минус» означает, что при α >0, то есть при отклонении против часовой стрелки момент силы вызывает вращение по часовой стрелке (в направлении противоположном первоначальному отклонению). Т.е момент силы тяжести действует аналогично квазиупругой силе –kx. Итак, получаем: I = –mgRsing При малых (при α

Физический маятник В результате имеем дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решением которого как нам уже известно является функция: α (t) = Asin(ωt+φ) где циклическая частота а период колебаний

Колебания однородного стержня m 0 Найдем, для примера, частоту колебаний однородного стержня, качающегося на оси, проходящей через его край. По теореме Штейнера момент инерции стержня относительно оси 0 равен: I =I 0 +md 2 = 1 / 12 ml 2 +m(l/2) 2 = ml 2.

Математический маятник m Математическим маятником называется тело, массу которого можно считать сосредоточенной в одной точке, подвешенное на невесомой, нерастяжимой нити. Он оказывается частным случаем физического маятника. Момент инерции материальной точки I = ml 2 Т.е. из- за разного характера распределения массы есть отличие в частоте колебаний математического маятника и стержня той же длины и массы.

Измерив период колебаний маятника, можно определить ускорение свободного падения g в данном месте. Математический и физический маятники Приведённая длина это условная характеристика физического маятника. Она численно равна длине математического маятника, период которого равен периоду данного физического маятника.физического маятника математического маятника Приведённая длина вычисляется следующим образом: где I момент инерции относительно точки подвеса, m масса, a расстояние от точки подвеса до центра масс.момент инерции масса Период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от массы груза. Частота собственных колебаний зависит только от свойств системы (ω 0 2 = k/m для математического и ω 0 2 = mgR/I для физического маятников),

Затухающие колебания Если нельзя пренебрегать сопротивлением среды при записи 2-го закона Ньютона для движения тела под действием упругой силы, то его надо дополнить некоторой функцией, отражающей свойства сил сопротивления (сил трения). Например, если тело все время движется в жидкости с малыми скоростями, то сила трения пропорциональна скорости и второй закон Ньютона записывается так: или в стандартном для дифференциальных уравнений виде :

Затухающие колебания Обозначим: (как и ранее) и дифференциальное уравнение затухающих колебаний: Решение уравнений такого типа в математике хорошо известно и в нашем случае выглядит так: Заметим, что здесь фигурирует не собственная частота колебаний ω 0, а частота ω, которая зависит от коэффициента затухания β: Частота свободных колебаний зависит как от свойств системы (ω 0 ), так и от величины потерь энергии (β )

Декремент затухания Быстроту затухания описывают также с помощью декремента затухания или с помощью логарифмического декремента затухания. Декрементом затухания Δ называют отношение двух последовательных амплитуд: Логарифмическим декрементом затухания δ называют натуральный логарифм обычного декремента затухания : δ = lnΔ = βT если величина β фиксирована, то величина δ прямо пропорциональна периоду колебаний. Например, если δ=0.01 то амплитуда уменьшится в e раз после 100 колебаний. Быстроту затухания колебаний определяется β= δ/T. Добротность системы Q. При больших добротностях δ /Q

Апериодическое движение X 0 t В результате учета сопротивления среды получаются синусоидальные колебания с убывающей по экспоненте амплитудой. При очень больших коэффициентах стоит отрицательная величина и колебаний не возникает. Система приходит в равновесие асимптотически, то есть не пересекая горизонтальную ось времени (называется апериодическим). Величина называется временем релаксации. За время τ отклонение от положение равновесия уменьшается в e 2.73 раз затухания, то есть при β>ω 0 под корнем

Добротность Q= π/λ= πN e добротность колебательной системы – пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых системой за то время τ, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз Полная энергия колеблющейся системы ω= ω 0 2 -δ 2 Убыль энергии за 1 период энергия за 1 период Q=π/λ относительная потеря энергии за период При слабом затухании колебаний добротность пропорциональна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент к убыли этой энергии за один период колебаний. Малое затухание δ большая добротность относительно малые потери энергии.

Вынужденные колебания Колебания, происходящие в системе под действием периодически изменяющейся силы, называются вынужденными. Пусть тело колеблется под действием упругой силы и на него действует внешняя сила : F внеш (t)= F 0 sint учитывая используемые выше уравнения, второй закон Ньютона запишем в виде: Подобные уравнения описывают широкий спектр процессов вплоть до описания движения доменных стенок в магнитных материалах, где m эффективная масса доменной стенки.

Вынужденные колебания Опыт показывает, что если вынуждающая сила действует достаточно долго, то груз колеблется с частотой вынуждающей силы и с постоянной амплитудой. Поэтому можно предположить, что раз вынуждающая сила гармоническая, то и установившиеся колебания также будут гармоническими: x = Asin(t + φ) Надо найти амплитуду А и начальную фазу φ этого колебания. Для этого можно взять первую и вторую производную x подставить все в уравнение движения. Если произвести ряд громоздких преобразований, то можно получить следующие соотношения: Частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы

Амплитуда и фаза Разность фаз колебаний вынуждающей силы и груза φ : Прямой подстановкой можно убедиться, что это решение удовлетворяет исходному уравнению движения. В полученном решении и амплитуда, и фаза зависят от частоты вынуждающей силы.

Резонанс Есть зависимость амплитуды от частоты и значит при некоторой частоте возможна максимальная амплитуда. Это будет тогда, когда знаменатель в выражении движения достигнет минимума. Чтобы найти минимум, приравняем нулю производную по частоте знаменателя: Это кубическое уравнение имеет, естественно, три корня: 1 = 0 и Это есть точки экстремума знаменателя. Решение 1 = 0 соответствует максимуму знаменателя. При этом амплитуда

Резонансная частота Из двух оставшихся решений отрицательное отбрасываем как не имеющее физического смысла, так как частота отрицательной быть не может. Следовательно, амплитуда будет максимальной при следующей частоте вынуждающей силы: Эта частота называется резонансной, а само явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы называется резонансом. Отметим, что резонансная частота не совпадает с собственной частотой колебаний системы ω 0, но близка к ней и тем ближе, чем меньше трение в системе.

Резонансные кривые 0 A 1 < 2 < k F 0 Если же трение очень велико, то есть когда 2 2 > 0 2, то резонанс не наблюдается и с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает При все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при слишком быстром изменении направления вынуждающей силы реальная физическая система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

Добротность показывает во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равновесия под действием вынужденной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы. (Это справедливо лишь при небольших затуханиях).

Резонанс в повседневной жизни Явление резонанса может наблюдаться в любых физических (и не только) явлениях. Может быть как вредным, так и полезным. Например, при конструировании самолета жизненно важно, чтобы собственная частота вибраций всех его частей (фюзеляж, крылья и т.п.) существенно отличалась от частот колебаний, которые могут быть возбуждены при полете, например, пропеллером и турбиной (которая крутится на определенной частоте). В радиотехнике же резонанс часто оказывается полезным: всем хорошо известно, что прием радио и телепередач основан именно на резонансе. Землетрясение ! Резонансную частоту домов нужно делать подальше от частоты толчков земной коры

х А α ω0ω0 х 0 Графическое изображение колебаний вектора амплитуды Колебание представляется с помощью вектора амплитуды. А ω 0 α Проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора - А, круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора ω 0 и начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени α. х = А cos (ω 0 t + α) векторной диаграммой Изображение колебаний в виде векторов на плоскости называется векторной диаграммой

Графическое изображение колебаний А ω 0 α Проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора - А, круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора ω 0 и начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени α.

Сложение колебаний Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты. Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений х 1 и х 2, которые запишутся в следующим образом: Представим оба колебания с помощью векторов A 1 и A 2. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор A х 1 = А 1 cos(ω 0 t+ φ 1 ) х 2 = А 2 cos(ω 0 t+ φ 2 )

Сложение колебаний А 1 и А 2 - амплитуды складываемых колебаний под углами φ 1 и φ 2 к оси х А - вектор амплитуды суммарного колебания. Определим модуль амплитуды А результирующего колебания. В ΔОК 1 К угол ОК 1 К= [π-(φ 2 -φ 1 )] (из равенства противоположных углов параллелограмма). Следовательно 2 (φ 2 -φ 1 )+2α=2π Отсюда α= [π-(φ 2 -φ 1 )] Согласно теореме косинусов А 2 =А 1 2 +А А 1 А 2 cos[π-(α 2 -α 1 )]= А 1 2 +А А 1 А 2 cos(α 2 -α 1 ) Начальная фаза φ 0 результирующего колебания определяется из ΔОКD х 1 = А 1 cos(ω 0 t+ φ 1 ) х 2 = А 2 cos(ω 0 t+ φ 2 )

Проанализируем выражение для амплитуды. А 2 =А 1 2 +А А 1 А 2 cos[π-(α 2 -α 1 )]= А 1 2 +А А 1 А 2 cos(α 2 -α 1 ) 1)Если разность фаз обоих колебаний (φ 2 - φ 1 ) равна нулю, амплитуда результирующего колебания равна сумме А 1 и А 2. 2) Если разность фаз обоих колебаний (φ 2 - φ 1 ) равна +π или – π, т.е. оба колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего колебания равна | А 1 - А 2. |. Сложение колебаний

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз φ = φ 2 - φ 1 складываемых колебаний. 1. φ 2 - φ 1 = 2m (m= 0,1,2,….) тогда A = A 1 + A 2, т.е. амплитуда результирующего колебания A равна сумме амплитуд складываемых колебаний; колебания синфазны Сложение колебаний

2. φ 2 - φ 1 = (2m+1) (m= 0,1,2,….) тогда A = A 1 - A 2, т.е. амплитуда результирующего колебания A равна разности амплитуд складываемых колебаний. колебания в противофазе Сложение колебаний

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются БИЕНИЯМИ. Биения

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны а, а частоты равны и +, причем. Начало отсчета выбираем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю. Тогда уравнения колебаний будут иметь следующий вид: x 1 = аcos t, x 2 = аcos( + )t. Складывая эти выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получаем x = а(cos t+cos( + )t = (2 аcos /2t)cos t, Во втором сомножителе мы пренебрегли /2, т.к. /2

Рис. 25.4,a 2 аcos /2t изменяется гораздо медленнее, чем cos t. Ввиду условия /2

совершает несколько полных колебаний, 2 аcos /2t почти не изменится. Это дает основание рассматривать данное колебание как гармоническое колебание частоты, амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону. Выражением этого закона не может быть 2 аcos /2t, т.к. он изменяется в пределах от –2 а до +2 а, в то время как амплитуда по определению – положительная величина. График амплитуды показан на рис. Аналитическое выражение для амплитуды, очевидно, имеет вид а б = |2 аcos /2t |.

Функция /cos – периодическая функция с частотой, в 2 раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля (см. рис. на котором сопоставлены графики косинуса и его модуля), т.е. с частотой. Т.о., частота пульсаций амплитуды – её называют частотой биений – равна разности частот складываемых колебаний. Определение частоты тона (звука определенной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями - наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д. Рис. 25.5

Биения Биения - гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой, частоты двух складываемых колебаний мало отличаются друг от друга, амплитуды одинаковы и начальные фазы φ 0 =0 n Число n биений в секунду определяется разностью частот складываемых колебаний n=υ 1 -υ 2 х 1 = Аcos(ωt) х 2 = Аcos(ω+Δω) t